Лекция 13. Тема: Динамический ряд.

2. Стационарные временные ряды и их характеристики.

Автокорреляционная функция.

3. Прогнозирование на основе моделей временных рядов.

Вопрос 2 (продолжение). Стационарные временные ряды и их характеристики. Автокорреляционная функция.

Ряд x(t) называется строго стационарным (или стационарным в узком смысле), если совместное распределение вероятностей т наблюдений x(t₁), x(t₂),…,x(t_т) такое же, как и для т наблюдений x(t₁ + τ), x(t₂ +r),..., x(t_т + τ), при любых т , t₁,t₂,...,t_m и τ.

Другими словами, свойства строго стационарного временного ряда не меняются при изменении начала отсчета времени.

В частности, при т = 1 из предположения о строгой стационарности временного ряда x(t) следует, что закон распределения вероятностей случайной величины x(t) не зависит от t а, значит, не зависят от t и все его основные числовые характеристики.

Ряд x(t) называется слабо стационарным (или стационарным широком смысле), если его среднее значение и дисперсия не зависят от t. Очевидно, что все строго стационарные (или стационарные в узком смысле) временные ряды являются одновременно и стационарными в широком смысле, но не наоборот.

Рекомендуемые материалы

Нестационарным называется ряд, отличающийся от стационарного на неслучайную составляющую.

         Автокорреляционная функция.

Одно из главных отличий последовательности наблюдений, образующих временной ряд, от случайной выборки заключается в том, что члены временного ряда являются статистически взаимозависимыми. Степень тесноты статистической связи между двумя случайными величинами может быть измерена парным коэффициентом корреляции. Так что степень тесноты статистической связи между наблюдениями временного ряда, «разнесенными» (по времени) на т единиц, определится величиной коэффициента корреляции:

                                                              (1)

Коэффициент r(τ) измеряет корреляцию, существующую между членами одного и того же временного ряда, поэтому его принято называть коэффициентом автокорреляции. При анализе изменения величины r(τ) в зависимости от значения τ принято говорить об автокорреляционной функции r(τ). График автокорреляционной функции иногда называют коррелограммой. Значения авто­корреляционной функции, по определению, могут колебаться от -1 до +1. Кроме того, из стационарности следует, r(τ) = r(-τ), так что при анализе поведения автокорреляционных функций достаточно рассматривать только положительные значения х.

Выбор наилучшего уравнения тренда при эконометрическом анализе.

         При построении уравнения тренда предполагается, что l_t = y_t - ŷ_t, представляют собой случайные величины, независимые переменные, среднее значение которых равно нулю (l_t.cp. = 0). Однако это предполо­жение имеет место, если вид функции выбран правильно. В ином случае наблюдается автокорреляция остатков, то есть корреляционная зависимость между значениями остатков (l_t) за текущий и предыду­щий (l_t-1) моменты времени. Для оценки автокорреляции остатков может быть использован коэффициент автокорреляции, предложен­ный М. Езекиэлом и К. Фоксом:

                                                                                            (2)

где l_t = y_t - ŷ_t.

Значения данного коэффициента должны находиться в следующих пределах: -1≤r≤1. Чем меньше его значение по абсолютной величине, тем лучше данное уравнение описывает данную выборку, то есть чем меньше коэффициент автокорреляции остатков, тем в большей мере уравнение тренда пригодно для анализа, моделирования и прогнозирования.

При выборе уравнения тренда можно руководствоваться и други­ми характеристиками: например, средней ошибкой аппроксимации (МАРЕ), определяемой по формуле:

                                                                   (3)

Чем меньше значение данного коэффициента, тем лучше данное уравнение описывает данную выборку. В целом, если средняя ошибка аппроксимации не превышает 5-7%, уравнение тренда хорошо представляет тенденцию временного ряда.

Вопрос 3. Прогнозирование на основе моделей временных рядов.

Первоначальные прогнозы, как правило, сводятся к экстраполяции тенденции. При этом могут использоваться разные методы в зависи­мости от исходной информации (рис.1).

Упрощенные приемы целесообразны при недостаточной информа­ции о предыстории развития явления (нет достаточно длинного ди­намического ряда или информация задана только двумя точками: на начало и конец периода).

рис. 1 Группы методов экстраполяции тенденций

Аналитические методы экстраполяции тенденций основаны на применении метода наименьших квадратов к динамическому ряду и представлении закономерности развития явления во времени в виде уравнения тренда, т.е. математической функции уровней динамиче­ского ряда (у) от фактора времени (t): y=f(t). Используя соответст­вующую кривую роста, можно дать прогноз (как правило, кратко­срочный).

Адаптивные методы используются в условиях сильной колеблемо­сти уровней динамического ряда и позволяют при изучении тенден­ции учитывать степень влияния предыдущих уровней на последую­щие значения динамического ряда. К адаптивным методам относятся методы скользящих и экспоненциальных средних, метод гармониче­ских весов, методы авторегрессионных преобразований.

Лекция 14. Тема: Динамический ряд.

Вопрос 3. Прогнозирование на основе моделей временных рядов (продолжение).

Другую группу методов представляют методы статистического модели­рования. Наиболее распространенные из них представлены на рис.2.

Рис.2. Группы методов статистического моделирования

Деление методов на статические и динамические связано с харак­тером исследуемой информации. Методы статистического моделиро­вания могут быть использованы на основе информации в статике (по совокупности предприятий, фирм, регионов) и по системе связанных рядов динамики. В первом случае они относятся к классу статиче­ских методов, а во втором — динамических.

Статические методы включают методы регрессии, с помощью ко­торых моделируемый объект представлен в виде математической функции от ряда факторов: y=f(x_1, x₂, …, х_р). Сложные экономи­ческие процессы могут описываться системой взаимосвязанных урав­нений.

Применение этой группы методов в прогнозировании предполага­ет инерционность процессов. Качество прогноза моделируемого объекта зависит от реальности прогноза факторов.

Динамические методы статистического моделирования основаны на подробном изучении временных рядов. В частности, уровни динамического ряда рассматриваются как функция тенденции, периодиче­ских (сезонных) и случайных колебаний. На моделировании этих компонентов разложения уровней динамического ряда основаны методы аг­регатного моделирования динамики. Прогноз строится как аддитивная или мультипликативная модель этих компонентов динамики.

Если Вам понравилась эта лекция, то понравится и эта - 44 Заболевания нижней конечности.

Регрессия по взаимосвязанным рядам динамики (особенно как систе­ма уравнений) широко применяется для прогнозирования макроэко­номических показателей. При этом модель включает обычно не толь­ко набор факторов как экономических переменных, но и лаговые пе­ременные, т. е. сдвинутые во времени на определенный интервал (например, в качестве факторов используется моделируемый показа­тель или собственно фактор за предыдущий год).

Своеобразие методов регрессии для прогноза имеет место при ис­пользовании пространственно-временной информации. Для каждого года динамического ряда строится регрессионная модель по совокупно­сти предприятий. Прогноз основывается на экстраполяции параметров регрессии. Данный подход возможен в условиях достаточно стабильной экономики, когда круг охватываемых предприятий во времени мало из­менчив.

Методы статистического моделирования входят в группу методов многофакторного моделирования, к которым относятся также логиче­ское моделирование, включающее моделирование по исторической аналогии, методы сценариев и дерева целей.

Прогнозирование по исторической аналогии основано на использо­вании аналога объекта прогнозирования. Этот подход предполагает перенесение на новую действительность концепции развития той или иной страны, соотношение темпов роста отдельных показателей. Ка­чество прогноза в этом случае полностью зависит от правильности выбора аналога объекта прогнозирования.

Метод сценариев, как и метод дерева целей, представляет собой метод прогнозирования сложных систем. В методе сценариев подробно описывается моделируемая ситуация и дается обзор информации, которая должна быть учтена при прогнозировании. Метод дерева целей предполагает, что для объекта прогноза существует несколько иерархи­ческих уровней, и прогноз осуществляется последовательно по отдель­ным стадиям, блокам — от низшего уровня к более высоким. Методы логического моделирования могут в качестве вспомогательных инстру­ментов прогноза использовать методы экстраполяции и методы стати­стического моделирования.

Рассмотренная классификация методов статистического прогнози­рования достаточно условна, ибо на практике при прогнозировании нередко методы переплетаются: методы скользящей средней дополня­ются уравнением тренда, авторегрессионными преобразованиями; экс­траполяция тенденций дополняется авторегрессией остатков; уравне­ние регрессии может включать показатели тенденции развития объек­та и т. п.