Статистическая оценивание, решение, моделирование

3. Статистическая оценивание, решение, моделирование

Методы изучения статистической сово­купности разрабатываются и приме­няются в соответствии с целью и зада­чами исследования. При статистическом исследовании следует различать статистическое оценивание, статистическое решение, статистическое моделирование.

Статистическое оценивание представляет совокупность методов математической статистики для приближённого определения не­известных распределений вероятностей (или каких-либо их ха­рактеристик) по результатам наблюдений. В наиболее распрост­ранённом случае результаты наблюдений образуют последовательность,  независимых случайных величин (или векторов), имеющих одно и то же (неизвестное) распределение вероятностей с функцией распределения .

Обычно предпо­лагают, что функция  принадлежит какому-либо известно­му семейству, которое зависит от конечного числа параметров, и определению подлежат лишь значения самих этих параметров. Например, значительная часть теории, особенно в многомерном случае, развита в предположении, что неизвестное распределе­ние является нормальным распределением, у которого все пара­метры или какая-либо их часть неизвестны, или что  пол­ностью неизвестна.

Два основных вида статистического оценивания - так называвемое точечное оценивание и интер­вальное оценивание с помощью доверительных интервалов. В пер­вом случае в качестве приближённого значения для неизвестной характеристики выбирают какую-либо одну функцию от резуль­татов наблюдений, во втором - указывают интервал значений, с высокой вероятностью «накрывающий» неизвестное значение этой характеристики.

Интервальная статистическая оценка это статистическая оценка неизвестного параметра вероятностного рас­пределения, представляющая интервал приближённых значений параметра. Границы этого интервала, принадлежа­щего множеству допустимых значений параметра (параметри­ческому множеству), определяются по результатам наблюде­ний. Существует несколько способов построения интервальной статистической оценки для параметров распределения. Наиболее распространённым явля­ется метод доверительных интервалов (областей, множеств). При наличии априорной информации о распределении пара­метра применяются бейесовские интервальные статистические оценки. В отличие от точечной статистической оценки, интервальная статистическая оценка даёт возможность решить во­прос о точности оценивания, именно, вычислить вероятность ошибки при использовании данной интервальной статистической оценки.

Разработаны методы статистического оценивания и для случая, когда результаты наблюдений  зависимы, и для случая, когда индекс  заменя­ется непрерывно меняющимся аргументом , т. е. для случай­ных процессов. В частности, широко используется статистическое оценивание таких характеристик случайных процессов, как корреляционная функ­ция и спектральная функция. Разработаны также методы статистического оценивания для случая, когда объём выборки  не фиксируется заранее, а определяется в процессе наблюдения. В связи с задачами ре­грессионного анализа был развит метод непараметрического по­следовательного статистического оценивания - стохастическая аппроксимация. В наи­более общей форме методы статистического оценивания рассматриваются в теории статисти­ческих решений.

Статистическое решение (решающее правило, реша­ющая функция), название решения, принимаемого в математи­ческой статистике на основе результатов наблюдений какого-либо явления, подчиняющегося вероятностным закономернос­тям, которые не полностью известны. Обычно предполагается, что соответствующее распределение вероятностей зависит от не­известного параметра , оцениваемого по результатам наблюде­ний .

Например, при обеззараживании воды хлорирова­нием количество добавляемого хлора зависит от среднего числа  бактерий в единице объёма, однако значение  неизвестно и оценивается по результатам  подсчёта численности бак­терий в  независимо выбранных единицах объёма воды при допущении (в простейшей модели), что независимые случайные величины  имеют одинаковое распределение Пуассона с неиз­вестным математическим ожиданием . Статистическое решение - решение о коли­честве добавляемого хлора - будет функцией от какой-либо статистической оценки  параметра . Последняя должна вы­бираться с учётом риска нежелательных последствий как недо­оценки  (недостаточное обеззараживание воды), так и завышение оценки  (ухудшение качества воды от чрезмерного добавления хлора).

Рекомендуемые материалы

Точная математическая формулировка понятий, касающихся статистических решений и способов их сравнения, рассматривается теорией статистический решений.

Статистическое моделирование рассматривается как моделирование случайных величин или процессов для численного решения ма­тематических задач. При этом искомые величины (связанные или не связанные со случайностью) представляют вероятност­ными характеристиками какого-либо случайного явления. Это явление моделируют, после чего нужные характеристики при­ближённо определяют с помощью статистической обработки «на­блюдений» модели (например, с помощью метода Монте-Карло).

Пусть, например, требуется рассчитать потоки тепла в нагре­ваемой тонкой металлической пластине, на краях которой под­держивается нулевая температура. Распределение тепла описы­вается тем же уравнением, что и расплывание пятна краски в слое жидкости. Поэтому моделируют плоское броуновское дви­жение частиц «краски» по пластине, следя за их положениями в моменты , . Приближённо принимают, что за малый интервал  частица перемещается на шаг  равновероятно во всех направлениях. Каждый раз направление выбирается слу­чайным образом независимо от всего предыдущего. Соотноше­ние между  и  определяется коэффициентом теплопроводнос­ти. Движение начинается в источнике тепла и кончается при первом достижении края («краска» налипает на край). Поток  тепла через участок  границы измеряется количеством налипшей краски. При общем количестве  частиц согласно закону больших чисел такая оценка даёт случайную относитель­ную ошибку порядка  (и систематическую ошибку поряд­ка  из-за дискретности выбранной модели). Искомую величину представляют математическим ожиданием числовой функции  от случайного исхода :

,

т. е. интегралом по вероятностной мере р. На оценку

,

где  — смоделированные исходы, можно смотреть как на квадратурную формулу для указанного интеграла со случайными узлами  и случайной погрешностью . Обычно принимают

,

считая большую погрешность пренебрежимо маловероятной; дис­персия  может быть оценена в ходе наблюдений.

"5 Естественное течение приобретенной вич-инфекции" - тут тоже много полезного для Вас.

В разобранном выше примере , когда траектория кончается на ; иначе f(w) = 0. Дисперсия . Интеграл берётся по пространству ломаных со звеньями постоян­ной длины; он может быть выражен через кратные интегралы.

Проведение каждого «эксперимента» распадается на две части: «розыгрыш» случайного исхода w и последующее вычисление функции f(w). Когда пространство всех исходов и вероятностная мера  слишком сложны, розыгрыш проводится последовательно в несколько этапов (см. пример). Случайный выбор на каждом этапе проводится с помощью случайных чисел, например, генери­руемых каким-либо физическим датчиком; употребительна также их арифметическая имитация - псевдослучайные числа. Анало­гичные процедуры случайного выбора используются в математи­ческой статистике и теории игр.

Численные методы, основанные на статистическом моделировании, широко применяют­ся для решения на компьютере многих задач вычислительной математики. Они удобны своей универсальностью и, как правило, не требуют большого объёма памяти. Недостаток - большие случайные погрешности, слишком медленно убывающие при уве­личении числа экспериментов. Поэтому разработаны приёмы преобразования моделей, позволяющие понижать разброс на­блюдаемых величин и объём модельного эксперимента.

В экономике статистические модели предполагают мо­делируемую систему неизменной во времени, т. е. полностью отвлекаются от её в принципе возможных (а подчас даже неиз­бежных) изменений, поскольку их учёт не требуется для дости­жения цели моделирования; кроме того, предполагается, что все интересующие исследователя процессы, происходящие в систе­ме, не требуют при своём описании развёртывания во времени, так что могут быть с достаточной точностью охарактеризованы не зависящими от времени величинами - известными и неизвест­ными. Поэтому в статистическом моделировании время не вводится явно. Статистические модели характе­ризуют моделируемую систему на какой-либо фиксированный момент времени; такой момент может представлять целый вре­менной интервал (как правило, в качестве его конечной, сред­ней или начальной точки), в течение которого система предпола­гается неизменной.

К статистической модели естественно приводят самые разнообразные задачи экономического анализа и планирования, которые допускают постановки при жёстко фиксированной структуре моделируемой системы, например, моделирование межотраслевого баланса, задача максимизации выпуска в заданном ассортименте, задача дие­ты, задача оптимального назначения, задача раскроя и многие другие. Значительная часть этих задач относится к сфере текущего планирования производства.

Поскольку статистические модели в формализованном виде отвлекаются от фактора времени, они всегда проще, чем динамические модели тех же экономических систем, с той или иной степенью полноты учитывающие этот фактор. Поэтому для экономико-математи­ческого моделирования типична ситуация, когда сначала разра­батываются статистические модели, а затем они усложняются введением фактора времени, т. е. преобразуются в динамические. В частности, ста­тическими первоначально были модели межотраслевого баланса, разнообразные модели, сводимые к транспортной задаче и рас­пределительной задаче линейного программирования (в частно­сти, некоторые статические модели размещения производства), к задачам о потоках в сетях и т. д. В последствии для всех этих моделей были разработаны динамические аналоги и обоб­щения, однако подобное усложнение далеко не всегда оказыва­ется продуктивным даже в случаях, когда динамический аспект моделируемой системы небезразличен для цели моделирования. Например, статистические модели межотраслевого баланса для одного из пред­стоящих лет (фиксированного) может быть подчас не менее информативной, чем динамическая модель межотраслевого ба­ланса, развёрнутая по годам на весь период от текущего года до года, фиксированного в анализе. Объясняется это тем, что по­лучаемые из динамической модели детальные данные об измене­нии экономических показателей «внутри» исследуемого периода могут быть недостаточно состоятельны со статистической точки зрения, а обобщённые в сравнении с ними итоговые данные за период, существенно более устойчивые относительно вариаций исходной информации, практически совпадают с результатами расчётов по статистическим моделям. При этом динамическая модель существенно более сложна и трудоёмка во всех отношениях.