Обзор численных методов решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений

Лекция 26. Обзор численных методов решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений.

Будем рассматривать схемы численных методов для уравнения первого порядка

.

Это – самый простой случай, но к нему по аналогии сводятся схемы методов для системы дифференциальных уравнений и для дифференциального уравнения n- го порядка.

1. Методы, основанные на разложении функции в ряд Тейлора.

Запишем разложение функции в ряд Тейлора в окрестности точки

Рассмотрим равномерную сетку по

Пусть , тогда разложение функции в ряд Тейлора можно записать в виде

Рекомендуемые материалы

, где

Подставим в  из дифференциального уравнения

Тогда

.

Это – основная расчетная формула.

Учитывая в  слагаемые с производными высших порядков, получим более точные приближенные формулы.

Если взять , то получим метод Эйлера

2. Методы Рунге – Кутта.

Основная идея методов Рунге – Кутта – вместо вычисления производных высших порядков в  вычислять значения функции в некоторых точках, отличных от .

Выберем

=

Разложим  по h

= +=

Сравним с приведенной выше основной расчетной формулой

.

и определим коэффициенты

.

Пусть , тогда .

Если . Тогда

.

= .

Это – метод Хойна.

Если в формуле . выбрать ,

то получим явный m – шаговый (m – точечный) метод Рунге – Кутта.

Наиболее распространен явный четырехточечный метод Рунге – Кутта

В явных методах Рунге – Кутта значения  вычисляются только по предыдущим значениям .

В неявных методах Рунге – Кутта значения  вычисляются как по предыдущим, так и по последующим значениям . Поэтому в этих методах приходится еще решать систему уравнений относительно .

Неявный m – шаговый метод Рунге – Кутта можно записать в виде

.

,

3. Методы Адамса.

Идея методов Адамса – использовать не промежуточные вычисления значений правой части дифференциального уравнения внутри отрезка , а значения правой части на предыдущих шагах (сделать метод методом «с памятью»).

В формуле  заменим  интерполяционным полиномом Ньютона .

Явные методы Адамса (Адамса – Башфорта).

Возьмем , но интеграл будем брать по предыдущему отрезку . Тогда

Здесь  - конечная разность - го порядка:

Подставляя эти разности, получим

 (k – шаговый явный метод Адамса – Башфорта)

Пример. Получен явный метод Адамса – Башфорта второго порядка (двухшаговый)

.

Более точен метод Адамса – Башфорта четвертого порядка:

Заметим, если  задано (в задаче Коши начальное условие задается), то для того, чтобы начал работать метод Адамса 4 порядка, нужно вычислить еще значения  (каким-либо другим методом) . Тогда из системы формул Адамса Башфорта, выписанных для , вычисляются значения правых частей , необходимые для того, чтобы метод начал работать. Затем уже по этим значениям по формуле метода определяются .

Эта процедура называется «разгоном метода» и является обязательной в методах Адамса.

Неявные методы Адамса (Адамса – Мултона).

Возьмем , интеграл будем брать по отрезку . Тогда

Здесь  - конечная разность - го порядка:

Подставляя эти разности, получим

 (k – шаговый явный метод Адамса –Мултона)

Формально он записан в том же виде, что и метод Адамса – Башфорта, но разница существенна: в методе Адамса – Мултона в левой части уравнения присутствует , а в правой части присутствует . Поэтому приходится еще решать систему уравнений для явного определения .

Пример. . Поэтому имеем формулу

 метода Адамса – Мултона второго порядка.

Более точен метод Адамса – Мултона четвертого порядка

.

Эти методы также требуют разгона.

Обобщением методов Адамса являются линейные многошаговые методы

Если , то метод – явный, если , то метод – неявный.

Есть методы, сочетающие явные и неявные этапы – методы. Таковы, например, методы типа предиктор – корректор (предиктор P – предсказатель – явный метод, корректор С – неявный метод). Эти методы содержат обычно и этапы вычисления функции Е. Распространены методы РЕСЕ и РЕС.

Рассмотрим в качестве метода Р метод Адамса – Башфорта 2 го порядка, а в качестве метода С – метод Адамса – Мултона 2 го порядка.

Схема метода может быть записана в виде.

Р   .

Е   

С  

Е   

Метод Р «предсказывает», прогнозирует , вычисляется значение правой части, которое используется в методе С – «корректоре» для коррекции приближения  , затем вычисляется более точное значение правой части, которое вновь используется в методе Р.  

Сходимость, устойчивость разностных схем, порядок точности методов.

Вообще-то это – тема отдельного курса, но нельзя говорить о методах решения дифференциальных уравнений и не сказать хотя бы несколько слов о сходимости численных алгоритмов, устойчивости вычислительных схем и точности методов.

Рассмотрим дифференциальное уравнение , равномерную сетку на отрезке интегрирования .

Рассмотрим сеточную функцию - правую часть уравнения, определенную на сетке .

Введем аппроксимации производной:

,   ,   .

Задача Коши (дифференциальная задача)  заменяется разностной задачей (разностной схемой)

или  .

Разностная схема отличается от дифференциального уравнения тем, что функции заменены сеточными, производные заменены их аппроксимациями.

- решение разностной задачи, - решение дифференциальной задачи, - сеточная функция, построенная по .

Сходимость разностной схемы с порядком .

Решение  сходится к  с порядком , если .

.

Аппроксимация с порядком .

Пусть задача  имеет единственное решение.

Пусть (- невязка).

Разностная задача аппроксимирует дифференциальную задачу на решении

  с порядком , если .

 Пример. Рассмотрим схему Эйлера для задачи  .

Разностная задача , ,

. Поэтому

=. То есть, , следовательно, схема Эйлера дает аппроксимацию первого порядка.

Замечание. Ошибку аппроксимации можно оценить по правилу Рунге, решая дифференциальное уравнение с шагом , а затем с шагом и сравнивая решения: , где - порядок аппроксимации.

Рекомендация для Вас - Реформы Петра I.

Устойчивость разностной схемы.

Разностная схема называется устойчивой, если разностная задача  имеет единственное решение  такое, что .

Другими словами, при малых возмущениях мало возмущается .

Теорема. Пусть разностная схема аппроксимирует дифференциальную задачу на решении  с порядком  и устойчива. Тогда решение разностной задачи сходится к  с порядком , причем . Здесь  - константа аппроксимации, С – константа устойчивости.

Доказательство. Пусть , тогда по единственности решения (определение устойчивости) и определению аппроксимации . Тогда

  (при  имеем ).