Преобразование гильберта

Тема 10:   преобразование  гильберта

То, что не может произойти, никогда не может быть, а если произошло, то не должно нас удивлять.

Марк Туллий Цицерон. О девинации.

Римский философ и политик, I в.д.н.э.

Однако пока не создано строгой математической теории гадания, предсказания и прочих чудесных превращений, приходится наоборот не удивляться, когда они не осуществляются, и удивляться, когда они осуществляются.

Николай Пятин. О чудесах.

Воронежский геофизик Уральской школы, XX v.

Содержание: 10.1. Понятие аналитического сигнала. Аналитический сигнал. Спектральная плотность аналитического сигнала. 10.2. Преобразование Гильберта. Определение преобразования. Спектральная характеристика преобразования. Спектры каузальных функций. 10.3. Свойства преобразования Гильберта. Линейность. Сдвиг. Преобразование константы. Свойство четности и нечетности. Последовательное двойное преобразование. Обратное преобразование Гильберта. Подобие. Энергетическая эквивалентность. Свойство ортогональности. Свойство свертки. Свойство модуляции. 10.4. Вычисление преобразования Гильберта. Преобразование Гильберта аналоговых сигналов. Оператор дискретного преобразования. 10.5. Примеры применения преобразования. Параметры сигналов. Анализ каузальных систем.  

10.1. Понятие аналитического сигнала [1,25].

Рекомендуемые материалы

            Аналитический сигнал – это один из способов комплексного представления сигнала, который применяется при анализе данных. Он позволяет ввести в анализ понятия огибающей и мгновенной частоты сигнала.

Произвольный динамический сигнал s(t), заданный на произвольном участке временной оси (как конечном, так и бесконечном), в общем случае, имеет комплексную двустороннюю (относительно нуля частоты w) спектральную плотность S(w). При раздельном обратном преобразовании Фурье реальной и мнимой части спектра S(w) сигнал s(t) раскладывается на четную и нечетную составляющие. Пример сигнала (А), его комплексного спектра (В) и восстановления четной и нечетной части сигнала (С) из реальной и мнимой части спектра приведен на рис. 10.1.1.

Обратное преобразование Фурье может быть также выполнено раздельно для положительных и отрицательных частот спектра:

s(t) =S(w)·exp(jwt) dw +  S(w)·exp(jwt) dw.      (10.1.1)

            В силу комплексной симметричности полную информацию о сигнале s(t) содержит как левая, так и правая часть спектра S(w). Аналитическим сигналом, отображающим вещественный сигнал s(t), называют второй интеграл выражения (10.1.1), нормированный на p, т.е. обратное преобразование Фурье спектра сигнала s(t) по положительным частотам:

         z(t) = .                                    (10.1.2)

            Дуальность свойств преобразования Фурье определяет, что аналитический сигнал z_s(t), полученный из односторонней спектральной функции, всегда является комплексным и может быть представлен в виде:

z_s(t) = Re z(t) + j·Im z(t).

Аналогичное преобразование первого интеграла выражения (10.1.1) дает сигнал z_s*(t), комплексно сопряженный с сигналом z(t):

z_s*(t) = Re z(t) - j·Im z(t),

что наглядно видно на рис. 10.1.2 (для сигналов по спектру, приведенному на рис. 10.1.1).

При сложении функций z_s(t) и z_s*(t) мы обязаны получить (с учетом нормировки z(t) в (10.1.2) только на 1/π, а не на 1/2π), как в (10.1.1)):

s(t) = [z_s(t)+z_s*(t)]/2 = Re z(t).

            Следовательно, реальная часть аналитического сигнала z_s(t) равна самому сигналу s(t). Мнимая часть сигнала z_s(t) является аналитически сопряженной с s(t) через преобразование Гильберта и называется квадратурным дополнением сигнала s(t). Если принять

   Im(z(t)) = = TH[s(t)] = s(t) _* hb(t),                         (10.1.3)

hb(t) = 1/(πt),

где индексом  обозначен сигнал не комплексно, а аналитически сопряженный с s(t), hb(t) – оператор Гильберта, то выражение для аналитического сигнала запишется следующим образом:

      z_s(t) = s(t) + j×.                                         (10.1.4)

            Это означает, что квадратурное дополнение сигнала s(t) представляет собой свертку сигнала s(t) с оператором 1/(πt) и может быть выполнено линейной системой с постоянными параметрами.

= (1/πt)s(t)dt'/(t-t'),                                (10.1.3')

            Аналитический сигнал зависит от действительного аргумента, является однозначным и дифференцируемым. На комплексной плоскости он отображается вектором, модуль и фазовый угол которого изменяются от аргумента, а проекция сигнала на вещественную ось для любого значения аргумента равна значению исходного сигнала s(t). Какой-либо новой информации аналитический сигнал не несет, так как получен линейным преобразованием из исходного сигнала и представляет собой его новую математическую модель.

            Почему оператор Гильберта для получения квадратурного дополнения сигнала определен выражением 1/(πt) и какую физическую операцию он выполняет? Ответ на этот вопрос может быть получен при рассмотрении спектра аналитического сигнала.

            Спектральная плотность аналитического сигнала, если он сформирован непосредственно во временной области, определяется обычным преобразованием Фурье:

Z_s(w) = z_s(t) exp(-jwt) dt.

            Эта функция, с учетом выражения (10.1.2), должна быть отлична от нуля только в области положительных частот, где ее значения (в силу нормировки на p, а не на 2p) должны быть равны удвоенным значениям спектральной плотности сигнала s(t):

Z_s(w) =                                      (10.1.5)

            С другой стороны, при непосредственном преобразовании формулы (10.1.4) аналитического сигнала z_s(t), получаем:

   Z_s(w) = S(w) + j.                                        (10.1.6)

            Данное выражение действительно для всей оси частот (от -¥ до +¥) и должно быть равно выражению (10.1.5). А это означает, что левая часть спектра (отрицательные частоты w) сигнала (10.1.6) должна быть обращена в ноль. Это может быть выполнено следующим образом.

            Если левые части спектра сигнала S(w) умножить на -1, обнулить реальную часть на частоте w=0 и оставить без изменения правые части спектра, то будут получены функции, показанные пунктиром на рис. 10.1.3), которые дают нули в левой части спектра при сложении с исходной функцией S(w) и увеличивают в 2 раза правые части спектра. Такая операция может быть выполнена умножением спектра S(w)  на сигнатурную функцию sgn(w):

        sgn(w) = .                       (10.1.7)

            Однако при этом реальная часть новой функции sgn(w)·S(w), как это можно видеть на рис. 10.1.3, становится нечетной, а мнимая часть четной, что не соответствует статусу спектральных функций. Для восстановления статуса полученный результат нужно дополнительно умножить на –j. Применяя для левой и правой части частотных аргументов индексирование соответственно w_l и w_r, можно записать подробные выражения для спектров:

S(w) = Re S(w_l) + j·Im(w_l) + Re S(w_r) + j·Im(w_r),

= j·Re S(w_l) - Im(w_l) - j·Re S(w_r) + Im(w_r).

            При умножении квадратурной функции  на j (для выражения в (10.1.6)):

j·= -Re S(w_l) - j·Im(w_l) + Re S(w_r) + j·Im(w_r).

            Отсюда нетрудно видеть результат:

Z_s(w) = S(w) + j = = 2·Re S(w_r) + j·2·Im(w_r) = 2·S(w_r),

что полностью соответствует выражению (10.1.5). В краткой форме:

= ,    = -j×sgn(w)×S(w),              (10.1.8)

            Таким образом, спектральная плотность  аналитически сопряженного сигнала  образуется из спектра S(w) исходного сигнала s(t) умножением на функцию -j×sgn(w). Это обеспечивает при суммировании S(w) + j удвоение амплитуд частотных составляющих в области положительных частот и их взаимную компенсацию в области отрицательных частот.

10.2.  Преобразование Гильберта [1, 2, 21].

Из выражения (10.1.8) в спектральной области непосредственно следует соответствующая связь функций s(t) и  во временной области:

     = s(t) _* hb(t),                                            (10.2.1)

где hb(t) = TF[-j×sgn(w)] – обратное преобразование Фурье функции -j×sgn(w):

        hb(t) = 1/(pt).                                                (10.2.2)

            Из выражения (10.1.8) нетрудно получить и обратную связь спектральных плотностей S(w) и :

S(w) = j×sgn×,

из которой следует:

       s(t) = -_* hb(t).                                         (10.2.1')

            Выражения (10.2.1 и 1') известны в математике под названиями прямого и обратного преобразований Гильберта.

Определение преобразования.  Прямое преобразование Гильберта произвольной действительной функции x(t), -¥ < t < ¥, результат которого будем отображать знаком тильды над индексом исходной функции, задается сверткой x(t) с функцией hb(t) = 1/(pt):

(t) = H[x(t)] = x(t) _* (1/pt),                                 (10.2.3)

       (t) = .                                     (10.2.3')

            Функция 1/(t-u) называется ядром преобразования Гильберта. 

            Интеграл преобразования имеет особую точку при a = t-u Þ 0 и при вычислении используется его главное значение по Коши:

[... +...].

Оператор Гильберта определен по аргументу от -¥ до ¥ и имеет полюс в точке t=0 с разрывом значений от -¥ до ¥.  Основной участок формы оператора Гильберта и пример преобразования сигнала приведены на рис. 10.2.1.

Спектральная характеристика преобразования. Выполним преобразование Фурье функции (10.2.3). В общей форме:

(f) = TF[(t)] = X(f)×Hb(f)                               (10.2.4)

(f) =(t) exp(-j2pft) dt.                             (10.2.4')

            Заметим, что произведение X(f)×Hb(f) не является преобразованием Гильберта спектральной функции X(f). Это не более чем преобразование Фурье свертки функций: x(t)_*hb(t) Û X(f)×Hb(f), которое позволяет вычислить результат преобразования Гильберта во временной области через частотную область:

(t) =(f)×exp(j2pft) df =X(f)×Hb(f)×exp(j2pft) df .

Функция hb(t)=1/pt является нечетной, а спектр этой функции, представленный только мнимой частью, является (с учетом знака мнимой части) обратной сигнатурной функцией (рис. 10.2.2):

Hb(f) = TF[1/pt] = -j×sgn(f) =                       (10.2.5)

            Соответственно, формулы (10.2.3) задают преобразование сигнала x(t) системой, частотная передаточная характеристика которой отображается функцией -j×sgn(f). Фурье-образ функции (t):

    (f) = -j sgn(f)×X(f).                                        (10.2.4")

            На рис. 10.2.3 приведено преобразование радиоимпульсного сигнала x(t) = a(t)×cos(w_ot) с несущей частотой w_o в сигнал (t) во временной области непосредственно через операцию свертки по (10.2.3).  Сигнал x(t) является односторонним каузальным. Спектр сигнала содержит реальную и мнимую составляющие, т.е. может быть записан в виде X(w) = Re(X(w)) + j×Im(X(w)). Эти составляющие для сигнала x(t) на рис. 10.2.3 показаны непрерывными кривыми на рис. 10.2.4 и 10.2.5.

            При выполнении преобразования (10.2.4") реальная и мнимая части спектра X(w) умножается на -j×sgn(w). Функция Re(X(w)) (рис. 10.2.4) умножается на 1 при w<0, на 0 при w=0 и на –1 при w>0, и тем самым превращается в нечетную мнимую часть Im((w)) спектра (w) функции (t), показанную пунктиром.

Аналогично на функцию -j×sgn(w) умножается и мнимая функция  j×Im(X(w)), при этом сигнатурная функция инвертируется (-j×j = 1), что меняет знак левой части функции Im(X(w)) – области отрицательных частот, и превращает ее в реальную четную часть Re((w)) спектра (w) (рис. 10.2.5).

Частотную характеристику Hb(f) (10.2.5) можно записать и в следующем виде:

Hb(f) = |Hb(f)|×exp(jj_h(f)),  где |Hb(f)| = 1.

Hb(f) = -j×sgn(f) = ,                          (10.2.5') 

            Если спектр функции x(t) также представить в форме

X(f) = |X(f)|×exp(jj_x(f)),

то выражение (10.2.4) преобразуется к следующей форме:

     (f) = |X(f)|×exp(jj_x(f))×exp(jj_h(f)) = |X(f)|×exp[j(j_x(f)+j_h(f))],        (10.2.4''')

т.е. амплитудный спектр сигнала (t) – как результат преобразования Гильберта сигнала x(t), не изменяется и остается равным амплитудному спектру сигнала x(t). Фазовый спектр сигнала (t) (начальные фазовые углы всех гармонических составляющих сигнала) сдвигается на -90^о при f > 0 и на 90^о при f < 0 относительно фазового спектра сигнала x(t). Но такой фазовый сдвиг означает не что иное, как превращение косинусных гармоник в синусные, а синусных в косинусные. Последнее не трудно проверить на единичной гармонике.

            Если x(t) = cos(2pf_ot), то имеем следующее преобразование Гильберта через частотную область:

      (t) = H[x(t)] Û TF[H[x(t)]] = -j sgn(f)×[d(f+f_o)+d(f-f_o)]/2.             (10.2.6)

    (f) = -j×[-d(f+f_o)+d(f-f_o)]/2 = j·[d(f+f_o)-d(f-f_o)]/2.                 (10.2.7)

            Но последнее уравнение - спектр синусоиды. При обратном преобразовании Фурье:

    (t) = TF^-1[(f)] = sin(2pf_ot).                                      (10.2.8)

            При x(t) = sin(2pf_ot) аналогичная операция дает (t) = -cos(2pf_ot). Знак минус демонстрирует отставание (запаздывание) выходного сигнала преобразования, как операции свертки, от входного сигнала. Для гармонических сигналов любой частоты с любой начальной фазой это запаздывание составляет четверть периода колебаний. На рис. 10.2.3 этот сдвиг на четверть периода для единичной гармонической составляющей (несущей частоты радиоимпульса) виден достаточно наглядно. Таким образом, преобразование Гильберта, по существу, представляет собой идеальный фазовращатель, осуществляющий фазовый сдвиг на 90⁰ всех частотных составляющих сигналов одновременно.

            Сдвиг фазы спектров сигналов x(t) на p/2 определяет изменение четности и самих сигналов: четный x(t) Û нечетный (t), и наоборот.

Преобразование Гильберта позволяет вычислить аналитический сигнал

      z(t) = x(t) + j×(t)                                            (10.2.9)

по его вещественной части, при этом спектр аналитического сигнала также является комплексным

   Z(w) = X(w) + j×(w)                                       (10.2.10)

и односторонним, т.е. равным нулю на отрицательных частотах:

      Z(w) = 0,   w < 0,                                            (10.2.11)

что обеспечивается соотношением спектров:

        X(w) = - j×(f)  при  w < 0.                                    (10.2.12)

            В области отрицательных частот, при w < 0, соответствующие компоненты спектров X(w) и (w) гасят друг друга: Re(Z(w)) = 0, Im(Z(w)) = 0. Это и обеспечивает выполнение равенства (10.2.11).

            Для нулевой частоты значения Im(X(w)), Im((w)) и Re((f)) равны нулю, при этом:

     Re(Z(0)) = Re(X(0)),     Im(Z(w)) = 0.                      (10.2.13)

            Спектры каузальных функций. Допустим, что каузальная (физически осуществимая) линейная система с импульсным откликом h(t), t ³ 0, имеет частотную характеристику H(f):

H(f) = A(f) - j×B(f),

где A(f) и B(f) - действительная (четная) и мнимая (нечетная) части частотной характеристики. Осуществим обратное преобразование Фурье для всех частей этого выражения:

h(t) = a(t) + b(t),

a(t) =A(f) cos(2pft) df,          b(t) =B(f) sin(2pft) df,

где a(t) и b(t) - соответственно четная и нечетная части импульсного отклика h(t). Условие каузальности для импульсного отклика (h(t) = 0 при t<0) будет выполнено, если при t<0 функции a(t) и b(t)  компенсируют друг друга. Тогда общее условие каузальности, с учетом нечетности функции b(t) и b(0) = 0, запишется в следующем виде:

      b(t) = -a(t),   t < 0,                                          (10.2.14)

b(t) = 0,  a(t) = a(0),   t = 0,

b(t) = a(t),    t > 0.

            Из этих условий следует, что нечетная функция b(t) в каузальной системе однозначно связана с четной функцией:

       b(t) = sgn(t)×a(t),                                            (10.2.15)

            Осуществляя преобразование Фурье обеих частей данного равенства при известном преобразовании сигнатурной функции (sgn(t) Û j/pf), получаем:

Im(H(f)) = (j/pf) _* A(f),

или, с учетом знака мнимой части:

B(f) = -(1/pf) _* A(f) = -(1/p) [A(v)/(f-v)] dv.           (10.2.16)

            Аналогично определяется и действительная компонента спектра по мнимой части:

A(f) = (1/pf) _* B(f) = (1/p) [B(v)/(f-v)] dv.              (10.2.17)

            Таким образом, реальная и мнимая части спектра физически осуществимых (односторонних) систем, а равно и произвольных каузальных сигналов, также связаны парой преобразований Гильберта. Они позволяют производить определение любой, действительной или мнимой, части частотной характеристики каузальной функции путем свертки другой ее части с функцией 1/pf.

10.3.  Свойства преобразования Гильберта [1, 2].

            Для любых произвольных функций x(t) и y(t), имеющих Фурье – образы X(w), Y(w) и преобразования Гильберта (t) = Н[x(t)] и (t) = Н[y(t)], действительны следующие свойства:

Линейность.  Н[a×x(t)+b×y(t)] = a×(t)+b×(t) при любых постоянных значениях коэффициентов а и b для любых произвольных функций x(t) и y(t).

            Сдвиг.  H[x(t-a)] = (t-a).

            Преобразование константы, а в силу линейности преобразования, и постоянной составляющей сигнала, равно нулю. Это прямо следует из нечетности ядра преобразования Гильберта. Отсюда следует, что при преобразовании Гильберта из квадратурной составляющей исключается постоянная составляющая.

Свойство четности и нечетности определяется сдвигом всех гармоник сигнала на p/2, при этом четные сигналы x(t) дают нечетные сигналы (t), и наоборот. Это действительно и для произвольных сигналов относительно их четных и нечетных частей.

Последовательное двойное преобразование Гильберта возвращает исходную функцию с обратным знаком H[H[x(t)]] = H[(t)] = -x(t). Это определяется тем, что при двойном преобразовании все гармоники сигнала сдвигаются на p, что изменяет их знак. Однако в силу исключения из сигнала при первом преобразовании постоянной составляющей, при двойном преобразовании сигнал x(t) восстанавливается с исключенным средним значением по интервалу задания.

            Обратное преобразование Гильберта, по существу, это второе преобразование в последовательном двойном преобразовании Гильберта с изменением знака результата:

      x(t) = H^-1[(t)] = -= (t) _* (-1/pt).                   (10.3.1)

            Альтернативная форма вычисления x(t) из (t):

        x(t) = TF^-1[(j sgn(f)×TF[(t)]].                                 (10.3.1')

            Подобие при изменении масштаба аргумента: H[x(at)] = (at).

            Энергетическая эквивалентность:

  x²(t) dt =²(t) dt.                                   (10.3.2)

 Это следует из теоремы Парсеваля (энергия сигнала равна сумме энергии всех частотных составляющих сигнала) и равенства модулей спектров сигналов x(t) и (t) (энергия сигнала не зависит от его фазочастотной характеристики).

            Свойство ортогональности: 

     x(t)×(t) dt = 0.                                          (10.3.3)

Если все косинусные составляющие сигнала x(t) превращаются в ортогональные им синусные составляющие сигнала , а синусные – в ортогональные им косинусные, то и сигналы x(t) и  должны быть ортогональны. Из теоремы Парсеваля следует:

x(t)×(t) dt = X^*(f)×(f).

Функция  X^*(f)×(f) = -X^*×j sgn(f)×X(f) = -j sgn(f)×|X(f)|² является нечетной, а поэтому определенный интеграл от этой функции по симметричным относительно нуля пределам равен нулю. Ортогональность сигналов наглядно видна на рис. 10.2.1.

            Свойство свертки: 

H[x(t) _* y(t)] = _* y(t) = x(t) _* (t).                              (10.3.4)

            Это вытекает из следующих соображений. Примем  z(t) = x(t) _* y(t), при этом:

Z(f) = X(f)×Y(f),    (f) = -j sgn(f)×Z(f) = -j sgn(f) X(f)×Y(f).

(f) = [-j sgn(f) X(f)]×Y(f) = ×Y(f) Û (t) _* y(t).

(f) = X(f)×[-j sgn(f) Y(f)] = X(f)×(f) Û x(t) _*(t).

            Отсутствие коммутативности с преобразованием Фурье:

TF[H[x(t)]] ¹ H[TF[x(t)]].                                    (10.3.5)

            Свойство модуляции: Модулирующие сигналы u(t), как правило, имеют ограниченный спектр, максимальные частоты которого W  много меньше значения несущей частоты w_o, при этом:

H[u(t)×cos(w_ot)] = u(t)×sin(w_ot).                            (10.3.6)

            Для четных функций u(t) это свойство очевидно. При переходе в частотную область:

H[u(t)×cos(w_o)] Û -j×sgn(w)×[U(w) _* (d(w+w_o)+d(w-w_o))].

            Множитель -j×sgn(w) является знаковой константой по w и может быть внесен под интеграл свертки и умножен на  (d(w+w_o)+d(w-w_o), что, как уже рассматривалось ранее (см. 10.2.6 – 10.2.8), при обратном преобразовании Фурье дает u(t)×sin(w_ot).

            Аналогично можно показать, что

H[u(t)×sin(w_ot)] = -u(t)×cos(w_ot).                           (10.3.7)

10.4.  Вычисление преобразования Гильберта [1, 2, 21].

Преобразование Гильберта аналоговых сигналов целесообразно выполнять не по формулам линейной свертки с оператором 1/pt, который стремится к  ¥  при t Þ 0, а через спектр аналитической функции:

z(t) = x(t) + j×(t) Û X(f) + j×(f) = Z(f).                        (10.4.1)

            Заменяя в этом выражении  функцию (f) = -j sgn(f)×X(f), получаем:

   Z(f) = [1+sgn(f)]×X(f),                                         (10.4.2)

где функция 1+sgn(f) равна 0 при f < 0, 1 при f = 0 и 2 при f > 0, при этом:

   Z(f) = ,                                       (10.4.2')

т.е. спектр функции z(t) является односторонним и устанавливается непосредственно по спектру функции x(t) при f ³ 0 (см. также (10.2.13)). Обратное преобразование Фурье функции Z(f) должно давать комплексную функцию z(t), при этом из (10.4.2') следует:

    x(t) = Re [2X(f) exp(j2pft) df],                                 (10.4.3)

   (t) = Im [2X(f) exp(j2pft) df].                                 (10.4.3')

            В дискретной форме, при общем числе N отсчетов функции x(t) с шагом Dt и с шагом по частоте Df =1/(NDt):

X(nDf) = Dtx(kDt)×exp(-j2pkn/N),   n = 0,1,...,N/2.                 (10.4.4) 

х(kDt) = 2Df×Re[X(nDf)×exp(j2pkn/N)].                                (10.4.5')

(kDt) = 2Df×Im[X(nDf)×exp(j2pkn/N)].                                (10.4.5)

            На рис. 10.4.1 приведен пример преобразования Гильберта, выполненный через частотную область. На рисунке видно, что сигнал, восстановленный по (10.4.5'), смещен вниз на величину среднего значения исходного сигнала x(t). При формировании аналитической функции по (10.4.1, 10.1.4) в качестве вещественной части функции следует использовать исходный сигнал x(t), а не его форму по (10.4.5').

            Оператор дискретного преобразования Гильберта hb(kDt) Ü 1/pt на интервале от -Т до Т с шагом Dt можно получить обратным преобразованием Фурье частотной характеристики Hb(f) (выражение 10.2.5) в интервале от -f_N до f_N  (f_N=1/2Dt). При Dt=1:

hb(kDt) =Hb(f) exp(j2pfkDt) df =j exp(j2pfkDt) df -j exp(j2pfkDt) df =

= [1/(2pkDt)]×[1-exp(-jpkDt)-exp(jpkDt)+1] = [1/(pkDt)]×[1-(exp(-jpkDt)+exp(jpkDt)/2] =

= [1/(pkDt)]×(1-cos(pkDt)) = [2/(pkDt)] sin²(pkDt/2).                    (10.4.6)

                hb(kDt) = 2/(pkDt),   k = ±1, ±3, ±5, ... ,                        (10.4.6')

                hb(kDt) = 0,              k = ±0, ±2, ±4, ... .

            Нетрудно убедиться, что коэффициент усиления постоянной составляющей оператора равен нулю, а коэффициент усиления дисперсии помех равен 1.

В частотной области при выполнении преобразования Гильберта спектральных функций оператор свертки hb(kDf)Ü1/pf  не отличается от приведенного для временной области.

10.5.  Примеры  применения  преобразования [1,2].

Параметры сигналов.

Огибающая и мгновенная фаза сигналов. Зададим радиоимпульсный сигнал x(t) с информационной составляющей u(t) и одной несущей частотой w_o: 

x(t) = a(t)×cos(w_ot) + b(t)×sin(w_ot).

u(t) =.          (10.5.1)

            С учетом свойства модуляции преобразования Гильберта, имеем:

(t) = a(t)×sin(w_оt) – b(t)×cos(w_ot).

z(t) = x(t) + j×(t).

            Квадрат модуля сигнала z(t):

|z(t)|² = x²(t)+²(t) = a²(t)[cos²(w_ot)+sin²(w_ot)] + b²(t)[cos²(w_ot)+sin²(w_ot)] = u²(t).

            Отсюда, огибающая и мгновенная фаза сигнала x(t):

     u(t) =.                                           (10.5.2)

j(t) = arctg[(t)/x(t)] = arctg[tg(w_ot)] = w_ot.                    (10.5.3)

            Мгновенная частота сигнала определяется по скорости изменения фазы:

  wt = dj(t)/dt = = w_o,                     (10.5.4)

            Для амплитудно-модулированных сигналов с одной несущей частотой эти результаты достаточно очевидны (см. рис. 10.5.1). Но выражения (10.5.2-10.5.4), полученные из общих соображений, остаются действительными и для любых произвольных сигналов.

На рис. 10.5.2. представлен сигнал, сложенный двумя гармониками:

x(t) = a(t)×cos(w₁t) + b(t)×cos(w₂t).

            Сопряженный и аналитический сигналы:

(t) = a(t)×sin(w₁t) + b(t)×sin(w₁t).

z(t) = x(t) + j×(t).

Огибающая такого сигнала, как это можно видеть на рисунке 10.5.2, должна вычисляться по формуле (10.5.2). Для данного сигнала:

u(t) =.

       Мгновенная фаза сигнала, график которой приведен на рис. 10.5.3, зависит от времени нелинейно:

j(t) = .

Мгновенная частота сигнала (рис. 10.5.4) также имеет нелинейную зависимость от времени, причем ее значения могут существенно превышать даже суммарное значение частот, составляющих сигнал:

w(t) = .

Аналогичная методика определения огибающих и мгновенных значений фазы и частоты применяется и для анализа случайных процессов. Изображения полей параметров преобразования Гильберта применяются при интерпретации геофизических данных.

            Анализ каузальных систем.

Каузальная (физически осуществимая) линейная система (равно как и произвольная причинно обусловленная функция) задается односторонним импульсным откликом (выражением) h(t), t ³ 0, и имеет частотную характеристику H(f):

      H(f) = X(f) - jY(f),                                           (10.5.5)

где X(f) и Y(f) - действительная (четная) и мнимая (нечетная) части частотной характеристики. Осуществим обратное преобразование Фурье для всех частей выражения раздельно:

h(t) = x(t) + y(t),

x(t) =X(f) cos(2pft) df,                                   (10.5.6)

y(t) =Y(f) sin(2pft) df,                                   (10.5.7)

где x(t) и y(t) - четная и нечетная части функции h(t). Условие каузальности для функции h(t), h(t) = 0 при t<0, будет выполнено, если при t<0 функции x(t) и y(t)  компенсируют друг друга. Общее условие каузальности, с учетом нечетности функции y(t) и y(0) = 0, запишется в виде:

y(t) = x(t) = h(t)/2,    t > 0.                                     (10.5.8)

y(t) = 0,  x(t) = h(0),   t = 0,

y(t) = -h(t)/2,  x(t) = h(t)/2,   t < 0,                                           

            Из этих условий следует, что нечетная функция y(t) в каузальной системе однозначно связана с четной функцией x(t):

      y(t) = sgn(t)×x(t).                                              (10.5.9)

С учетом выражений (10.5.6-7) соответствующая связь между действительной и мнимой частями спектра каузальных функций:

X(f) cos(2pft) df =Y(f) sin(2pft) df,                   (10.5.10)

Рекомендуем посмотреть лекцию "7 Спектральное представление сигналов".

            Осуществляя обратное преобразование Фурье обеих частей равенства (10.5.9) при известном преобразовании сигнатурной функции (sgn(t) Û -j/(pf)), получаем:

TF[y(t)] = (-j/pf) _* X(f) = (-j/p)[X(u)/(f-u)] du.

Отсюда:

Y(f) = (1/p)[X(u)/(f-u)] du = H[X(f)],                     (10.5.11)

т.е. мнимая часть спектра импульсного отклика каузальной системы (и любой каузальной функции) является преобразованием Гильберта действительной части спектра. Соответственно, уравнение для определения действительной компоненты спектра по мнимой части:

X(f) = -H[Y(f)] = -(1/p)[Y(u)/(f-u)] dv.                     (10.5.12)