Операции над событиями. Свойства вероятности

§3. Операции над событиями. Свойства вероятности

В теории вероятностей изучаются методы вычисления вероятностей случайных событий. Часто бывает так, что вероятность некоторого события С можно найти, зная вероятности других событий, связанных с событием С. Для этого прежде всего используются правила сложения и умножения вероятностей, о которых мы расскажем в этом и следующем параграфах.

История о находчивом майоре.

В городе Дрюкове объявлен розыск четверых особо опасных преступников, ограбивших Дрюковоуниверсалбанк. Чтобы предотвратить утечку информации при передаче в Центр сообщений о ходе розыска, майор Зимин придумал такой способ. Он зашифровал первыми буквами алфавита следующие события:

событие Р — обнаружен преступник Рыков;

событие У — обнаружен преступник Угрюмов;

событие Ф — обнаружен преступник Фомкин;

событие Т — обнаружен преступник Трошкин.

С помощью этих обозначений майор Зимин мог передать любую информацию. Например, сообщение Р + У означало бы, что обнаружен по крайней мере один из двоих преступников, Рыков или Угрюмов; сообщение уф — обнаружены Угрюмов и Фомкин; сообщение  — Трошкин не обнаружен.

Рекомендуемые материалы

Вскоре в Центр пришли следующие сообщения: 1) У + Ф; 2) УТ; 3) . Там их без труда расшифровали. Согласно первой шифровке, обнаружен кто-то из двоих — Угрюмов или Фомкин, причем не исключено, что и оба. Второе сообщение означало, что обнаружены и Угрюмов и Трошкин. Из третьего сообщения следовало, что Фомкин и Рыков не обнаружены. Таким образом, на первом этапе розыска обнаружили двоих преступников.

Дальнейшие шифровки были такими:

4) УТ(Ф + Р); 5) УТФ; 6) УТФР.

Первая из них означала, что обнаружены Угрюмов, Трошкин и по крайней мере один из двух других преступников. Вторая шифровка: обнаружены все, кроме Рыкова. Третья: обнаружены все четверо.

УПРАЖНЕНИЯ

6. Расшифруйте донесения группы захвата:

1) Т + У; 2) Т ; 3) У + Ф; 4) У; 5) Р + Ф; 6) У(Ф + Т).

7. Зашифруйте следующие донесения: 1) взят только один из четырех; 2) взят по крайней мере один; 3) взяли не менее двух; 4)взяли только двоих; 5) взяли только троих; 6) взяли всех четверых.

Вы уже поняли, конечно, что майор Зимин изучал теорию вероятностей. Для шифровки донесений он использовал следующие понятия этой теории.

Сумма событий.

Если в некоторой ситуации произошло по крайней мере одно из двух событий А или В, то говорят, что произошло событие А + В. Так вводится понятие суммы событий. Например, событие Т + Р + Ф означает, что взят по меньшей мере один из трех (Трошкин, Рыков, Фомкин).

Произведение событий.

Если произошли оба события, и А и В, то говорят, что произошло событие АВ. Так вводится понятие произведения событий. Например, событие РТФ состоит в том что взяты трое - Рыков, Трошкин и Фомкин.

Если событие А не произошло, то говорят, что произошло событие . Так вводится понятие противоположного события. Например, событие  означает, что не взяты оба преступника, Трошкин и Фомкин, а событие , противоположное событию ТФ, состоит в том, что не произошло по крайней мере одно из событий - Т или Ф.

УПРАЖНЕНИЯ

8. Из колоды карт вынимается одна. Событие А — вынута карта красной масти; событие В - вынут туз. Что означают события: , , А + В, АВ?

9 Игральная кость бросается один раз. Событие А — выпало четное число очков; событие В – выпало число очков, кратное трем. Что означает событие А + ? Запишите событие, состоящее в выпадении шести очков.

10. В сессию студент должен был сдать два экзамена и один зачет. Событие А состоит в том, что студент сдал экзамен по английскому языку; событие В - он сдал экзамен по философии; событие С - получил зачет по физкультуре.

Запишите события:

а) студент не получил зачета;

Вместе с этой лекцией читают "Северо-Американская интеграция (НАФТА)".

б)сдал 2 экзамена;

в) сдал по крайней мере один экзамен;

г) получил зачет, но не сдал ни одного экзамена;

д) сдал только один из экзаменов и не получил зачета;

е) не сдал ничего;

ж) сдал все.