Гильбертовы пространства

§1. Гильбертовы пространства.

Евклидовы и гильбертовы пространства играют важную роль в теории дифференциальных уравнений с частными производными.

Определение 1.

Евклидовым пространством называется векторное пространство  над полем , если в нем определено отображение , называемое скалярным произведением, удовлетворяющее аксиомам:

1.     

2.     

3.     

4. 

5.  .

Рекомендуемые материалы

Число  называется нормой вектора  .

Последовательность векторов  называется фундаментальной, если

   .

Последовательность векторов  называется сходящейся, если существует вектор  такой, что числовая последовательность .

Определение 2.

Евклидово пространство  называется гильбертовым, если в нем всякая фундаментальная последовательность сходится.

Во многих случаях достаточно обходиться евклидовыми и гильбертовыми пространствами над полем . В дальнейшем именно эти пространства мы будем иметь в виду. Если же потребуется пространство над полем , то этот случай специально оговаривается.

 Пример1. Пространство  является гильбертовым пространством над полем  со скалярным произведением

.

 Пример2. Пространство ₂ состоит из последовательностей , для которых <¥.  Сложение последовательностей определяется, как  в  ,

т.е. покоординатно. Скалярное произведение задается формулой:

 ,

.

Нетрудно проверить, что  ₂  является гильбертовым пространством.

Пример3. Пространство непрерывных функций  является евклидовым пространством со скалярным произведением

.

Но это пространство не является гильбертовым. Действительно, возьмем фундаментальную последовательность

 .

Легко видеть, что она “сходится ” к функции

.

Но эта функция не принадлежит !

Имея евклидово пространство, всегда можно “изготовить” гильбертово пространство. Процедура изготовления называется пополнением и состоит в следующем. Рассматривается множество  всех фундаментальных последовательностей в . На этом множестве вводится отношение эквивалентности.

Две фундаментальные последовательности  называются эквивалентными, если объединенная последовательность , также является фундаментальной. Множество  классов эквивалентности по этому отношению и называется пополнением пространства .

Нетрудно доказать, что  будет гильбертовым пространством. В частности, , будет гильбертовым пространством.

Имея вектор , можно изготовить постоянную фундаментальную последовательность . Тем самым определено отображение

Нетрудно проверить, что  .

Однако работать непосредственно с  несколько тяжеловесно. Поэтому желательно иметь более  “осязаемое” описание для . К счастью,

в случае  такое описание существует.

Пример4. Пространство  состоит из измеримых функций, для которых

.

Если определить отображение

то оно не будет скалярным произведением , поскольку существуют функции , для которых

.

Такие функции называют равными нулю почти всюду.

Пространство равных нулю почти всюду функций обозначим Оп.в. Тогда фактор-пространство /Оп.в. обозначают .Оно будет гильбертовым пространством. Доказательство сложное.

Здесь придется вспомнить, что элементами  являются классы эквивалентных функций.

Временно будем обозначать их так

.

Возникает вопрос:  верна ли формула

 ?

Ответ да, верна, то есть при вычислении скалярного произведения можно брать любую функцию из класса эквивалентных функций. Для доказательства следует установить равенство:

.

Имеем

Хотя на множестве  не выполнена аксиома 5 скалярного произведения, тем не менее неравенство Коши-Буняковского остается справедливым

                 

Изоморфность гильбертовых пространств означает существование отображения , которое взаимно однозначно и изометрично, т.е.  .

Теорема 1.

 (без доказательства).

Определение 3.

Областью в  называют открытое связное множество.

Определение 4.

Носителем функции  называют множество supp.

Черта сверху означает замыкание множества.

Определение 5.

Пространство  (−область в ) состоит из гладких функций с ограниченным носителем, лежащим в :

                       supp  diam supp.

Скалярное произведение

превращает  в евклидово пространство. Оно не гильбертово и его следует пополнить.

Теорема 2.

.

Пространство  определяется точно также, как  и  .

Определение 6.

Множество  называется всюду плотным в гильбертовом пространстве , если

.

Определение 7.

Люди также интересуются этой лекцией: 13 Внешнеполитический курс Николая I.

Гильбертово пространство  называется сепарабельным, если в нем существует счетное всюду плотное множество.

Теорема 3.

Если область  ограничена, то многочлены с рациональными коэффициентами образуют счетное всюду плотное множество в .

Таким образом, из теоремы 3 следует, что  при ограниченной области

 является сепарабельным.

Задача1. Пусть − неограниченная область. Доказать, что − сепарабельно.