Дифференциальные уравнения, отвечающие процессу гибели и размножения
§ 4. Дифференциальные уравнения, отвечающие процессу гибели и размножения
Предположим, что X(t) – процесс гибели и размножения с характеристиками и . Пусть для некоторых конечных чисел A и B имеют место неравенства li £ A + Bi, i = 0, 1, ...Это условие гарантирует конечность процесса X(t). При этом мы условимся, что в каждое состояние приходит верхняя стрелочка слева (даже в состояние 0), при этом интенсивность рождения λ может равняться нулю (например, λ–1= = 0); из каждого состояния выходит нижняя стрелочка влево, и интенсивность гибели μ тоже может равняться нулю (например, λ–1 = 0). Доопределение таким образом диаграммы не меняет суть дела, однако в дальнейших рассуждениях будет полезно. Рассмотрим диаграмму, отвечающую нашему процессу X(t):
Обозначим, как и ранее, через
Pk(t) = P(Х(t) = k), k = 0,1,…,
вероятности того, что в фиксированный момент t число клиентов X(t) будет равно k.
Теорема 1. Характеристики 
процесса X(t), определенное выше, удовлетворяет следующей системе дифференциальных уравнений
где k = 0,1,…, и начальным условиям
Рекомендуемые материалы
Нелишне пояснить, что первая строка (при k = 0) системы уравнений (1) имеет вид
Доказательство. Обозначим через Pk(t + Δ) = P(X(t + Δ) = k).
Воспользуемся определением производной функции одной переменной:
.
Рассмотрим такие события:
A0(t, Δ) = {на отрезке [t, t +Δ] процесс X(t) не совершил ни одного скачка};
A1(t, Δ) = {на отрезке [t, t +Δ] процесс X(t) совершил ровно один скачок};
A2(t, Δ) = {на отрезке [t, t +Δ] процесс X(t) совершил два скачка и более}.
Тогда очевидно, что
Обозначим далее через 
три показательные случайные величины с параметрами 
; через 
три показательные случайные величины с параметрами 
. Пусть все эти величины независимы. Тогда верно
В последнем равенстве мы воспользовались следующим свойством показательной функции: e–Δ = 1 – Δ + o(Δ) при Δ → 0.
Аналогично получаем
Точно также устанавливается соотношение
Пусть 
– момент последнего перед t+Δ скачка процесса Х(t); 
– момент предпоследнего перед t+Δ скачка процесса X(t).
Обозначим еще 
Тогда очевидно, что
Это событие заключается в том, что происходят ровно два скачка.
Осталось заметить, что
Т.е вероятность того, что в системе будет два и более скачка равна нулю.
Подставляя в (2) полученные соотношения, приходим к следующему равенству:
Переходя в последнем равенстве к пределу при Δ → 0, получаем уравнение (1). Теорема доказана.
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений:
если существуют пределы:
удовлетворяющие условию
то вероятности Рk называются стационарными вероятностями (характеристиками), а относительно системы говорят, что она находится в стационарном (установившемся) режиме. Стационарные вероятности удовлетворяют следующей системе алгебраических уравнений:
(4)
Система (4) получается, если приравнять нулю левую часть системы (1). Решая последовательно систему (4), можно выразить числа Рk через Р0:
Подставляя в соотношение (3) получаем:
Очевидно далее, что сходимость ряда
В лекции "ГЕРАКЛИТ" также много полезной информации.
есть условие существования стационарного режима в системах массового обслуживания. В этом случае стационарные характеристики Рk процесса X(t) находятся с помощью формул
Задачи к § 4
4.1. Для процесса гибели и размножения из задачи 3.2 выписать дифференциальные уравнения, связывающие вероятности Pk(t) = P(в системе в момент t находится k клиентов).
Найдите решение системы дифференциальных уравнений, а также стационарные вероятности.
4.2. Для процессов гибели и размножения из задачи 3.3 выписать дифференциальные уравнения, связывающие вероятности Pk(t) = P(в системе в момент t находится k клиентов).
Найти стационарные вероятности.
