Концентрация носителей заряда в равновесном состоянии полупроводника

ГЛАВА 2

ЭЛЕКТРОФИЗИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ПОЛУПРОВОДНИКОВ

2.1. Концентрация носителей заряда в равновесном состоянии полупроводника

2.1.1. Общие сведения

Напомнит некоторые сведения из курса физики. Полупроводниками, как прави­ло, являются твердые тела с регулярной кристаллической структурой. В твердом те­ле концентрация (объемная плотность) атомов велика, поэтому внешние электрон­ные оболочки соседних атомов сильно взаимодействуют, и вместо системы дискрет­ных энергетических уровней, характерной для одного изолированного атома, появля­ется система зон энергетических уровней. Эти зоны уровней называют разрешенными, а области между ними – запрещенными зонами. Верхняя разрешен­ная зона называется зоной проводимости, а первая под ней – валентной зоной.

В физике принята классификация твердых тел на металлы, полупроводники и диэлектрики по ширине запрещенной зоны , от значения которой зависят концент­рация свободных носителей, удельное электрическое сопротивление и ток. Условно к диэлектрикам относят тела, у которых >2 эВ, к полупроводникам, когда < 2 эВ, у металлов зоны проводимости и валентная либо перекрываются, либо ширина за­прещенной зоны =0.

В полупроводниковой электронике обычно используются кремний (Si) и герма­ний (Ge) – элементы четвертой группы периодической системы химических элемен­тов (четырехвалентные элементы). В последние годы начал широко использоваться арсенид галлия (GaAs), в кристаллической решетке которого чередуются атомы трех­валентного галлия (Ga) и пятивалентного мышьяка (Аs). Ширина запрещенной зоны при абсолютной температуре Т=300 К у германия 0,66 эВ, кремния 1,12эВ и арсенида галлия 1,4 эВ.

Беспримесный (чистый) полупроводник без дефектов кристаллической структу­ры называют собственным полупроводником и обозначают буквой i (от слова intrinsic –собственный). При температуре абсолютного нуля (T=0 К) в таком полупроводнике все энергетические уровни валентной зоны заполнены валентными электронами, а в зоне проводимости нет электронов. По мере увеличения температуры растет энергия колебательного движения атомов кристаллической решетки и увеличивается вероят­ность разрыва ковалентных (парных) связей атомов, приводящего к образованию свободных электронов, энергия которых соответствует уровням зоны проводимости. Отсутствие одного электрона в ковалентной связи двух соседних атомов, или «вакан­сия», эквивалентно образованию единичного положительного заряда, называемого дыркой. Эта вакансия может быть потом занята одним из валентных электронов, при­надлежащих соседней паре атомов. Тогда дырка будет «принадлежать» этой паре атомов, и условно можно говорить о перемещении дырки, хотя в действительности это только результат перемещения валентного электрона.

Очень важно, что появление одного свободного электрона сопровождается об­разованием одной дырки. Говорят, что идет образование (генерация) пар электрон – дырка с противоположными знаками заряда.

Рекомендуемые материалы

Если в собственный четырехвалентный кремний (или германий) ввести атом пятивалентного элемента, например фосфора (Р), сурьмы (Sb) или мышьяка (As), то че­тыре из пяти валентных электронов введенного атома примеси вступят в связь с че­тырьмя соседними атомами Si (или Ge) и образуют устойчивую оболочку из восьми электронов, а пятый электрон оказывается слабо связанным с ядром атома примеси. Этот «лишний» (условно «примесный») электрон движется по орбите значительно большего размера и легко (при небольшой затрате энергии) отрывается от примесно­го атома, т.е. становится свободным. При этом неподвижный атом превращается в положительный ион. Свободные электроны «примесного» происхождения добавля­ются к свободным электронам исходного собственного полупроводника, поэтому электрическая проводимость полупроводника при большой концентрации примеси становится преимущественно электронной. Такие примесные полупроводники назы­ваются электронными или п-типа (от слова negative - отрицательный). Примеси, обусловливающие электронную проводимость, называют донорными.

Если в собственный полупроводник, например кремний, ввести примесный атом трехвалентного элемента, например бора (В), галлия (Ga) или алюминия (Аl), то все валентные электроны атома примеси включатся в ковалентные связи с тремя из четырех соседних атомов собственного полупроводника. Для образования устойчивой восьмиэлектронной оболочки (четыре парные связи) примесному атому не хватает одного элек­трона. Им может оказаться один из валентных электронов, который переходит от ближайших атомов кремния. В результате у такого атома кремния появится «вакансия», т.е. дырка, а неподвижный атом примеси превратится в ион с единичным отрицательным зарядом. Дырки примесного происхождения добавляются к собственным дыркам, так что при большой концентрации примеси проводимость полупроводника становится преимущественно дырочной. Такие примесные полупроводники называют дырочными или р-типа (от слова positive – положительный). Примеси, обеспечивающие получение боль­шой концентрации дырок, называют акцепторными («захватывающие» электроны).

Отрыв электрона от донорного атома и валентного электрона от атомов исходно­го (собственного) полупроводника для «передачи» его акцепторному атому требует затраты некоторой энергии, называемой энергией ионизации или активизации при­меси. Поэтому при температуре абсолютного нуля ионизации нет, но в рабочем диа­пазоне температуры, включающем комнатную температуру, примесные атомы прак­тически полностью ионизированы. Энергия ионизации доноров  и акцепторов  составляет несколько сотых долей электронвольта (эВ), что значительно меньше ши­рины запрещенной зоны . Поэтому энергетические уровни электронов донорных атомов («примесные уровни») располагаются в запрещенной зоне вблизи нижней границы («дна») зоны проводимости на расстоянии, равном энергии ионизации . Аналогично примесный уровень акцепторов находится в запрещенной зоне на не­большом расстоянии  от верхней границы («потолка») валентной зоны.

В собственном полупроводнике концентрации электронов и дырок одинаковы. В примесных полупроводниках они отличаются на много порядков, поэтому носите­ли заряда с большей концентрацией называют основными, а с меньшей – неосновными. В полупроводнике n-типа основные носители – электроны, а в полу­проводнике p-типа – дырки.

Значения концентраций свободных электронов и дырок устанавливаются (состо­яние равновесия) в результате действия двух противоположных процессов: процесса генерации носителей (прямой процесс) и процесса рекомбинации электронов и ды­рок (обратный процесс).

Рекомбинация означает, что свободный электрон восстанавливает ковалентную связь (устраняет вакансию). Этот процесс можно представить на энергетической диа­грамме как переход электрона из зоны проводимости на свободный энергетический уровень валентной зоны. Результатом восстановления связи является одновремен­ное исчезновение свободного носителя отрицательного заряда и свободной положи­тельно заряженной дырки, т.е. исчезновение пары свободных носителей с противо­положным знаком заряда, каждый из которых до этого мог участвовать в создании электрического тока. В состоянии равновесия скорость генерации носителей заряда равна скорости рекомбинации.

2.1.2. Метод расчета концентраций

Концентрация электронов n в зоне проводимости и концентра­ция дырок р в валентной зоне могут быть представлены следующи­ми общими выражениями:

;                                                                                                           (2.1)

;                                                                                                    (2.2)

Величины и  – плотности квантовых состояний, т.е. число квантовых состояний в единичном интервале энергии зоны проводимости и валентной зоны в объеме 1 см³. Функция  в (2.1) есть вероятность того, что состояние с энергией  занято электро­ном. Соответственно означает вероятность отсутствия электрона на уровне в валентной зоне, т.е. вероятность существо­вания дырки.

Интегрирование в (2.1) должно производиться по всем уровням зоны проводимости, начиная с нижней границы . Однако верхний уровень (предел) заменен бесконечностью, чтобы произвести ана­литическое интегрирование. Вносимая при этом ошибка незначи­тельна из-за сильного (экспоненциального) убывания с ростом . Пределы интеграла (2.2) определяются граничным уровнем («потолком валентной зоны»)  за наименьшее значение энергии принято =0, чтобы можно было произвести аналитическое интег­рирование, не внося существенной ошибки.

При квантово-механическом рассмотрении установлено, что

                                                                            (2.3)

                                                                          (2.4)

где h – постоянная Планка;  и  – эффективные массы электро­нов и дырок, отличающиеся от массы свободного электрона  в вакууме из-за влияния на величину ускорения этих частиц собственного электрического по­ля кристаллической решетки.

Графики функций  и показаны на рис. 2.1. Значения  и  в соответствии с (2.3) и (2.4) пропорциональны корню квад­ратному из интервала между рассматривае­мым уровнем и границами зон  и .

Вероятностная функция f(e) в (2.1) и (2.2) определяется по формуле

                                                                                                             (2.5)

которая называется функцией распределения Ферми-Дирака. В этой функции k – постоянная Больцмана, Т – абсолютная температура, а  – энергия уровня Ферми. Очевидно, что при . Поэ­тому формально уровнем Ферми является уровень, вероятность нахождения электрона на котором равна 0,5 (рис. 2.2). При Т > 0 К функция имеет плавный, но быстрый спад приблизительно в интер­вале значений энергии ±2 kT около уровня . При комнатной темпе­ратуре (T=300 К) kT= 0,026 эВ, т.е. ±2kT= ±0,052 эВ, что значитель­но меньше , составляющего единицы электронвольта. Вероят­ность при , и  при .

Функцию распределения  необходимо «привязывать» к зон­ной диаграмме полупроводника. Как правило, для этого надо знать, где находится уровень Ферми. У обычно используемых полупровод­ников  находится в запрещенной зоне: в n-полупроводнике – на «расстоянии» >>2kT от дна зоны проводимости, а в р-полупроводнике – на расстоянии>> 2kT от потолка валентной зо­ны и в формуле (2.5) можно пренебречь в знаменателе единицей, т.е. функция распределения Ферми-Дирака сводится приближенно к функции распределения Максвелла-Больцмана:

                                                                                                                (2.6)

Полупроводники, для которых справедлива функция распределе­ния Максвелла- Больцмана, называют невырожденными. Для них характерно то, что число частиц значительно меньше числа разрешен­ных состояний. Однако если в полупроводнике уровень Ферми дока­зывается в интервале 2kT вблизи границ зон или внутри этих зон, то следует пользоваться только функцией распределения Ферми-Дира­ка, а состояние полупроводника становится вырожденным. В этом со­стоянии число частиц сравнимо с числом разрешенных состояний.

Только для невырожденных полупроводников, используя (2.6), можно найти аналитическое решение интегралов (2.1) и (2.2) и полу­чить фундаментальные формулы

                                                         (2.7)

                                                        (2.8)

Формулы (2.7) и (2.8) являются универсальными, так как приме­нимы для расчета концентраций в любых типах полупроводников: собственном (типа i) и примесных (типов п и р). Коэффициенты  и  следует трактовать как эффективное число состояний, располо­женных на границах зон (уровней  и , которые только и входят в формулы). Значения  и  для кремния и германия составляют примерно 10¹⁹ см^-3.

Формулы (2.7) и (2.8) следует также понимать как отражение взаи­мосвязи между концентрацией (числом носителей) и уровнем Ферми. Если известно значение , то можно вычислить концентрации п и р, соответствующие этому значению . Если же известна концентрация п (или р), то можно вычислить соответствующее ей значение . Фор­мула для  в этом случае получается из (2.7) или (2.8), но значение в результате расчета, естественно, должно получиться одинаковым:

                                                                                   (2.9)

Одинаковый результат является следствием имеющейся связи между значениями концентраций п и р, т.е. связи между полным чис­лом носителей в зоне проводимости и валентной зоне. Рассмотрим эту связь.

Используя (2.7) и (2.8), найдем произведение концентраций:

Так как ширина запрещенной зоны

                                                                                                          (2.10)

Получился важный результат: произведение концентраций про­тивоположных по знаку зарядов не зависит от типа электропроводности полупроводника (i-, n-, р-типа) и от уровня Ферми , а опреде­ляется только шириной запрещенной зоны  (т.е. веществом) и температурой.

Применим (2.10) для собственного (чистого, беспримесного) по­лупроводника, в котором концентрация электронов и дырок одина­кова . Получим формулу

                                                                                    (2.11)

которую можно использовать для расчета концентраций носителей в собственном полупроводнике, не зная положения уровня Ферми:

                                                                                                       (2.12)

или преобразования формулы (2.10) до вида

                                                                                                                         (2.13)

Смысл этого соотношения состоит в том, что увеличение кон­центрации частиц с одним знаком заряда сопровождается уменьше­нием концентрации частиц с другим знаком. Такая зависимость объ­ясняется тем, что при увеличении, например, концентрации элект­ронов п обязательно пропорционально увеличится и вероятность рекомбинации носителей, в результате чего будет пропорциональ­но убывать концентрация дырок р.

Расчет по формуле (2.12) дает следующие значения : для Ge – 2,4 10¹³ см^-3; для Si – 1,45 10¹⁰ см^-3 ; для GaAs – 1,79 10⁶ см^-3. Пре­вышение ширины запрещенной зоны кремния по сравнению с гер­манием всего в 1,12/0,66=1,7 раза привело к уменьшению концент­рации собственных носителей приблизительно в 10³ раз.

Итак, для нахождения концентрации n и p по формулам (2.7) и (2.8) необходимо знать энергию уровня Ферми. Однако есть возмож­ность обойтись без нее, так как кроме уравнения (2.13) имеется еще одно уравнение для n и p, в которое уровень Ферми в явном виде так­же не входит. Это второе уравнение получается из условия электри­ческой нейтральности полупроводника, которое мы и рассмотрим.

2.1.3. Условие электрической нейтральности

Это условие требует, чтобы суммарный заряд любого объема собственного и примесного полупроводников был равен нулю:

                                                                                                                          (2.14)

Для 1 см³ собственного полупроводника с концентрациями элек­тронов и дырок

,

где q – абсолютная величина заряда электрона. Это условие нейт­ральности можно переписать в виде

                                                                                                                             (2.15)

Это соотношение отражает процесс одновременного образова­ния пар электрон –дырка. Естественно, образование таких пар но­сителей с разными знаками зарядов не нарушает нейтральности.

Для объема 1 см³ полупроводника n-типа

или

                                                                                                                  (2.16)

где  – концентрация положительных донорных ионов (считаем, что все атомы доноров ионизированы, поэтому  одновременно есть и концентрация вводимых нейтральных донорных атомов); ин­декс п указывает на тип полупроводника.

Аналогично для р-полупроводника условие (2.14)

или

                                                                                                                  (2.17)

где  – концентрация отрицательных акцепторных ионов, а индекс р указывает на тип полупроводника.

2.1.4. Концентрация основных и неосновных носителей в примесных полупроводниках

Эти величины, как уже отмечалось, могут быть легко опреде­лены в результате совместного решения уравнений (2.13) и (2.16) или (2.17).

Для n-полупроводника, решив совместно уравнения (2.13) и (2.16), получим

                                             (2.18)

В n-полупроводнике концентрация доноров на несколько поряд­ков больше  (>>), поэтому вместо (2.18) можно записать

                                                                                                 (2.19)

В n-полупроводнике электроны являются основными носителя­ми, а дырки неосновными, так как >>

Пример. Концентрация доноров в германии = 10¹⁶ см^-3, = 2,4 10¹³ см ^-3. Концентрация электронов (основных носителей) по формуле (2.19) составит == 10¹⁶ см ^-3, концентрация дырок (неосновных носителей) = 5,76·10²⁶/10¹⁰= 5,76·10¹⁰ см ^-3.

Аналогично для р-полупроводника из уравнений (2.13) и (2.17) получим

                                              (2.20)

При выполнении условия >>

                                                                                                 (2.21)

где  - концентрация основных носителей, a  - неосновных носи­телей (>>).

Результаты (2.19) и (2.21) следовало ожидать, так как при ра­бочих температурах практически все примесные атомы ионизиро­ваны. Но тогда и концентрации неосновных носителей и  мож­но найти из точных формул (2.18) и (2.20), подставив в них  и , т.е.

                                                                                       (2.22)

На основании формул (2.22) можно сделать важный вывод, что концентрация неосновных носителей очень сильно зависит от ве­щества. Так как для Si  = 1,45·10¹⁰ см ^-3, а для Ge = 2,4·10¹³ см ^-3, то концентрация неосновных носителей, пропорциональная , у Ge будет в (2,4·10¹³/1,45·10¹⁰)²  3·10⁶ раз выше, чем у кремния. Это объясняется различием в ширине запрещенной зоны. Кроме того, концентрации неосновных носителей сильно зависят от температуры, так как от нее по формуле (2.12) экспоненциально зависит .

При некоторой температуре концентрация , сравнивается с концентрацией доноров  в n-полупроводнике. Назовем эту тем­пературу максимальной (T_mах). При Т>T_mах >, т.е. концентра­ция электронов будет определять­ся не примесью, и поэтому теряет смысл термин «основные носители». В результате генерации пар носителей концентрации электро­нов и дырок оказываются одинако­выми, как в собственном полупро­воднике, и с ростом температуры увеличиваются по экспоненциальному закону. Аналогичный процесс происходит при росте темпера­туры в р-полупроводнике.

На рис. 2.3 показана температурная зависимость концентрации электронов в кремнии n-типа. Существует подъем кривой на началь­ном участке от T=0 К до некоторой температуры, при которой закон­чится ионизация доноров. Затем в довольно широком диапазоне температур (включающем комнатную) концентрация равна концент­рации примеси, т.е. электроны являются основными носителями. При высоких температурах (Т > T_mах) концентрация определяется генерацией пар носителей, т.е. величиной , экспоненциально рас­тущей с повышением температуры.

2.1.5. Положение уровня Ферми в полупроводниках

При определении концентрации носителей нам удалось обойтись без уровня Ферми. Однако для нахождения закона распределения носителей по энергии и реше­ния других задач необходимо знание положения уровня Ферми на энергетических (зонных) диаграммах.

Значение  в i-, п-, р-полупроводниках может быть найдено с помощью выраже­ния (2.9), так как концентрации п и р нами уже определены. В собственном полупро­воднике n = р = , поэтому энергия уровня Ферми в нем из (2.9)

                                                                                                          (2.23)

Подставляя в (2.23)   из (2.12) и учитывая, что

                                                                                           (2.24)

Вторым слагаемым обычно пренебрегают, так как kТ << и мало значение  (N_с и N_v сравнимы). В этом очень хорошем приближении вместо (2.24) получим

                                                                                                             (2.25)

Таким образом, в собственном полупроводнике уровень Ферми практически на­ходится в середине запрещенной зоны.

Уровень Ферми  в n-полупроводнике определяется из (2.9) при  в соответствии с (2.19):

                                                                                                        (2.26)

Умножая числитель и знаменатель второго слагаемого на  и используя форму­лу (2.23), получаем

                                                                                                       (2.27)

Так как >> , то из (2.27) следует, что в n-полупроводнике уровень Ферми распо­лагается значительно  выше  – середины запрещенной зоны. С ростом   смеща­ется вверх, в сторону зоны проводимости, в соответствии с (2.26) он должен быть ниже нижнего уровня этой зоны . Но надо иметь в виду, что эта и другие приводимые фор­мулы применимы лишь к невырожденному полупроводнику, для которого справедливо распределение Максвелла-Больцмана (2.6). В действительности при некоторой кон­центрации примеси уровень  окажется на расстоянии 2kТ от границы зоны проводи­мости, а при дальнейшем росте  пересечет границу и войдет в зону. В этих случаях полупроводник становится вырожденным, т.е. необходимо пользоваться распределе­нием Ферми-Дирака (2.5), но при этом нельзя решить задачу аналитически.

Для нахождения уровня Ферми  в р-полупроводнике также воспользуемся формулой (2.9), подставив вместо n концентрацию неосновных носителей  (п =).

Введя аналогично предыдущему случаю величину  под логарифм и используя при преобразованиях формулу (2.22), получим

               (2.28)

Так как >>, то уровень Ферми в р-полупроводнике находится значительно ниже уровня Ферми  собственного полупроводника, т.е. ниже середины запрещен­ной зоны. С ростом концентрации акцепторов уровень может приблизиться к потолку валентной зоны  даже войти в нее. Но когда  окажется ниже уровня (+ 2kT), полупроводник станет вырожденным.

Таким образом, зависимость положения уровня Ферми в п- и р-полупроводниках аналогична (рис. 2.4,а): уровень Ферми в примесных полупроводниках смещается в сторону зоны, где находятся основные носители. Значения концентрации приме­си, при которой положение уровня совпадает с границей зон, называют критическим ().

Остановимся на зависимости положения уровня Ферми от температуры T (рис. 2.4,б).

Лекция "34. Прометей" также может быть Вам полезна.

Положение уровня Ферми в i-полупроводнике по формуле (2.24) от температу­ры практически не зависит. В n-полупроводнике, для которого справедлива форму­ла (2.26), в рабочем диапазоне температур концентрация электронов от температу­ры практически не зависит («истощение примеси»), т.е. п=, поэтому уровень Ферми  c ростом температуры смещается вниз из-за отрицательного знака перед вторым слагаемым. Однако при температуре T>Т_mах (см. рис. 2.3) полупроводник ведет себя как собственный, у которого уровень Ферми должен находиться в сере­дине запрещенной зоны. Чем меньше концентрация примеси , тем при меньшем значении температуры Т_mах происходит потеря свойств примесного полупроводни­ка. Такой же вывод следует сделать и для р-полупроводника: уровень  с ростом температуры смещается к середине запрещенной зоны. Однако имеется сущест­венное различие в поведении уровня для германия и кремния, так как концентрация ( в Ge значительно больше (примерно на три порядка), чем в кремнии, т.е. при оди­наковой концентрации примеси значение Т_mах у германия будет ниже. Это обстоя­тельно объясняет тот факт, что кремниевые приборы имеют более высокие рабочие температуры (до 125...150°С).

2.1.6. Распределение носителей заряда по энергии

Эти распределения определяются подынтегральной функцией в выражениях (2.1) и (2.2) и изображены для i-, n-, р-полупроводников на рис. 2.5. Для каждого полу­проводника (рис. 2.5,a) в зоне проводимости изображена за­висимость , описываемая формулой (2.3), а в валентной зоне  – формулой (2.4). Функция распределения Ферми-Дирака f(ε) «привязывается» к шкале энергии (рис. 2.5) по из­вестному значению энергии уровня Ферми (при f(ε) = 0,5). В соответствии с предыдущим рассмотрением f(ε) в n-полупроводнике смещается вверх от по­ложения в i-полупроводнике, а в р-полупроводнике вниз.

Перемножив значения  и f(ε), получим распределение носителей по энергии в зоне про­водимости (рис. 2.5,в). Что каса­ется валентной зоны, то в соот­ветствии с выражением (2.2)  надо умножать на [1 –f(ε)]. Очевидно, что площади полу­ченных распределений в зоне проводимости определяют концентра­ции электронов: в собственном полупроводнике, в n-полупроводнике  (основные носители), в р-полупроводнике  (неосновные носите­ли). Аналогично площади распределений в валентной зоне определя­ют концентрации дырок: в собственном полупроводнике, в n-полупроводнике  (неосновные носители), в р-полупроводнике  (основ­ные носители). В собственном полупроводнике площади обоих рас­пределений равны, так как , а в примесных полупроводниках большие площади соответствуют основным носителям, а меньшие (меньше, чем в собственном) – неосновным.

Все распределения имеют максимум, а затем быстро спадают.