Введение
ВВЕДЕНИЕ
Настоящее пособие является руководством к решению задач по обыкновенным дифференциальным уравнениям и операционному исчислению и содержит теоретические сведения в краткой справочной форме (без выводов и доказательств) в объеме, необходимом для понимания сути обсуждаемых методов решения дифференциальных уравнений, встречающихся в расчетно-графических работах по упомянутым разделам курса. Строгое и подробное изложение теории дифференциальных уравнений и операционного исчисления содержится во многих учебниках и пособиях [1-13].
Изучение дифференциальных уравнений имеет важнейшее значение в математической подготовке инженера. Объясняется это тем, что дифференциальные уравнения представляют собой математические модели самых разнообразных процессов и явлений, так как их решения позволяют описать эволюцию изучаемого процесса, характер происходящих с материальной системой изменений в зависимости от первоначального состояния системы.
Вывод дифференциальных уравнений (или систем дифференциальных уравнений), описывающих то или иное явление, представляет собой отдельную самостоятельную задачу. Сложность ее состоит в том, что при выводе дифференциальных уравнений необходимо удовлетворить противоречивым требованиям. С одной стороны, построенная математическая модель должна быть адекватной рассматриваемому явлению. С другой стороны, получающиеся дифференциальные уравнения должны иметь по возможности простое решение. Это требует введения различных допущений физического характера, а следовательно, глубокого понимания сути рассматриваемого явления.
Франко-китайская и японо-китайская войны - лекция, которая пользуется популярностью у тех, кто читал эту лекцию.
С выводом и применением дифференциальных уравнений (или их систем) к решению тех или иных прикладных задач студенты встречаются при изучении различных общеобразовательных и специальных курсов (физики, теоретической механики, сопротивления материалов, электротехники и др.). Предметом настоящего пособия является изучение методов решения дифференциальных уравнений и их систем.
Пособие состоит из трех разделов.
Первый раздел посвящен обыкновенным дифференциальным уравнениям первого порядка. В нем даны краткие теоретические сведения и типовые примеры решения уравнений первого порядка различного типа, интегрируемых в квадратурах.
Во втором разделе рассмотрены точные и приближенные методы интегрирования дифференциальных уравнений n-го порядка с постоянными и переменными коэффициентами и системы дифференциальных уравнений. Подробно изложена методика применения степенных рядов к решению задачи Коши и краевой задачи для линейных дифференциальных уравнений.
Третий раздел посвящен операционному исчислению. В нем кратко изложены основные свойства преобразования Лапласа, методы обратного преобразования Лапласа, решение обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами операционным методом. Приведены примеры решения соответствующих задач.
В приложениях даны варианты расчетно - графических работ по обыкновенным дифференциальным уравнениям и операционному исчислению.
