Кривые второго порядка
13. Приложения определенного интеграл.
13.1. Некоторые кривые, которые будут встречаться в дальнейшем.
В этом разделе мы рассмотрим некоторые приложения определённого интеграла, в основном, геометрические - к вычислению площадей и объёмов. Здесь мы приведём уравнения и изображения ряда кривых, которые с которыми будем работать дальше.
1. Окружности, проходящие через начало системы координат. Уравнение окружности с центром
радиуса : . Если окружность проходит через начало координат, то , и уравнение принимает вид . В полярных координатах это уравнение выглядит так: . На рисунке справа приведены три такие окружности (), (), ().
2. Спирали: спираль Архимеда . На рисунке изображены спирали и . Логарифмическая спираль . На рисунке изображены спирали и .
Гиперболическая спираль . На рисунке изображены спирали и . Стрелками на всех спиралях указано направление возрастания параметра .
3. Кардиоида . Три таких кривых изображены на рисунке справа.
Рекомендуемые материалы
Декартово уравнение кардиоиды: ;
Параметрические уравнения кардиоиды:
Кардиоида - частный случай улитки Паскаля .
4. Лемниската Бернулли .
Подкоренное выражение неотрицательно при и . Декартово уравнение лемнискаты .
Лемниската - геометрическое место точек таких, что , где и - фокусы лемнискаты.
На рисунке изображена лемниската с .
5. Четырёхлепестковая роза . Декартово уравнение .
Каждая точка этой кривой - основание перпендикуляра , опущенного из начала координат на отрезок постоянной длины , движущийся так, что его концы находятся на осях координат.
6. Развёртка (эвольвента) окружности
Каждая точка этой кривой - конец нити, которая разматывается с окружности , оставаясь в натянутом состоянии. В начальный момент конец нити находится в точка .
7. Циклоида
Эта кривая - траектория точки окружности радиуса , которая без скольжения катится по оси . В начальный момент точка находится в точка .
8. Астроида
Люди также интересуются этой лекцией: Лекция 3.
Декартово уравнение . Каждая точка этой кривой - основание перпендикуляра , опущенного из начала координат на отрезок постоянной длины , движущийся так, что его концы находятся на осях координат. Точка - вершина прямоугольника, построенного на отрезке как диагонали. На рисунке приведена астроида с .
.
.
.
.
.