Основные понятия теории планирования эксперимента

Основные понятия теории планирования эксперимента.

Следующим этапом после создания математической модели и её программной реализации является постановка вычислительного эксперимента. В теории планирования эксперимента исследуемый объект рассматривается как черный ящик, имеющий входы X и выходы Y. Переменные Х принято называть факторами. Факторы в эксперименте могут быть – качественными и количественными.

Качественные факторы можно квантифицировать или прописать им числовые обозначения, тем самым перейти к количественным значениям. В дальнейшем будем полагать, что все факторы являются количественными, представленными непрерывными величинами.

Переменным Х можно сопоставить геометрическое понятие факторного пространства, т.е. пространства, координатные оси которого соответствуют значениям факторов. Совокупность конкретных значений всех факторов образует точку в многомерном факторном пространстве.

Примеры факторов: интенсивность потока запросов в базе данных, скорость передачи данных по каналу, объем запоминающего устройства и т.д.

Но, к сожалению не все так хорошо. На объект воздействуют возмущающие факторы. Они являются случайными и не поддаются управлению.

Область планирования задается интервалами возможного изменения фактора:, , k - количество факторов.

Нормализация факторов – преобразование натуральных значений факторов в безразмерные кодированные величины. Переход i-ого значения задается следующей формулой: - переход безразличного фактора X_i

X_i - натуральное значение фактора

Рекомендуемые материалы

X_i0 - натуральное значение основного уровня фактора, соответствующее нулю в безразмерной шкале

 - интервал варьирования

Совокупность основных уровней всех факторов представляет собой точку в пространстве параметров, называемой центральной точкой плана или центром эксперимента.

С геометрической точки зрения нормализация факторов равноценна линейному преобразованию пространства факторов, при котором проводятся две операции.

1) Перенос начала координат в точку соответствующую значениям основных уровней факторов

2) Сжатие/растяжение пространства в направлении координатных осей

Активный эксперимент включает: систему воздействий, при которых воспроизводится функционирование объекта и регистрация отклика объекта.

План эксперимента задаёт совокупность данных, определяющих количество, условия и порядок реализации опытов.

Опыт составляет элементарную часть эксперимента и предусматривает воспроизведение исследуемого явления в конкретных условиях с последующей регистрацией результатов.

В условиях случайности при одних и тех же условиях проводятся параллельные или повторные опыты, для получения статистически устойчивых результатов.

Опыт U предполагает задание конкретных значений фактора Х: . Совокупность значений факторов во всех N точках плана эксперимента образует матрицу плана:

Строки матрицы соответствуют опытам, столбцы - фактором.

Элемент матрицы  задает значение i-ого фактора в j-ом опыте.

Реализовав испытание N факторного пространства, определенным фактором эксперимента, получим вектор наблюдений, имеющий следующий вид:

, где текущий  соответствует i-ой точке плана

Зависимость отклика от факторов носит название функции отклика, а геометрическое представление функции отклика - поверхностью отклика. Функция отклика рассматривается как показатель качества или эффективности объекта. Этот показатель является функцией от параметров, в качестве которых выступают факторы.

;

 – вектор неизвестных параметров модели:

, h+1

 - вектор заданных базисных функций.

  - математическое ожидание функции отклика

Такое представление функции отклика соответствует линейной по параметрам модели регрессионного анализа, т.е. функция отклика есть линейная комбинация базисных функций от фактора.

Из-за влияния на результаты эксперимента случайных воздействий, истинное значение коэффициентов можно определить только приближенно. Оценку вектора  находят по результатам экспериментов. В ходе, которых мы получаем значение  при заданных значениях факторов . Эти оценки обычно оцениваются с помощью метода наименьших квадратов. Если не принимать специальных мер, то оценки коэффициентов  станут взаимозависимыми и полученное выражение для функции отклика можно рассматривать как интерполяционную формулу, что затрудняет её физическую интерпретацию и последующие расчеты.

Получение независимых результатов.

Для этого нужно формировать специальным образом матрицу плана. И эти величины будут характеризовать вклад каждого фактора в значение функции отклика.

Основная задача - определение основных формул функций отклика .

В большинстве случаев вид этой функции, получаемой из теоретических соображений, является сложным для практического применения.

Функции принято обозначать в некотором универсальном виде - в виде полинома.

Тогда системой базисной функции является совокупность степенных функций с целыми неотрицательными значениями показателя степени:

Обратите внимание на лекцию "Особенности просвещенческой политики в эпоху Александра I".

 - случайная величина, характеризующая ошибку опыта.

Такая функция отклика линейна относительно неизвестных коэффициентов и будет полностью определена, если задана степень полинома и коэффициенты. Степень полинома обычно задается исследователем априорно. На практике широкое распространение имеют полиномы первого и второго порядка. Коэффициенты полинома принято называть эффектами факторов. К большинству сложных систем применим принцип Павето, согласно которому 20% факторов определяют свойства системы на 80%. Поэтому первоначальной задачей при исследовании имитационной модели является отсеивание несущественных факторов, позволяющие упростить вычисления функции отклика. Одним из методов решения этой задачи является метод дисперсионного анализа.

Виды планирования эксперимента.

Можно выделить стратегическое и тактическое планирование эксперимента

(..!..) Тактическое планирование: дать понятие и пример.