Приложения тройного интеграла

Лекция 4. Приложения тройного интеграла.

Замена переменных в тройном интеграле.

Теорема. Пусть с помощью непрерывных функций x = x(u, v, w), y = y(u, v, w), z =z(u, v, w) имеющих непрерывные частные производные установлено взаимно однозначное соответствие пространственно односвязных ограниченных, замкнутых областей D_xyz, D_uvw  с кусочно-гладкой границей. Тогда

   , где  - якобиан (определитель Якоби).

Теорема приведена без доказательства.

Цилиндрическая система координат.

Рекомендуемые материалы

Пример Вычислить объем пространственного тела, заключенного между цилиндрической поверхностью  и эллиптическим параболоидом ..

Сферическая система координат.

Пример. Найти массу части шара (с центром в начале координат, радиусом R), находящейся в первом октанте, если плотность вещества шара  в каждой точке шара пропорциональна расстоянию этой точки от оси OZ.

Приложения тройного интеграла.

Геометрическое приложение – вычисление объема любого пространственного тела.

По свойству 3 тройного интеграла , где  – объем области V.

С помощью двойного интеграла тоже можно вычислять объем, но только цилиндрического тела, а не произвольного.

Люди также интересуются этой лекцией: БЕРДЯЕВ Николай Александрович.

Пример. Вычислить объем пространственного тела, ограниченного эллиптическим параболоидом  и шаром ( единичного радиуса с центром в точке (0, 0, 1))

.

Механические приложения – вычисление массы пространственного тела, статических моментов, центра тяжести, моментов инерции  по формулам, которые выводятся аналогично соответствующим формулам для плоского тела с двойным интегралом ( - плотность вещества тела в каждой точке).

, , . Формулы для моментов инерции запишите сами (например, )

Пример. Определить координаты центра тяжести полушара ,  По симметрии  . ,