Несобственные интегралы по неограниченному промежутку
12. Несобственные интегралы.
При рассмотрении определённых интегралов мы предполагали, что область интегрирования ограничена (более конкретно, является отрезком ); для существования определённого интеграла необходима ограниченность подынтегральной функции на . Будем называть определённые интегралы, для которых выполняются оба эти условия (ограниченность и области интегрирования, и подынтегральной функции) собственными; интегралы, для которых нарушаются эти требования (т.е. неограничена либо подынтегральная функция, либо область интегрирования, либо и то, и другое вместе) несобственными. В этом разделе мы изучим несобственные интегралы.
12.1. Несобственные интегралы по неограниченному промежутку
(несобственные интегралы первого рода).
12.1.1. Определение несобственного интеграла по бесконечному промежутку. Пусть функция определена на полуоси и интегрируема по любому отрезку , принадлежащему этой полуоси. Предел интеграла при называется несобственным интегралом функции от до и обозначается .
Итак, по определению, . Если этот предел существует и конечен, интеграл называется сходящимся; если предел не существует или бесконечен, интеграл называется расходящимся.
Примеры: 1. ; этот предел не существует; следовательно, исследуемый интеграл расходится.
2.;
следовательно, интеграл сходится и равен .
Рекомендуемые материалы
Аналогично интегралу с бесконечным верхним пределом интегрирования определяется интеграл в пределах от до :
и в пределах от до : . В последнем случае определена на всей числовой оси, интегрируема по любому отрезку; - произвольная (собственная) точка числовой оси; интеграл называется сходящимся, если существуют и конечны оба входящих в определение предела. Пользуясь свойством аддитивности определённого интеграла, можно показать, что существование конечных пределов и их сумма не зависят от выбора точки . Примеры:
3. . Интеграл сходится.
4.
следовательно, интеграл сходится и равен .
Очевидно следующее утверждение, которое мы сформулируем для интеграла с бесконечным верхним пределом: сходится тогда и только тогда, когда для любого , удовлетворяющего неравенству , сходится интеграл (док-во: так как при по свойству аддитивности , и от не зависит, то конечный предел при для интеграла в левой части существует тогда и только тогда, когда существует конечный предел для интеграла в правой части равенства).
12.1.2. Формула Ньютона-Лейбница для несобственного интеграла. В приведённых примерах мы сначала вычисляли с помощью первообразной функции определённый интеграл по конечному промежутку, а затем выполняли предельный переход. Объединим два этих действия в одной формуле. Символом будем обозначать ; символом - соответственно, ; тогда можно записать , , , подразумевая в каждом из этих случаев существование и конечность соответствующих пределов. Теперь решения примеров выглядят более просто: - интеграл сходится; - интеграл расходится.
Для несобственных интегралов применимы формулы интегрирования по частям и замены переменной: ; при замене переменной несобственный интеграл может преобразовываться в собственный. Так, например, вычислим интеграл: . Пусть , ; если , то ; если то ; Поэтому (это уже собственный интеграл) = .
12.1.3. Признаки сравнения для неотрицательных функций. В этом разделе мы будем предполагать, что все подынтегральные функции неотрицательны на всей области определения. До сих пор мы определяли сходимость интеграла, вычисляя его: если существует конечный предел первообразной при соответствующем стремлении ( или ), то интеграл сходится, в противном случае - расходится. При решении практических задач, однако, важно в первую очередь установить сам факт сходимости, и только затем вычислять интеграл (к тому же первообразная в практических задачах часто не выражается через элементарные функции). Сформулируем и докажем ряд теорем, которые позволяют устанавливать сходимость и расходимость несобственных интегралов от неотрицательных функций, не вычисляя их.
12.1.3.1. Признак сравнения. Пусть функции и интегрируемы по любому отрезку и при удовлетворяют неравенствам . Тогда:
если сходится интеграл , то сходится интеграл ;
если расходится интеграл , то расходится интеграл
(эти утверждения имеют простой смысл: если сходится интеграл от большей функции, то сходится интеграл от меньшей функции; если расходится интеграл от меньшей функции, то расходится интеграл от большей функции; в случаях, когда сходится интеграл от меньшей функции или расходится интеграл от большей функции, никаких выводов о сходимости второго интеграла сделать нельзя).
Док-во: если , , то функции и - монотонно возрастающие функции верхнего предела (следствие свойств аддитивности и интегрирования неравенств). Монотонно возрастающая функция имеет конечный предел тогда и только тогда, когда она ограничена сверху. Пусть сходится. ограничена , ограничена, т.е. сходится. Пусть расходится неограничена неограничена, т.е. расходится.
Примеры: Исследовать на сходимость интегралы 5. . Функция не имеет первообразной, выражающейся через элементарные функции, поэтому исследовать сходимость с помощью предельного перехода невозможно. При имеет место ; интеграл сходится сходится сходится.
6. . При ; интеграл расходится расходится расходится.
В качестве "стандартного" интеграла, с которым сравнивается данный, обычно берётся интеграл типа , часто называемый интегралом Дирихле. Этот интеграл сходится, если , и расходится, если :
Примеры:
7. . На всём промежутке интегрирования ; интеграл сходится (), поэтому исходный интеграл сходится;
8. . Здесь при , расходится (),поэтому исходный интеграл расходится;
9. . Здесь сравнить подынтегральную функцию с какой-либо степенью невозможно, так как числитель - неограниченная функция, поэтому рассуждаем по-другому. При - бесконечно большая низшего порядка по сравнению с любой положительной степенью , поэтому ограниченная функция, поэтому , интеграл от большей функции сходится, следовательно, исходный интеграл тоже сходится;
10. . На всём промежутке интегрирования (отбросив бесконечно большие низших порядков в числителе и знаменателе, мы увеличили числитель и уменьшили знаменатель); интеграл сходится, поэтому исходный интеграл сходится.
Теперь рассмотрим . Понятно, что бесконечно большие низших порядков в числителе и знаменателе не влияют на сходимость интеграла; в то же время, отбросив их, мы уменьшим подынтегральную функцию, а из сходимости интеграла от меньшей функции не следует сходимость интеграла от большей функции. Можно рассуждать так: при достаточно больших выполняются неравенства , поэтому и т.д., однако при решении таких задач проще применить другой признак сравнения - предельный.
12.1.3.2. Признак сравнения в предельной форме. Пусть неотрицательные функции и интегрируемы по любому отрезку и пусть существует конечный . Тогда несобственные интегралы и сходятся или расходятся одновременно.
Док-во. Так как функции неотрицательны, то . По определению предела для существует такое значение , что при выполняется . Дальше рассуждения простые: пусть ; если сходится , то сходится , тогда, по теореме сравнения, сходится сходится сходится. Если расходится , то расходится , тогда, по теореме сравнения, расходится расходится расходится. Случаи, когда сходится или расходится , рассмотреть самостоятельно.
Сравнение интеграла со "стандартным" интегралом в предельной форме позволяет сформулировать такое правило: если при неотрицательная функция - бесконечно малая порядка малости выше первого по сравнению с , то сходится; если не является бесконечно малой или имеет порядок малости единица или ниже, то интеграл расходится. Примеры:
11. . При эквивалентна функции , поэтому интеграл сходится.
12. . При эквивалентна функции , поэтому интеграл расходится.
13. . При эквивалентна функции , поэтому интеграл расходится.
14. . При эквивалентна функции , поэтому интеграл расходится.
12.1.4. Абсолютная сходимость несобственных интегралов по бесконечному промежутку. В предыдущем разделе рассматривались интегралы от знакоположительных (знакопостоянных) функций; мы убедились, что для таких несобственных интегралов существуют хорошие методы исследования их сходимости. Естественен вопрос: нельзя ли свести исследование интеграла от произвольной функции к исследованию интеграла от положительной функции ? Можно показать, что если сходится интеграл , то обязательно сходится интеграл (идея доказательства: разобьем отрезок на два множества, и , т.е. к первому множеству отнесены точки, в которых функция неотрицательна, ко второму - в которых функция отрицательна. Тогда , . В последней сумме оба слагаемые - монотонно возрастающие с ростом , ограниченные сверху, следовательно, имеющие конечный предел при . Отсюда следует, что имеет конечный предел и предыдущая сумма). Обратное утверждение неверно, т.е. при сходимости интеграла интеграл может расходиться. Введём важное понятие абсолютной сходимости.
Опр. 12.1.4. Если сходится интеграл , то интеграл называется сходящимся абсолютно. Если сходится интеграл , а интеграл расходится, то интеграл называется сходящимся условно.
Примеры исследования интегралов на абсолютную сходимость:
15. . ; интеграл от большей функции сходится, следовательно, сходится, следовательно, исходный интеграл сходится абсолютно.
16. . , первый множитель, , стремится к нулю при , следовательно, ограничен: , интеграл от последней функции сходится, следовательно, исходный интеграл сходится абсолютно.
Приведённые примеры показывают, что переход от к и применение к последнему интегралу методов исследования на сходимость несобственных интегралов от неотрицательных функций, в случае его сходимости, позволяет сделать вывод и о сходимости (притом, абсолютной) исходного интеграла. Если же интеграл от расходится, решение задач значительно усложняется. Пример: исследовать на сходимость интеграл .
1. Докажем, что этот интеграл сходится. Интегрируем его по частям: .
Для последнего интеграла , т.е. он сходится абсолютно, следовательно, исходный интеграл сходится.
2. Докажем, что для исходного интеграла абсолютной сходимости нет, т.е. что расходится. Так как , то , для последнего интеграла, по доказанному выше, существует конечный предел при , для предыдущего - нет, следовательно, расходится.
Вывод - исходный интеграл сходится условно.
Установить условную сходимость несобственного интеграла по бесконечному промежутку при отсутствии абсолютной сходимости позволяют два следующих признака:
признак сходимости Абеля: пусть функции и определены в промежутке , причём 1. интегрируема в этом промежутке, т.е. интеграл сходится (условно или абсолютно);
"37 Российские базы данных интерактивного доступа" - тут тоже много полезного для Вас.
2. монотонна и ограничена: .
Тогда интеграл сходится.
признак сходимости Дирихле: 1. пусть функция интегрируема в любом конечном промежутке , и интеграл по этому промежутку ограничен (как функция верхнего предела ): ;
2. монотонно стремится к нулю при : .
Тогда интеграл сходится.
Применим, например, признак Дирихле к . Здесь , , условия признака выполнены, поэтому интеграл сходится условно.