Теорема Кронекера-Капелли
Система линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли без доказательства.
Системой линейных алебраических уравнений, содержащей m уравнений и n неизвестных, называется система вида
, где чила , , называются коэффициентами системы, числа - свободными членами. Системы лу удобно записывать в виде матрицы.
Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет ни одного решения. Совместная система называется определённой, если она имеет единственное решение, и неопределённой, если имеет более одного решения. Частным решением системы называется каждое решение неопределённой системы. Общим решением называется совокупность всех частных решений системы. Система лу называется однородной, если все свободные члены равны нулю. Тривиальным называется решение, когда все неизвестные раны нулю.
Теорема: Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы системы равен рангу основной матрицы.
Теоремы: Если ранг совместной системы равен числу неизвестных, то система имеет единственное решение. Если ранг совместной матрицы меньше числа неизвестных, то система имеет бесчисленное множество решений. Для того, чтобы система однородных уравнений имела ненулевые решения, необходимо и достаточно, чтобы ранг её основной матрицы был меньше числа неизвестных. Для того, чтобы однородная система n линейных уравнений с n неизвестными имела ненулевые решения, необходимо и лостаточно, чтобы её определитель был равен нулю.