Задачи анализа разомкнутой системы с ожиданием (потоки требований пуассоновские)
Задачи анализа разомкнутой системы с ожиданием (потоки требований пуассоновские).
Постановка задачи
Пусть задана некоторая СМО, для которой справедливы следующие гипотезы:
1) Вероятность поступления требований не зависит от принятого начала отсчета времени, а зависит только от продолжительности периода наблюдений (стационарность потока);
2) Не поступают в систему и не покидают ее одновременно два или более требований (поток ординарный).
3) Поступление одного требования не зависит от поступления другого (отсутствие последействия).
Известны также интенсивность 
поступления потока требований (среднее число поступлений требований в единицу времени 
) и интенсивность 
обслуживания требований (среднее число обслуживаний в единицу времени 
).
Требуется определить основные характеристики системы:
- вероятность простоя канала обслуживания 
;
Рекомендуемые материалы
- вероятность того, что в системе находится 
требований 
;
- среднее число требований, находящихся в системе, 
(в очереди и на обслуживании);
- среднее число требований, находящихся в очереди, 
;
- среднее время ожидания требования в системе 
.
Выявление основных особенностей, взаимосвязей и количественных закономерностей
Поток требований, обладающий свойством стационарности и отсутствием последействия, называется простейшим. В нашей задаче поток требований простейший. Основным понятием при анализе процесса СМО является состояние системы. Зная состояние системы, можно предсказать в вероятностном смысле её поведение.
Простейший поток – это стационарный пуассоновский поток. Если все потоки событий, переводящие систему из одного состояния в другое, являются пуассоновскими, то для этих систем вероятности состояний описываются с помощью системы обыкновенных дифференциальных уравнений.
Существует определённый методический прием, намного облегчающий вывод дифференциальных уравнений для вероятностей состояний. Первоначально строится размеченный граф состояний с указанием возможных переходов – это облегчает исследование и делает его более наглядным.
 |
Рис. 12.3 Размеченный граф состояний одноканальной разомкнутой СМО с ожиданием
Граф состояний, на котором проставлены не только стрелки переходов, но и интенсивность соответствующих потоков событий, называют рамеченным.
Построение математической модели
Если составлен размеченный граф состояний, то для построения математической модели, т.е. для составления системы обыкновенных дифференциальных уравнений вероятностей состояний, рекомендуется использовать следующие кинематическое правило.
Производная 
вероятности пребывания системы в состоянии n равна алгебраической сумме нескольких членов:
- число членов этой суммы равно числу стрелок на графе состояний системы, соединяющих состояние n с другими состояниями;
- если стрелка направлена в состояние n, то член берётся со знаком плюс;
- если стрелка направлена из состояния n, то со знаком минус;
- каждый член суммы равен произведению вероятности того состояния, из которого направлена стрелка, на интенсивность потока событий, переводящего систему по данной стрелке.
В соответствии с размеченным графом состояний, используя мнемоническое правило, систему обыкновенных дифференциальных уравнений вероятностей состояний запишем так:
(уравнения Эрланга)
… ... …
Исследование математической модели
Ограничимся исследованием установившегося режима работы разомкнутой одноканальной системы.
Тогда 
.
Вместо системы обыкновенных дифференциальных уравнений получаем систему алгебраических уравнений:
Используя полученную систему алгебраических уравнений, легко выразить вероятности состояний системы в виде некоторой рекуррентной формулы.
Из первого уравнения определяется вероятность наличия одного требования в системе
из второго уравнения – вероятность наличия двух требований в системе
.
Окончательно получим 
.
Аналогично проводятся преобразования для определения 
:
Окончательно получим 
и т. д.
Суммируя формулу сумму геометрической прогрессии, получаем
.
При 
отсюда имеем:
- вероятность простоя канала обслуживания 
;
- вероятность того, что в системе находится 
требований 
- среднее число требований, находящихся в системе (или математическое ожидание).
Последняя скобка является производной от следующего выражения:
,
т.е. равна 
.
Окончательно имеем 
- среднее число требований, находящихся в очереди:
;
- среднее время ожидания требования в системе, которое можно определить, зная среднее число требований, находящихся в системе:
.
Задача анализа замкнутой системы с ожиданием (потоки требований пуассоновские)
Постановка задачи
Пусть исследуется некоторая замкнутая СМО с ограниченным количеством требований в системе, т.е. обслуженные требования вновь возвращаются в систему обслуживания (например, экскаватор или автосамосвал). Интенсивность поступления одного требования в систему известна и равна . Интенсивность обслуживания требований известна и равна .
Число требований, нуждающихся в обслуживании, равно n. Требуется определить основные характеристики системы:
- вероятность того, что в системе имеется требований ;
- вероятность простоя канала обслуживания ;
- среднее число требований, находящихся в очереди ;
- среднее число требований, находящихся в системе ;
- среднее время ожидания требования в очереди 
;
- среднее время ожидания требования в системе .
Выявление основных особенностей, взаимосвязей
и количественных закономерностей
Состояние системы будем связывать с числом требований, находящихся в системе. При этом возможны два состояния системы:
- число требований, поступивших в систему, 
, т.е. канал обслуживания простаивает;
- число требований, поступивших в систему 
.
Нарисуем размеченный граф состояний однокональной замкнутой СМО с ожиданием:
Рис. 12.4 Размеченный граф состояний одноканальной замкнутой СМО с ожиданием
Построение математической модели
В соответствии с размеченным графом состояний и используя мнемоническое правило, запишем систему дифференциальных уравнений для вероятностей состояний:
Исследование и решение математической модели
Ограничимся исследованием установившегося режима работы системы. Тогда 
.
Вместо системы обыкновенных дифференциальных уравнений получаем систему алгебраических уравнений:
Для нетрудно получить рекуррентную формулу: при 
при 
при 
Вероятность того, что в системе находится требований, составит
.
Используя равенство 
, можно получить выражение для .
Вероятность простоя канала обслуживания P0=
.
Среднее число требований, находящихся в очереди:
.
Среднее число требований, находящихся в системе:
.
Люди также интересуются этой лекцией: 27 Носовое кровотечение.
Среднее время ожидания требования в очереди:
.
Среднее время ожидания требования в системе:
.
Как можно заметить, определение основных характеристик одноканальных СМО требует большой вычислительной работы, потому целесообразно использовать ЭВМ.
В задачах анализа многоканальных СМО получаются ещё более сложные формулы для вычисления аналогичных характеристик, мы их рассматривать не будем.
