Существование обобщенного решения первой смешанной задачи для параболического уравнения

§13. Существование обобщенного решения первой смешанной задачи для параболического уравнения.

Обобщенное решение задачи (1),(3),(4) из §12 будем искать методом Галеркина, который состоит в построении функций  , слабо сходящихся к решению .

Выберем набор функций  так, чтобы их линейная оболочка была плотна в . Не ограничивая общность, можно считать, что функции  линейно независимы и ортогональны в .

Галеркинские приближения  будем искать в виде

                       .                                                        (1)

Уравнения на искомые коэффициенты получим из требования

         .                                      (2)

Условия (2) благодаря ортогональности функций  приводят к системе обыкновенных уравнений

                .                                       (3)

Рекомендуемые материалы

Начальные условия для системы дифференциальных уравнений (3) выберем следующими

                                  .                                              (4)

Ради простоты будем считать, что   .

Условия (3), (4) определяют единственный набор функций .

Докажем ограниченность множества   галеркинских приближений в пространстве .

Умножим уравнения (2) на  и сложим. Получим

                        .                                       (5) 

Проинтегрировав (5) по   и воспользовавшись условием (2) §12, будем  иметь

               .                           (6)  Очевидно,

                   .

Из равенства Парсеваля    следует, что . Тогда (6) можно переписать в виде

               .                                          (7)          

Отсюда следует ограниченность множества  в пространстве . Поэтому можно выделить подпоследовательность, слабо сходящуюся в этом пространстве к некоторой функции  . Чтобы не нагромождать индексы, будем считать, что сама последовательность слабо сходится. Из теоремы 5 §9 следует, что производные  слабо сходятся в  к  , а сами функции сходятся сильно.

Умножим равенство (2) на функцию  и проинтегрируем по  . Получим

              .                                      (8) Интегрированием по частям находим, что 

                 .                                               Поэтому (8) после предельного перехода при   принимает вид

                 .                            (9) Здесь мы использовали то, что  . Отметим, что (9) справедливо не только для функций , но и для сумм таких функций. Остается еще доказать, что функциями вида  можно приблизить любую функцию  из  такую, что . Для этого достаточно для функций  указать последовательность функций , сходящуюся к   в пространстве .

Проведя процесс переортогонализации, можно заменить функции  на , ортогональные в . При этом линейные оболочки наборов  и  будут совпадать при каждом . Таким образом, последовательность  образует ортонормированный базис в . Тогда

             .                      (10)  При этом последовательность  при каждом сходится к  в . Сходимость имеет место и в пространстве :

                           .                               Последний интеграл сходится по теореме Лебега об ограниченной сходимости.

Продифференцировав формулы (10) по , получим

                        .

Тогда   при  в пространстве  при каждом  . Отсюда получаем сходимость  в пространстве .  Как следствие получаем сходимость  в пространстве .

Список использованной литературы:

Информация в лекции "Периодизация афганской революции (1978-92 гг.)" поможет Вам.

1. Колмогоров А. Н., Фомин С. В.  Элементы теории функции и функционального анализа. – М.: Наука, 1981. – 544с.

2. Ладыженская О. А., Солонников В. А., Уральцева Н. Н.  Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. –  М.: Наука, 1976. ­– 736с. 

3. Ладыженская О. А., Уральцева Н. Н.  Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. –  М.: Наука, 1973. – 576с. 

4. Михайлов В. П.  Дифференциальные уравнения в частных производных. – М.: Наука, 1976. – 392с.

5. Секефальви-Надь  Функциональный анализ.