Системы линейных дифференциальных уравнений

Лекция 16. Системы линейных дифференциальных уравнений.

Неоднородную систему линейных дифференциальных уравнений можно записать в виде

.

Однородную систему линейных дифференциальных уравнений можно записать в виде

.

Все теоремы для линейных систем аналогичны соответствующим теоремам для линейных дифференциальных уравнений высших порядков. Этого и следовало ожидать, так как система дифференциальных уравнений сводится к дифференциальному уравнению высшего порядка.

Теоремы о свойствах решений однородной и неоднородной системы.

Если - решения однородной системы, то - решения однородной системы.

Рекомендуемые материалы

Если  - решения однородной и неоднородной систем, то - решение  неоднородной системы.

Если - решения неоднородной системы, то - решение однородной системы.

Доказательство.

,

Теорема. Множество решений линейной однородной системы есть линейное пространство.

Из теорем о свойствах решений видно, что операции сложения и умножения на число на решениях однородной системы определены корректно.

Легко проверяется ассоциативность по сложению, существования «нуля» – тривиального решения , существование «противоположного элемента» , коммутативность по сложению. Отсюда следует, что решения однородной системы образуют коммутативную группу по сложению (абелев модуль) (4 аксиомы линейного пространства). Существует единица – число, справедлива ассоциативность по умножению на число (еще 2 аксиомы).

Наконец, справедлива дистрибутивность по сложению решений и чисел (последние 2 аксиомы). Таким образом, выполнены все 8 аксиом для корректно введенных операций сложения решений и умножения решения на число. Следовательно, множество решений однородной системы образует линейное пространство. Заметим, что точно так же доказывалась аналогичная теорема для дифференциального уравнения n-ого порядка.

Функции  называются линейно независимыми, если

.

Функции  называются линейно зависимыми, если

.

Введем определитель Вронского , по столбцам которого расположены векторы , введем также матрицу .

Теорема. Если функции  линейно зависимы, то .

Доказательство. Так как функции линейно зависимы, то одна из них линейно выражается (тождественно) через остальные, поэтому соответствующий столбец определителя Вронского линейно выражается через остальные. Тогда по свойству определителя .

Теорема. Пусть  - решения однородной системы и , тогда решения  линейно зависимы.

Доказательство. Т.к. , то его столбцы в  линейно зависимы, т.е. .

Рассмотрим решение  (с теми же коэффициентами).

 - решение однородной системы как линейная комбинация решений однородной системы (теоремы о свойствах решений). Начальные условия для этого решения в точке , как показано выше, нулевые. Но есть решение однородной системы (тривиальное решение ), имеющее те же начальные условия. Следовательно, по теореме Коши решение  и есть тривиальное решение. Тогда , следовательно, решения   линейно зависимы.

Следствие. Равенство определителя Вронского нулю  для решений однородной системы хотя бы в одной точке – критерий линейной зависимости решений, отличие определителя Вронского от нуля  для решений однородной системы хотя бы в одной точке – критерий линейной независимости решений.

Доказательство. Пусть , тогда решения  линейно зависимы. Если решения  линейно зависимы, то  по теореме о равенстве определителя Вронского нулю для системы линейно зависимых функций. Заметим, что тогда .

Пусть , если решения  линейно зависимы, то  (противоречие). Пусть решения линейно независимы. Если , тогда решения  линейно зависимы (противоречие).

Теорема. Размерность пространства решений однородной системы равна n.

Доказательство. Надо доказать 1) существуют n линейно независимых решений однородной системы, 2) любое решение однородной системы линейно выражается через эти линейно независимые решения.

1) В любой точке  для однородной системы выполнены условия теоремы Коши, следовательно, через любую такую точку пройдет единственная интегральная кривая – график решения  однородной системы. Зададим такие точки – начальные условия, которые по теореме Коши определят решения .

Эти решения линейно независимы, так как .

Существование n линейно независимых решений однородной системы доказано.

2) Рассмотрим произвольное решение однородной системы . В точке  вектор  разлагается по естественному базису

.Поэтому  

Рассмотрим решение  - линейную комбинацию этих линейно независимых решений. Оно имеет те же начальные условия, что и выбранное произвольное решение . Следовательно, по теореме Коши выбранное произвольное решение  и есть (тождественно равно) . Поэтому произвольное решение линейно выражается через выбранные линейно независимые решения. Теорема доказана.

Любые n линейно независимых решений однородной системы представляют собой базис в пространстве решений и называются фундаментальной системой решений однородной системы.

Матрица , составленная из этих решений , называется фундаментальной матрицей однородной системы.

Теорема о структуре общего решения однородной системы.

Общее решение однородной системы представляет собой линейную комбинацию решений фундаментальной системы решений.

.

Доказательство.  Проверим, что  является общим решением, исходя из определения общего решения.

1)  - решение однородной системы как линейная комбинация ее решений (теорема о свойствах решений).

2) Зададим произвольные начальные условия  и покажем, что можно единственным образом выбрать набор констант , при котором  . Запишем это соотношение покоординатно как систему уравнений относительно .

  ..........................................

Определитель этой системы равен , так как решения линейно независимы. Поэтому набор констант  определяется из системы уравнений единственным образом. Теорема доказана.

Следствие. Общее решение однородной системы можно записать в виде

.

Матрица Коши (матрициант).

Пусть надо записать решение задачи Коши, удовлетворяющее начальным условиям .

Матрица  называется матрицей Коши. .

Теорема. Фундаментальная матрица удовлетворяет однородной системе, .

Доказательство. Столбцы фундаментальной матрицы являются решениями однородной системы. Объединяя запись в матрицу, получим утверждение теоремы.

Формула Остроградского – Лиувилля.

Выведем формулу Остроградского – Лиувилля.

Фундаментальная матрица системы является решением однородной системы. Запишем уравнение для k –го столбца фундаментальной матрицы – координат решения :

.

Отсюда .

Запишем определитель Вронского и продифференцируем его, подставляя вместо производных координат решений полученное соотношение.

 ,+...

++ =

+...+   +

=

(расписывая в сумму определителей, учитывая равенство нулю определителей с одинаковыми строками)

  ...+=

.

Получено соотношение , где  - след матрицы системы. Отсюда имеем формулу Остроградского – Лиувилля.

.

Заметим, что эту формулу можно получить как следствие из теоремы Лиувилля о фазовом объеме.

Теорема о структуре общего решения неоднородной системы.

Общее решение неоднородной системы равно сумме общего решения однородной системы и частного решения неоднородной системы.

Доказательство. 1)  - решение неоднородной системы по теореме о свойствах решений.

2) Зададим произвольные начальные условия . Выберем какое-либо частное решение неоднородное системы и вычислим для него начальные условия в  . Составим систему уравнений  и запишем ее покоординатно.

...............................................

Определитель этой системы – определитель Вронского, он не равен нулю, так как составлен из линейно независимых решений, составляющих фундаментальную систему решений. Следовательно, набор констант из этой системы уравнений определяется однозначно. Теорема доказана.

Метод вариации произвольной постоянной.

Общее решение однородной системы можно записать в виде

, где - фундаментальная матрица системы, - вектор произвольных постоянных.

Будем искать решение неоднородной системы в том же виде, варьируя вектор произвольных постоянных:

.

Вычисляем производную и подставляем в уравнение неоднородной системы:

,    

,    

Так как фундаментальная матрица удовлетворяет уравнению однородной системы, то . Поэтому в предыдущем уравнении (как и всегда в методе вариации) сокращается пара слагаемых. Получаем уравнение

. Так как фундаментальная матрица не вырождена (), то отсюда получаем уравнение для определения вектора : 

Лекция "44 Причины поражения Белого движения и победы Красной армии" также может быть Вам полезна.

.

Интегрируя, получаем

 (здесь предполагается, что при вычислении интеграла вектор констант не добавляется, он уже добавлен в виде вектора  ).

Подставляя в , имеем

().

Здесь в полном соответствии с теоремой о структуре общего решения неоднородной системы первое слагаемое представляет собой общее решение однородной системы, а второе слагаемое – частное решение неоднородной системы.