Основные понятия о графах
1.1. Основные понятия
1.1.1. История теории графов
Теория графов многократно переоткрывалась разными авторами при решении различных прикладных задач.
1. Задача о Кенигсбергских мостах. Обойти все четыре части суши, пройдя по каждому мосту один раз, и вернуться в исходную точку (рис. 3.1). Эта задача была решена Эйлером в 1736 году.
Рис. 3.1. Иллюстрация к задаче о Кенигсбергских мостах
2. Задача о трех домах и трех колодцах. Имеется три дома и три колодца. Провести от каждого дома к каждому колодцу тропинку так, чтобы тропинки не пересекались (рис. 3.2). Эта задача была решена Куратовским в 1930 году.
Рис. 3.2. Иллюстрация к задаче о трех домах и трех колодцах
Рекомендуемые материалы
Предметом первых задач теории графов были различные конфигурации, состоящие из точек и соединяющих их линий. При этом несущественно: являются ли эти линии прямыми или кривыми, длинными или короткими, тонкими или толстыми; важно только то, какие точки они соединяют. Т.о. граф – это абстрактное математическое понятие.
1.1.2. Определения
Графом G(V,E) называется совокупность двух множеств - непустого множества V (множества вершин) и множества Е неупорядоченных пар различных элементов множества V (Е - множество ребер).
G(V,E): , EVxV.
Число вершин графа G обозначим р, а число ребер – q.
р(G) = |V| q(G) = |E|.
Часто рассматриваются следующие родственные графам объекты.
1. Если элементами множества Е являются упорядоченные пары, то граф называется ориентированным (или орграфом). В этом случае элементы множества V называются узлами, а элементы множества - дугами (G(V, )).
2. Если элементом множества Е может быть пара одинаковых (не различных) элементов V, то такой элемент множества Е называется петлей, а граф называется графом с петлями (или псевдографом).
3. Если Е является не множеством, а набором, содержащим несколько одинаковых элементов, то эти элементы называются кратными ребрами, а граф называется мультиграфом.
Далее выражение: граф G(V,E) означает неориентированный граф без петель и кратных ребер.
Обычно граф изображают диаграммой: вершины - точками (или кружками), ребра - линиями.
Примеры.
1. . .
Т.о. это неориентированный граф с петлей и кратными ребрами.
Рис. 3.3. Неориентированный граф с петлей и кратными ребрами.
2. . .
Т.о. это ориентированный граф с петлей и кратными ребрами.
Рис. 3.4. Ориентированный граф с петлей и кратными ребрами.
3. . , т.о.
Рис. 3.5. Неориентированный граф с петлей.
1.1.3. Смежность и инцидентность
Пусть v1, v2 - вершины, е = (v1, v2) - соединяющее их ребро. Тогда вершина v1 и ребро е инцидентны, вершина v2 и ребро е также инцидентны. Два ребра, инцидентные одной вершине, называются смежными; две вершины, инцидентные одному ребру, также называются смежными.
Степенью вершины v графа G(V,E) называется число ребер, инцидентных данной вершине. Обозначение: .
Вершина, имеющая степень 0 называется изолированной, имеющая степень 1 – висячей.
Пример. Для графа, изображенного на рис. 3.5: вершина 3 – изолированная, вершины 1 и 4 - висячие.
Пример. Для графа, изображенного на рис. 3.3.
Ребро e1 инцидентно вершинам v1 и v2. Вершина v1 инцидентна ребрам e1 и e2. Ребра e1 и e2 – смежны. Вершины v1 и v2 – смежны.
. p(G)=3, q(G)=5.
Т.о. можно заметить, что .
Теорема Эйлера: .
Доказательство данной теоремы вытекает из того, что каждое ребро дает двойной вклад в сумму степеней вершин.
1.1.4. Изоморфизм графов
Говорят, что два графа G1(V1,E1) и G2(V2,E2) изоморфны (обозначается G1~ G2), если существует биекция h: V1 V2, сохраняющая смежность.
Графы рассматриваются с точностью до изоморфизма.
Пример
Три внешне различные диаграммы, приведенные на рис. 3.6, являются диаграммами одного и того же графа К3,3.
Бесплатная лекция: "1.6 Моделирование как метод системного анализа" также доступна.
Рис. 3.6. Диаграммы изоморфных графов
Числовая характеристика, одинаковая для всех изоморфных графов, называется инвариантом графа. Так, p(G) и q(G) - инварианты графа G.
Не известно никакого набора инвариантов, определяющих граф с точностью до изоморфизма.
Рис. 3.8. Диаграммы неизоморфных графов с совпадающими инвариантами