Аналитическое выравнивание динамических рядов

6. Аналитическое выравнивание динамических рядов

Посредством аналитического выравнивания по способу наименьших квадратов устанавливается не только общая тенденция развития явления, но и дается количественная характеристика изменения уровней ряда. В основе этого способа лежит предположение о том, что зависимость между уровнями ряда  и фактором времени  может быть аналитически описана соответствующим уравнением. Уравнение, в котором в качестве независимой переменной берется фактор времени , называется уравнением тренда.

В том случае, когда развитие происходит по закону равномерного движения (возрастания или убывания), то такой тип зависимости можно выразить уравнением тренда прямой. Исходный уровень ряда динамики аналитически представим:

где y_t – уровень ряда динамики;

     - основная тенденция ряда;

     - случайная компонента.

Уравнение тренда отражает влияние главных факторов на динамику явлений. Случайная компонента определяется действием случайных причин.

Выравнивание начинается с теоретического анализа динамического ряда, в результате которого устанавливается характер динамики и тип уравнения тренда.

Рекомендуемые материалы

Применительно к динамическим рядам уравнение тренда прямой запишем в таком виде:

      - уровень изучаемого явления в момент времени t;

t – порядковый номер времени;

а₀ и а₁ – параметры уравнения.

Параметр а₀ означает осредненное значение начальной точки отсчета; а₁ – коэффициент регрессии, показывающий на какую величину в среднем изменится (увеличится или уменьшится) значение уровня ряда динамики при изменении фактора времени на единицу периода.

Параметры уравнения а₀ и а₁ находятся по способу наименьших квадратов:

Поскольку, то

В результате математических преобразований получим следующую систему нормальных уравнений:

В целях облегчения нахождения параметров а₀ и а₁ систему можно упростить; для этого отсчет времени следует вести так, чтобы ,  При таком обозначении фактора времени в рядах динамики с нечетным числом уровней отсчета ведется от центра, взятого за ноль. Вверх пойдут номера –1, -2, - 3 и т.д. вниз симметрично – со знаком полюс +1, +2, +3 и т.д. В рядах динамики с четным числом уровней будем иметь: вверх от центра ряда –1, -3, -5 и т.д.; вниз соответственно +1, +3, +5 и т.д.

В результате такой преобразовательной нумерации фактора времени параметры уравнения тренда прямой вычислим по формулам:

;          .

Выравняем ряд производства холодильников в Республике Беларусь за 1990 – 2004 гг. (табл. 5.4, гр. 9-12). Подставив найденные значения в формулы определения a₀ и a₁, получим:

;        

.

Искомое уравнение тренда производства холодильников и морозильников примет вид:

.

Подставив в уравнение значений фактора времени , получим выравненные (сглаженные) значения уровней ряда . При этом следует иметь в виду, что a₀ – уровень производства холодильников и морозильников при , то есть в 1997 г., a₁ – среднегодовой абсолютный прирост

Совпадение итогов эмпирических  и теоретических уровней  свидетельствует о правильности произведенных расчетов, т.е. (несовпадение на 0,7 тыс. шт. произошло за счет округлений).

В математической статистике доказано, что в рядах динамики с нечетным числом уровней значение  можно вычислить по формуле:

, а в рядах динамики с четным числом уровней – по формуле: .

Мерой оценки колеблемости эмпирических уровней ряда динамики от теоретических выступает среднее квадратическое отклонение, исчисляемое по формуле:

,

где n – число уровней ряда;

m – число параметров уравнения тренда.

Относительным показателем оценки колеблемости выступает коэффициент вариации:

.

Вычислим приведенные показатели колеблемости по данным табл. 5.34 (гр. 13 – 14):

;

.

Выбор уравнения тренда для оценки характера развития того или иного процесса в экономике может быть дан на основе сравнения фактических уровней динамического ряда с эталонами, используя которые можно различать типы развития процессов во времени.

По определенности экономического смысла и возможности последующей содержательной интерпретации результатов математических расчетов целесообразно выделить четыре типа развития экономических явлений во времени, каждому из которых соответствует определенная математическая модель (уравнение тренда).

Равномерное развитие, то есть движение осуществляется по закону арифметической прогрессии с постоянным абсолютным изменением уровней динамического ряда. Эталонной моделью развития этого типа служит уравнение равномерного движения. Этому типу движения соответствует уравнение тренда прямой:

.

Порядок расчета параметров уравнения тренда прямой a₀ и a₁ рассмотрен выше. Если , то уровни динамического ряда возрастают, а при  они снижаются во времени.

Равноускоренное (равнозамедленное) развитие, т.е. с постоянным во времени ускорением (замедлением). Эталонной моделью служит уравнение параболы второго порядка:

.

При  имеет место наличие ускорения развития процесса, а при  - его замедление.

Параметры уравнения a₀ , a₁ и a₂ найдем из системы нормальных уравнений:

При условии, что значения параметров уравнения параболы определим:

, а значения параметров a₀ и a₂ – из системы уравнений:

Развитие с переменным ускорением (замедлением). Эталонной моделью его считается уравнение развития с переменным ускорением (замедлением), выраженное трендом параболы третьего порядка:

.

Если , то имеем эффект возрастания ускорения;  - его замедления во времени.

Для нахождения параметров уравнения необходимо решить систему нормальных уравнений:

Приняв, что , получим следующие две системы преобразовательных уравнений определения параметров тренда параболы третьего порядка:

Развитие по закону с постоянным темпом роста, т.е. в геометрической прогрессии. Эталонной моделью развития этого типа является уравнение степенной зависимости:

.

Параметр k в этом уравнении соответствует среднему темпу роста.

Если , то темпы роста возрастают, а при  - снижаются.

Для нахождения параметров уравнения степенной зависимости a₀ и k необходимо произвести линеаризацию, т.е. привести это уравнение к линейному виду. Достигнем этого путем логарифмирования исходного уравнения:

.

Параметры логарифмического уравнения lg_a и lg_k  определим на основе системы нормальных уравнений:

Если , то значения параметров уравнения исчислим по формулам:

Лекция "Создание и обслуживание информационных систем" также может быть Вам полезна.

Исходные значения параметров а₀ и к получим, взяв антилогарифмы параметров lga₀ и lgk.

Рассчитывая теоретические уровни анализируемого динамического ряда при помощи эталонных моделей, можно установить, какому из названных выше типов развития в большей мере соответствует изучаемый процесс. Подобная задача решается на основе определения средней квадратической ошибки аппроксимации, исчисляемой по формуле:

Сравнивая результаты выравнивания, полученные для различных моделей, по минимальной величине  определяют, какая из моделей типа развития наиболее подходит для данного динамического ряда.

Кроме того, полученные модели могут быть использованы и в прогностических целях, а их сопоставление за несколько смежных периодов времени (например, за два пятилетия) позволяет выявить смену типов развития, если она имеет место в действительности.