Парный регрессионный анализ

С1. Лекция 4. Тема: Парный регрессионный анализ.

1. Функциональная, статистическая и корреляционная связи (зависимости).

2. Линейная парная регрессия.

Вопрос 1. Функциональная, статистическая и корреляционная связи

(зависимости).

Между различными явлениями и их признаками выделяют два типа связей:

- функциональную (же­стко детерминированную) и

- статистическую (стохастически де­терминированную).

В соответствии с жестко детерминистическим представлением о функционировании экономических систем, необходимость и закономерность однозначно проявляются в каждом отдельном явлении. То есть любое действие вызывает строго определенный ре­зультат; случайными (непредвиденными заранее) воздействиями при этом пренебрегают. Поэтому при заданных начальных усло­виях состояние такой системы может быть определено с вероят­ностью, равной единице. Разновидностью такой закономерности является функциональная связь.

Рекомендуемые материалы

С1. Связь признака у с признаком х называется функциональ­ной, если каждому возможному значению независимого призна­ка х соответствует одно или несколько строго определенных значений зависимого признака у. Определение функциональ­ной связи может быть легко обобщено для случая многих при­знаков х₁, х₂,…х_п.

Характерной особенностью функциональных связей является то, что в каждом отдельном случае известен полный перечень факторов, определяющих значение зависимого (результативно­го) признака, а также точный механизм их влияния, выражен­ный определенным уравнением.

С1. Функциональную связь можно представить уравнением:

y_i =f(х_i)                                             (1)

где y_i – результативный признак (i = 1, ...,n); f(х_i) – известная функция связи результативного и факторного при­знаков; х_i – факторный признак.

Чаще всего функциональные связи наблюдаются в явлениях, описываемых математикой, физикой и другими точными науками. Имеют место функциональные связи и в социально-экономических процессах, но довольно редко (они отражают взаимосвязь только отдельных сторон сложных явлений общественной жизни). В эко­номике примером функциональной связи может служить связь между оплатой труда у и количеством изготовленных деталей х при простой сдельной оплате труда. Так, если расценка за одну деталь составляет 3 тыс. руб., то связь между признаками однознач­но выразится простым линейным уравнением у = 3·х. Для каждого допустимого значения х можно указать вполне определенное зна­чение у. Если, положим, х = 5, то, соответственно, у = 15.

В реальной общественной жизни, ввиду неполноты инфор­мации жестко детерминированной системы, может возникнуть неопределенность, из-за которой эта система по своей природе должна рассматриваться как вероятностная, при этом связь ме­жду признаками становится стохастической.

С2. Стохастическая связь – это связь между величинами, при кото­рой одна из них, случайная величина у, реагирует на изменение дру­гой величины х или других величин х₁, x₂, ..., х_n (случайных или неслу­чайных) изменением закона распределения. Это обусловливается тем, что зависимая переменная (результативный признак), кроме рассмат­риваемых независимых, подвержена влиянию ряда неучтенных или неконтролируемых (случайных) факторов, а также некоторых неиз­бежных ошибок измерения переменных. Поскольку значения зави­симой переменной подвержены случайному разбросу, они не могут быть определены с достаточной точностью, а только указаны с опре­деленной вероятностью.

Характерной особенностью стохастических связей является то, что они проявляются во всей совокупности, а не в каждой ее единице (причем не известен ни полный перечень факторов, определяющих значение результативного признака, ни точный механизм их функционирования и взаимодействия с результа­тивным признаком). Всегда имеет место влияние случайного. Появляющиеся различные значения зависимой переменной – это реализации случайной величины.

С2. Модель стохастической связи может быть представлена в об­щем виде уравнением:

y_i =f(х_i) +ε_i                                                                  (2)

где y_i – расчетное значение результативного признака; f(x_i) – часть результативного признака, сформировавшаяся под воз­действием учтенных известных факторных признаков (одного иди множества), находящихся в стохастической связи с признаком; ε_i – часть результативного признака, возникшая вследствие действия неконтролируемых или неучтенных факторов, а также изме­рения признаков, неизбежно сопровождающегося некоторыми случай­ными ошибками.

Вам также может быть полезна лекция "8 Заключение".

Проявление стохастических связей подвержено действию закона больших чисел, сущность которого заключается в том, что лишь в достаточно большом числе единиц индивидуальные особенности сгладятся, случай­ности взаимопогасятся и зависимость, если она имеет сущест­венную силу, проявится достаточно отчетливо.

В социально-экономической жизни приходится сталкиваться со многими явлениями, имеющими вероятностный характер. Например, уровень производительности труда рабочих стохасти­чески связан с целым комплексом факторов: квалификацией, стажем работы, уровнем механизации и автоматизации произ­водства, интенсивностью труда, простоями, состоянием здоро­вья работника, его настроением, атмосферным давлением и др. Полный перечень факторов неизвестен. Кроме того, неодинако­во действие любого известного фактора на уровень производи­тельности труда каждого рабочего. Изменение атмосферного давления, к примеру, значительно снижает работоспособность рабочих, страдающих заболеваниями сердечно-сосудистой сис­темы, и практически не сказывается на производительности труда здоровых. В результате, при одинаковых возможностях наблюдается распределение значений дневной выработки рабочих. Такое распределение носит условный характер, поскольку оно связано с фиксированными значениями факторных признаков. Различия условных распределений имеют выраженную направ­ленность связи (например, выработка растет с повышением ква­лификации рабочего). Эту направленность связи можно рас­крыть более наглядно, если ограничиться рассмотрением только одного аспекта стохастической связи - изучением вместо ус­ловных распределений лишь одного их параметра - условного математического ожидания (частные случаи стохастической свя­зи - корреляционная и регрессионная).

Вопрос 2. Линейная парная регрессия.

С3. Наиболее разработанной в теории статистики является мето­дология парной корреляции, рассматривающая влияние вариации факторного признака х на результативный признак у и представляющая собой однофакторный корреляци­онный и регрессионный анализ. Овладение теорией и практикой построения и анализа двухмерной модели корреляционного и регрессионного анализа представляет собой исходную основу для изучения многофакторных стохастических связей.

Важнейшим этапом построения регрессионной модели (уравнения регрессии) является установление в анализе исход­ной информации математической функции. Сложность заклю­чается в том, что из множества функций необходимо найти та­кую, которая лучше других выражает реально существующие связи между анализируемыми признаками. Выбор типа функции может опираться на теоретические знания об изучаемом явле­нии, опыт предыдущих аналогичных исследований, или осуще­ствляться эмпирически – перебором и оценкой функций раз­ных типов и т.п.

При изучении связи экономических показателей производ­ства (деятельности) используют различного вида уравнения прямолинейной и криволинейной связи. Внимание к линейным связям объясняется ограниченной вариацией переменных и тем, что в большинстве случаев нелинейные формы связи для вы­полнения расчетов преобразуют (путем логарифмирования или замены переменных) в линейную форму.