Метрология сигналов

Тема 2:  метрология  сигналов

Физическая величина более точно определяется уравнением, чем измерением.

Макс Планк (XVIII-XIX в).

(Немецкий физик - теоретик).

Теоретикам свойственно намекать о важности своих занятий. Сам себя не похвалишь, как оплеванный ходишь. Между тем, уравнение только математическая модель физической величины. А без измерений понятия точности вообще не существует. 

Борис Старцев (XX в).

(Уральский геофизик - практик).

Содержание:  2.1. Пространство сигналов. Линейное пространство сигналов. Координатный базис пространства. Норма сигналов. Метрика сигналов. 2.2. Мощность и энергия сигналов. Понятия мощности и энергии сигналов. Скалярное произведение сигналов. 2.3. Обобщенный ряд Фурье. Ортогональные сигналы. Разложение сигнала в ряд Фурье. Ортонормированные системы функций. Разложение энергии сигнала.  2.4.  Функции  корреляции  сигналов. Корреляционные функции сигналов.  Взаимная корреляционная функция. Литература.

В данной теме метрология сигналов рассматривается, в основном, на уровне понятий и базовых определений, предваряя их более подробное изучение в дальнейших темах курса. Это объясняется тем, что при детальном изучении каких-либо характеристик или свойств сигналов их рассмотрение не может выполняться в отрыве от других метрологических характеристик рассматриваемых типов сигналов и требует определенной ориентировки в общей метрологии сигналов, хотя бы на уровне понятий.

Рекомендуемые материалы

2.1.  Пространство сигналов [1,3,16].

Важнейшее свойство аналоговых и дискретных сигналов заключается в том, что их линейные комбинации также являются аналоговыми или дискретными сигналами. Линейные комбинации цифровых сигналов, в силу их ограничения по разрядности, в принципе относятся к разряду нелинейных операций, однако последним фактором можно пренебречь, если ошибки, которые вносятся в результаты наблюдений при квантовании отсчетов, достаточно малы по сравнению с шумами зарегистрированной информации.  При дискретизации и квантовании данных непосредственно на входах в ЭВМ последнее выполняется практически всегда, поскольку ошибки определяются разрядностью ЭВМ и программными системами обработки данных, которые обычно не ниже 6-12 десятичных разрядов.

Линейное пространство сигналов.  Пусть L{s₁(t), s₂(t), …}- множество сигналов, которые имеют какие-то общие свойства и определенную структуру связи между сигналами. Например, множество может состоять из сигналов вида s_n(t) = A_ncos(w_nt+j_n)  – гармонических колебаний с определенными значениями амплитуд, частот и начальных фаз. Путем введения  структурных ограничений множество сигналов может быть превращено в функциональное пространство сигналов. Так, множество сигналов L образует линейное пространство сигналов,  если для него справедливы следующие аксиомы:

1. Для любых  сигналов u(t) Î L и v(t) Î L  существует их сумма s(t) = u(t)+v(t), которая также содержится в L, при этом операция суммирования коммутативна: u(t)+v(t) = v(t)+u(t), и ассоциативна: u(t)+(v(t)+x(t)) = (u(t)+v(t))+x(t).

2. Для любого сигнала  s(t) Î L и числа  a определен сигнал y(t) = as(t), у(t) Î L.

3. Множество L содержит такой нулевой элемент Æ, что для всех сигналов u(t) Î L выполняется равенство u(t)+Æ = u(t).

Сигналы могут описываться как вещественными, так и комплексными функциями, и линейные пространства также могут быть вещественными или комплексными.

Множество L, для которого выполняются данные аксиомы, при анализе сигналов и систем может рассматриваться как специальным образом сконструированное многомерное (в пределе – бесконечномерное) геометрическое пространство. Сигналы таких линейных пространств часто называют векторами в силу аналогии их свойств со свойствами векторов. Соответственно, для математического анализа систем и сигналов в линейном пространстве может использоваться математика векторов.

Пример. Множество сигналов L состоит из импульсных сигналов произвольной формы с амплитудой не более 10 вольт. Образуют ли эти сигналы линейное пространство?

Нет, не образуют, так как не выполняется, по крайней мере, первая аксиома линейного пространства (сумма двух сигналов с амплитудой более 5 вольт превышает 10 вольт). Требуются дополнительные структурные ограничения по параметрам сигналов.

Координатный базис пространства. В пространстве сигналов можно выделить координатный базис пространства - подмножество векторов {е₁, е₂, е₃, …} со свойствами координатных осей, по которым можно разложить произвольный сигнал, принадлежащий линейному пространству.

Совокупность векторов e_i пространства L является линейно независимой и образует координатный базис пространства, если равенство a_ie_i = Æ  выполняется только в случае одновременного обращения в нуль всех числовых коэффициентов a_i. При этом произвольный сигнал s(t) может быть разложен по координатному базису e_i  в виде

s(t) =с_ie_i,                                                  (2.1.1)

где числа с_i – проекции сигнала s(t) на координатный базис.

   Пример. 

   Линейное пространство образовано сигналами, которые описываются многочленом вида

   s(t) =c_ntⁿ.

   Координатным базисом в пространстве является система одночленов

   {е₀ = 1, е₁ = t, e₂ =  t², … , е_n = tⁿ}.

Норма сигналов. Линейное пространство сигналов L является нормированным, если каждому сигналу пространства однозначно сопоставлено число ||s(t)|| - норма (norm) сигнала, и выполняются следующие аксиомы:

1. Норма неотрицательна и равна нулю тогда и только тогда, когда сигнал равен нулю (||s(t)|| = Æ, при s(t) = Æ).

2. Для любого числа b должно быть справедливо равенство: ||bs(t)|| = |b| × ||s(t)||.

3. Если v(t) и u(t) – сигналы из пространства L, то должно выполняться неравенство треугольника: ||v(t)+u(t)|| £ ||v(t)|| + ||u(t)||.

В линейном пространстве сигналов норма является аналогом длины векторов. В математике существуют различные формы норм. Для анализа сигналов чаще всего используются квадратичные нормы:

||s(t)|| =.                                     (2.1.2)

            Соответственно, для дискретных сигналов:

||s(t)|| =.                                     (2.1.2')

            Для комплексных сигналов:

||s(t)|| =,                               (2.1.2'')

где s*(t) – величины, комплексно сопряженные с s(t).

Метрика сигналов. Линейное пространство сигналов L является метрическим, если каждой паре сигналов u(t) Î L и v(t) Î L однозначно сопоставляется неотрицательное число r(u(t),v(t)) –  метрика (metric) или расстояние между векторами, и выполняются аксиомы:

1. r(u(t),v(t)) = r(v(t),u(t)) – рефлексивность метрики.

2. r(u(t),u(t)) = 0  для любых  u(t) Î L.

3. r(u(t),v(t)) £ r(u(t),a) + r(a,v(t)) для любых  a Î L.

Метрика определяется нормой разности двух сигналов:

r(u(t),v(t)) = || u(t) – v(t) ||.                                      (2.1.3)

В свою очередь норму можно отождествлять с расстоянием от выбранного элемента пространства до нулевого:  ||u(t)|| = r(u(t),Æ).

По метрике сигналов можно судить, например, о том, насколько точно один сигнал может быть аппроксимирован другим сигналом или насколько изменяется выходной сигнал относительно входного при прохождении через какое-либо устройство.

Пример.  Сигнал на интервале (0,Т) представляет собой половину периода синусоиды амплитудой A:  s(t) = A×sin(pt/T),  0 £ t £ T. Требуется аппроксимировать сигнал прямоугольным импульсом  п(t).

Если принять амплитуду импульса п(t) равной В, то квадрат расстояния между сигналами:  r²(s,п) =(A sin(pt/T)-В)² dt = A²T/2 - 4ABT/p + B²T.

Для решения задачи требуется найти минимум выражения r²(s,п). Дифференцируем полученное выражение по В, приравниваем нулю и, решая относительно В, находим значение экстремума: В = 2A/p » 0.64А. Это искомое значение минимума функции r²(s,п), так как вторая производная функции по В положительна. При этом минимальное значение метрики: r_min » 0.31A. Вычислим нормы сигналов при А = 1:

Е_s = А²sin² (pt/T) dt = A² T/2 = 10.  Норма:  ||s(t)|| == 0.707 A » 3.16.

Е_п = B²dt = B² T » 8.1.  Норма:  ||п(t)|| = = B » 2.85.

2.2.  Мощность и энергия сигналов [1,3,16].

Понятия мощности и энергии в теории сигналов не относятся к характеристикам каких-либо физических величин сигналов, а являются их количественными характеристиками, отражающими определенные свойства сигналов и динамику изменения их значений (отсчетов) во времени, в пространстве или по любым другим аргументам.

Для произвольного, в общем случае комплексного,  сигнала s(t) = a(t)+jb(t), где а(t) и b(t) - вещественные функции, мгновенная мощность (instantaneous power) сигнала по определению задается выражением:

            w(t) = s(t)s*(t) = [a(t)+jb(t)][(a(t)-jb(t)] = a²(t)+b²(t) = |s(t)|²,                   (2.2.1)

т.е. функция распределения мгновенной мощности по аргументу сигнала равна квадрату функции его модуля, для вещественных сигналов - квадрату функции амплитуд.

Энергия сигнала (также по определению) равна интегралу от мощности по всему интервалу существования или задания сигнала. В пределе:

                                               Е_s =w(t)dt =|s(t)|²dt.                                       (2.2.2)

По существу, мгновенная мощность является плотностью мощности сигнала, так как измерения мощности возможны только через энергию, выделяемую на интервалах ненулевой длины:

w(t) = (1/Dt)|s(t)|²dt.

Энергия сигналов может быть конечной или бесконечной. Конечную энергию имеют финитные сигналы и сигналы, затухающие по своим значениям в пределах конечной длительности, которые не содержат дельта-функций и особых точек (разрывов второго рода и ветвей, уходящих в бесконечность). В противном случае их энергия равна бесконечности. Бесконечна также энергия периодических сигналов.

Как правило, сигналы изучаются на определенном интервале Т, для периодических сигналов - в пределах одного периода Т, при этом средняя мощность (average power) сигнала:

                                   W_T(t) = (1/T)w(t) dt = (1/T)|s(t)|² dt.                              (2.2.3)

Понятие средней мощности может быть распространено и на незатухающие сигналы, энергия которых бесконечно велика. В случае неограниченного интервала Т строго корректное определение средней мощности сигнала должно производиться по формуле:

                                                             W_s = w(t) dt.                                         (2.2.3')

Квадратный корень из значения средней мощности характеризует действующее (среднеквадратическое) значение сигнала (root mean sqare, RMS).

Применительно к электрофизическим системам, данным понятиям мощности и энергии соответствуют вполне конкретные физические величины. Допустим, что функцией s(t) отображается электрическое напряжение на резисторе, сопротивление которого равно R Ом. Тогда рассеиваемая в резисторе мощность, как известно, равна (в вольт-амперах):

w(t) = |s(t)|²/R,

а полная выделенная на резисторе тепловая энергия определяется соответствующим интегрированием мгновенной мощности w(t) по интервалу задания напряжения s(t) на резисторе R. Физическая размерность мощности и энергии в этом случае определяется соответствующей физической размерностью функции напряжения s(t) и сопротивления резистора R. Для безразмерной величины s(t) при R=1 это полностью соответствует выражению (2.2.1). В теории сигналов в общем случае сигнальные функции s(t) не имеют физической размерности и могут быть формализованным отображением  любого процесса или распределения какой-либо физической величины, при этом понятия энергии и мощности сигналов используются в более широком смысле, чем в физике. Они представляют собой специфические метрологические характеристики сигналов.

Из сравнения выражений (2.1.2) и (2.2.2) следует, что энергия и норма сигнала связаны соотношениями: 

E_s = ||s(t)||²,         ||s(t)|| =                                  (2.2.4)

Пример.   Цифровой сигнал задан функцией  s(n) = {0,1,2,3,4,5,4,3,2,1,0,0,0,0....}.

Энергия сигнала:  E_s = s²(n) = 1+4+9+16+25+16+9+4+1 = 85.    Норма:  ||s(n)|| = » 9.22

Скалярное произведение сигналов. Вычислим энергию суммы двух произвольных сигналов u(t) и v(t):

E =[u(t)+v(t)]² dt = E_u + E_v + 2u(t)v(t) dt.                              (2.2.5)

            Как следует из этого выражения, энергии сигналов (а равно и их мощности), в отличие от самих сигналов, в общем случае не обладают свойством аддитивности. Энергия суммарного сигнала u(t)+v(t), кроме суммы энергий составляющих сигналов, содержит в себе и так называемую энергию взаимодействия сигналов или взаимную энергию:

E_uv = 2u(t)v(t) dt.                                                (2.2.6)

По аналогии с математикой векторов интеграл выражения (2.2.6) называют скалярным произведением вещественных сигналов:

    П_uv = (u(t),v(t)) =u(t)v(t) dt = ||u||×||v|| cos j,                           (2.2.7)

Отсюда, косинус угла между сигналами:

cos j = П_uv/(||u||×||v||).                                               (2.2.8)

Скалярное произведение обладает следующими свойствами:

1. (u,v) ³ 0;

2. (u,v) = (v,u);

3. (au,v) = a(u,v), где а – вещественное число;

4. (u+v, a) = (u,a) + (v,a).

Линейное пространство с таким скалярным произведением называется гильбертовым пространством Н (второе распространенное обозначение - L₂). В нем справедливо фундаментальное неравенство Коши-Буняковского:

|П_uv| £ ||u||×||v||.                                              (2.2.9)

            Для комплексного гильбертова пространства скалярное произведение вычисляется по формуле:

    П_uv =u(t)v*(t) dt.                                           (2.2.7')

Пример.   Имеется два смещенных во времени прямоугольных импульса с одинаковой амплитудой и длительностью:  s₁(t) = 2 при 0 £ t £ 5, s₁(t) = 0 при других t; и s₂(t) = 2 при 4 £ t £ 9, s₂(t) = 0 при других t.

Энергии сигналов одинаковы:  ||s₁||² = ||s₂||² = s₁²(t)dt =s₂²(t)dt = 20.

Скалярное произведение:  (s₁,s₂) = s₁(t) s₂(t) dt = 8.

         Отсюда имеем:  cos j = (s₁,s₂)/ (||s₁||×||s₂||) = 8/20 = 0.4  и j » 1.16 радиан » 66^о

Скалярное произведение определяет также расстояние между сигналами (метрику сигналов). Для квадрата метрики сигналов имеем:

r²(u,v) =[u(t)-v(t)]² dt = E_u + E_v - 2×||u||×||v|| cos j.

            При j = 0 (cos j = 1) сигналы "совпадают по направлению" и расстояние между ними минимально. При j = p/2 (cos j = 0) сигналы "перпендикулярны друг другу", иначе говоря - ортогональны, и проекции сигналов друг на друга равны 0. При j = p (cos j = -1) сигналы "противоположны по направлению" и расстояние между сигналами максимально. Фактор расстояния между сигналами играет существенную роль при их селекции в многоканальных системах. Если функции u(t) и v(t) являются случайными, то значение cos j играет роль коэффициента корреляции между случайными процессами U(t) и V(t).

Дискретные сигналы обычно рассматриваются в пространстве Евклида (обозначение пространства - R₂). Скалярное произведение двух сигналов в пространстве Евклида - число:

 П_uv = (u_k,v_k) =u_kv_k,

где n - размерность пространства. При n = 3 это математический прообраз реального трехмерного пространства, в котором сигналы u и v отображаются точками этого пространства.

При обработке данных используются также понятия мощности взаимодействия двух сигналов x(t) и y(t):

      w_xy(t) = x(t) y*(t),                                            (2.2.10)

      w_yx(t) = y(t) x*(t),

      w_xy(t) = w*_yx(t).

Для вещественных сигналов:

                                                           w_xy(t) = w_yx(t) = x(t) y(t).                                      (2.2.10')

С использованием выражений (2.2.10) интегрированием по соответствующим интервалам вычисляются значения средней мощности взаимодействия сигналов на определенных интервалах Т и энергия взаимодействия сигналов.

2.3.  Обобщенный  ряд  Фурье [1,3,11,16].

Ортогональные сигналы. Два сигнала называются ортогональными (orthogonal), если имеют нулевое скалярное произведение (и соответственно нулевую энергию взаимодействия):

П_uv =u(t)v(t) dt = 0.

На рисунке 2.3.1 приведены примеры взаимно ортогональных сигналов. Нулевая энергия взаимодействия двух верхних сигналов обеспечивается их формой (равна нулю сумма положительных и отрицательных значений произведения сигналов), а двух нижних - взаимным расположением (ненулевые значения сигналов не имеют общих точек).

Из ортогональности по энергии всегда следует ортогональность сигналов по мощности, но не наоборот. Условия ортогональности по мощности и энергии выполняются одновременно только на конечных временных интервалах, при этом энергия и мощность суммы ортогональных сигналов обладают свойством аддитивности.

Совокупность функций {u₀, u₁, u₂, …}, в пределе - бесконечную, называют системой ортогональных функций на отрезке (t₁,t₂), если на этом отрезке данные функции взаимно ортогональны, т.е. выполняется условие:

П_uv =u_i(t)u_j(t) dt = 0,   i = 1,2,...,   j = 1,2,...,  i ¹ j.

Систему ортогональных функций на интервале (t₁,t₂) называют ортонормированной (orthonormal functions), если все функции системы имеют единичную норму, т.е. выполняются условия:

П_uu =u_i²(t) dt = 1,    ||u_i|| == 1,        i = 1,2,....

            Система ортогональных функций, для которой данное условие не выполняется, всегда может быть превращена в ортонормальную путем нормировки, т.е. деления всех функций на их норму. В линейном пространстве сигналов системы ортогональных функций могут использоваться в качестве координатных базисных функций.

Разложение сигнала в ряд Фурье.  Произвольный сигнал s(t) Î H, заданный на интервале (t₁,t₂), может быть разложен по упорядоченной системе ортогональных базисных функций u_i(t)  в обобщенный ряд Фурье:

         s(t) =c_iu_i(t).                                                (2.3.1)

Для нахождения значений коэффициентов с_i умножим обе части данного выражения на базисную функцию u_k(t) с произвольным номером k и проинтегрируем результаты по переменной t, при этом получим:

s(t)u_k(t) dt =c_iu_iu_k dt.

            С учетом ортогональности функций u(t), в правой части этого равенства остается только один член суммы с номером i = k, который представляет собой проекцию сигнала - вектора на соответствующее базисное направление:

      c_k = s(t)u_k(t) dt.                                              (2.3.2)

            При практическом использовании количество членов ряда (2.3.1) ограничивается определенным значением N, при этом для любого значения N совокупность коэффициентов c_i обеспечивают наименьшее по средней квадратической погрешности приближение к заданному сигналу.

            В геометрической интерпретации коэффициенты с_i представляют собой проекции вектор - сигнала s(t) на соответствующие базисные направления u_i(t), т.е. координаты вектора s(t) в N-мерном пространстве (в пределе - бесконечномерном). Соответственно, энергия взаимодействия двух сигналов x(t) и y(t) может вычисляться по скалярному произведению их координатных проекций, которое равно:

П_xy = x(t)y(t) dt =a_iu_i(t)b_ju_j(t)dt =a_i×b_i.                  (2.3.3)

            Косинус угла между векторами x(t) и y(t) с использованием выражения (2.2.8):

    cos j = a_i×b_i /(||x(t)||×||y(t)||).                                       (2.3.4)

Возможность разложения непрерывных сигналов в обобщенные ряды Фурье имеет огромное принципиальное значение, так как позволяет вместо изучения несчетного множества точек сигнала ограничиться счетной системой коэффициентов ряда.

К системам базисных функций, которые используются при разложении сигналов, предъявляют следующие основные требования:

            - для любого сигнала ряды разложения должны сходиться;

            - при ограничении ряда по уровню остаточной погрешности расхождения с заданным сигналом количество членов ряда должно быть минимальным;

            - функции должны иметь достаточно простую аналитическую форму;

            - коэффициенты разложения должны вычисляться относительно просто.

            Согласно теореме Дирехле, любой сигнал s(t), имеющий конечное число точек нарушения непрерывности первого рода и конечный по энергии на интервале (t₁,t₂), может быть разложен по системе ортонормальных функций, если существуют интегралы модуля сигнала и модуля его первой производной:

|s(t)| dt    и   |s'(t)| dt.

Ортонормированные системы функций хорошо известны в математике. Это полиномы Эрмита, Лежандра, Чебышева, функции Бесселя, Лагерра и целый ряд других. При спектральном анализе и обработке сигналов  в основном используются два вида ортонормированных функций: гармонические функции и функции Уолша.

Функции ортонормированного базиса u₀,u₁,u₂,… на интервале [0,T], в пределе – бесконечном, на основе гармонических колебаний с кратными частотами приводятся ниже, вид первых пяти функций, включая постоянную составляющую u₀, показан на рис. 2.3.2.

u₀ = 1/,     u_к(t) =sin(к2pt/T),     u_к(t) = cos(к2pt/T),     к = 1,2,3, …

В качестве базисных функций частотного разложения в общем случае принимаются комплексные экспоненциальные функции exp(pt) при p = jf (преобразование Фурье) и p =  s+jf (преобразование Лапласа), от которых с использованием формул Эйлера

exp(jwt) = cos(wt) + j sin(wt),        exp(-jwt) = cos(wt) - j sin(wt),

cos(wt) = [ехр(jwt)+exp(-jwt)]/2,      sin(wt) = [ехр(jwt)-exp(-jwt)]/2j

всегда можно перейти к синус-косинусным функциям. Термин "частотного" обязан своим происхождением независимой переменной данного разложения временных сигналов, которая измеряется в единицах, обратных единицам времени, т.е. в единицах частоты f = 1/|t|. Однако понятие частотного преобразования не следует связывать только с временным представлением сигналов, т.к. математический аппарат преобразования не зависит от физического смысла переменных. Так, например, при переменной "х", как единице длины, значение f будет представлять собой пространственную частоту - число периодических изменений сигнала на единице длины с размерностью 1/|х|.

Ортонормированная система функций Уолша, по существу, является предельной модификацией системы периодических функций с кратными частотами, при этом функции принимают значения только ±1. Пример четырех первых функций Уолша на интервале Т от –0,5 до 0,5 приведен на рис. 2.3.3. Ортогональность и нормированность функций следует из принципа их построения. Стандартное математическое обозначение функций Уолша:  wal(k,q), где k = 0,1,2, … – порядковый номер функции, q = t/T – безразмерная координата (нормированная на интервал Т независимая переменная).

Наряду с функциями Уолша применяются также две связанные с ними системы: четные и нечетные функции cal(n,q) = wal(2n,q),  – аналогичные косинусам, и sal(n,q) = wal (2n-1,q), – аналогичные синусам.

При разложении сигналов форма спектров Уолша практически тождественна спектрам гармонических функций.

Разложение энергии сигнала. Допустим, что сигнал s(t) разложен в обобщенный ряд Фурье (2.3.1). Вычислим энергию сигнала непосредственной подстановкой выражения (2.3.1) в выражение (2.2.2):

         E_s =s²(t) dt =c_ic_ju_iu_j dt = c_ic_j u_iu_j dt.             (2.3.5)

В этом выражении в силу ортонормированности базисной системы отличны от нуля только члены с номерами i = j. Отсюда:

E_s =s²(t) dt =c_i²,                                            (2.3.6)

т.е. при корректном разложении сигнала в обобщенный ряд Фурье энергия сигнала не изменяется и равна сумме энергии всех составляющих ряда. Это соотношение называют равенством Парсеваля.

2.4.  Функции  корреляции  сигналов [1, 25].

Функции корреляции сигналов применяются для интегральных количественных оценок формы сигналов и степени их сходства друг с другом.

Автокорреляционные функции (АКФ) сигналов (correlation function, CF). Применительно к детерминированным сигналам с конечной энергией АКФ является количественной интегральной характеристикой формы сигнала и представляет собой интеграл от двух копий сигнала s(t), сдвинутых относительно друг друга на время t:

B_s(t) = s(t) s(t+t) dt.                                         (2.4.1)

            Как следует из этого выражения, АКФ является скалярным произведением сигнала и его копии в функциональной зависимости от переменной величины значения сдвига t. Соответственно, АКФ имеет физическую размерность энергии, а при t = 0 значение АКФ непосредственно равно энергии сигнала и является максимально возможным (косинус угла взаимодействия сигнала с самим собой равен 1):

B_s(0) =s(t)² dt = E_s.

Функция АКФ является непрерывной и четной. В последнем нетрудно убедиться заменой переменной t = t-t в выражении (2.4.1):

B_s(t) = s(t) s(t-t) dt =  s(t-t) s(t) dt = B_s(-t).

            С учетом четности, вычисление АКФ обычно производится только для положительных значений t. Знак +t в выражении (2.4.1) означает, что при увеличении значений t от нуля копия сигнала s(t+t) сдвигается влево по оси t. На практике сигналы обычно также задаются на интервале положительных значений аргументов от 0-Т, что дает возможность продления интервала нулевыми значениями, если это необходимо для математических операций. В этих границах вычислений более удобным является сдвиг копии сигнала влево по оси аргументов, т.е. применение в выражении (2.4.1) функции s(t-t):

B_s(t) = s(t) s(t-t) dt.                                         (2.4.1')

По мере увеличения значения величины сдвига t для финитных сигналов временное перекрытие сигнала с его копией уменьшается, а, соответственно, косинус угла взаимодействия и скалярное произведение в целом стремятся к нулю:

 = 0.

Пример.   На интервале (0,Т) задан прямоугольный импульс с амплитудным значением, равным А. Вычислить автокорреляционную функцию импульса.

При сдвиге копии импульса по оси t вправо, при 0≤t≤T сигналы перекрываются на интервале от t до Т. Скалярное произведение:

B_s(t) =A² dt = A²(T-t).

При сдвиге копии импульса влево, при -T≤t<0 сигналы перекрываются на интервале от 0 до Т-t. Скалярное произведение:   

B_s(t) =A² dt = A²(T+t).

         При |t| > T сигнал и его копия не имеют точек пересечения и скалярное произведение сигналов равно нулю (сигнал и его сдвинутая копия становятся ортогональными).

         Обобщая вычисления, можем записать:

B_s(t) = .

            В случае сигналов с бесконечной энергией и периодических сигналов АКФ вычисляется по определенному интервалу (периоду) Т, с усреднением скалярного произведения и его сдвинутой копии в пределах этого интервала (одного периода для периодических):

B_s(t) = (1/Т)s(t) s(t-t) dt.                                  (2.4.2)

            При t=0 значение АКФ в этом случае равно не энергии, а средней мощности сигналов в пределах интервала Т.  АКФ периодических сигналов при этом также является периодической функцией с тем же периодом Т.  Так, для сигнала s(t) = A cos(w₀t+j₀) при T=2p/w₀ имеем:

B_s(t) = A cos(w₀t+j₀) A cos(w₀(t-t)+j₀) = (A²/2) cos(w₀t).

            Отметим, что полученный результат не зависит от начальной фазы гармонического сигнала, что характерно для любых периодических сигналов и является одним из свойств КФ.

            Взаимная корреляционная функция (ВКФ) сигналов (cross-correlation function, CCF) показывает степень сходства сдвинутых экземпляров двух разных сигналов и их взаимное расположение по координате (независимой переменной), для чего используется та же формула (2.4.1), что и для АКФ, но под интегралом стоит произведение двух разных сигналов, один из которых сдвинут на время t:

B₁₂(t) = s₁(t) s₂(t+t) dt.                                      (2.4.3)

При замене переменной t = t-t в формуле (2.4.3), получаем:

B₁₂(t) =s₁(t-t) s₂(t) dt = s₂(t) s₁(t-t) dt = B₂₁(-t)

Вместе с этой лекцией читают "Наследственность и методы ее изучения".

Отсюда следует, что для ВКФ не выполняется условие четности, а значения ВКФ не обязаны иметь максимум при t = 0. Это можно наглядно видеть на рис. 2.4.1, где заданы два одинаковых сигнала с центрами на точках 0.5 и 1.5. Вычисление по формуле (2.4.3) с постепенным увеличением значений t означает последовательные сдвиги сигнала s2(t) влево по оси времени (для каждого значения s1(t) для подынтегрального умножения берутся значения s2(t+t)).

При t=0 сигналы ортогональны и значение B₁₂(t)=0. Максимум В₁₂(t) будет наблюдаться при сдвиге сигнала s2(t) влево на значение t=1, при котором происходит полное совмещение сигналов s1(t) и s2(t+t). При вычислении значений B₂₁(-t) аналогичный процесс выполняется последовательным сдвигом сигнала s1(t) вправо по временной оси с постепенным увеличением отрицательных значений t, а соответственно значения B₂₁(-t) являются зеркальным (относительно оси t=0) отображением значений B₁₂(t), и наоборот. На рис. 2.4.2 это можно видеть наглядно.

Таким образом, для вычисления полной формы ВКФ числовая ось t должна включать отрицательные значения, а изменение знака t в формуле  (2.4.3) равносильно перестановке сигналов.

            Для периодических сигналов понятие ВКФ обычно не применяется, за исключением сигналов с одинаковым периодом, например, сигналов входа и выхода систем при изучении характеристик систем.