Корреляция сигналов

Тема 8:  корреляция  сигналов

Предельный страх и предельный пыл храбрости одинаково расстраивают желудок и вызывают понос.

Мишель Монтень. Опыты. 

Французский мыслитель-юрист, ХVI в.

Вот это номер! Две функции имеют стопроцентную корреляцию с третьей и ортогональны друг другу. Ну и шуточки были при сотворении Мира.

Анатолий Пышминцев. Мысли. 

Русский геофизик-практик,  ХХ в.

Содержание:  8.1. Автокорреляционные функции сигналов (АКФ). Финитные сигналы. Сигналы, неограниченные во времени. Периодические сигналы. Дискретные сигналы. Кодовые сигналы. Функции автоковариации. 8.2. Взаимные корреляционные функции сигналов (ВКФ). 8.3. Спектральные плотности корреляционных функций.  Спектральная плотность АКФ. Интервал корреляции сигнала. Спектральная плотность ВКФ.  Литература.

8.1 .   Автокорреляционные функции  сигналов [1,25].

Рекомендуемые материалы

Автокорреляционные функции (АКФ) финитных сигналов. АКФ (английский термин - correlation function, CF) сигнала s(t), локализованного во времени и конечного по энергии,  является количественной интегральной характеристикой формы сигнала и определяется интегралом от произведения двух копий сигнала s(t), сдвинутых относительно друг друга на время t:

B_s(t) = s(t) s(t+t) dt.                                         (8.1.1)

            Как следует из этого выражения, АКФ является скалярным произведением сигнала и его копии в функциональной зависимости от переменной величины t. АКФ имеет физическую размерность энергии, а при t = 0 значение автокорреляционной функции непосредственно равно энергии сигнала:

B_s(0) =s(t)² dt = E_s.

АКФ относится к четным функциям, в чем нетрудно убедиться заменой переменной t = t-t в выражении (8.1.1):

B_s(t) = s(t) s(t+t) dt =  s(t-t) s(t) dt = B_s(-t).

            Максимум АКФ, равный энергии сигнала при t=0, всегда положителен, а модуль АКФ при любом значении временного сдвига не превосходит энергии сигнала. Последнее прямо вытекает из свойств скалярного произведения (как и неравенство Коши-Буняковского):

((s(t),s(t+t)) = ||s(t)||×||s(t+t)||×cos(j),

cos(j) = 1 при t = 0,   ((s(t),s(t+t)) = ||s(t)||×||s(t)|| = E_s,

cos(j) < 1 при t ¹ 0,   ((s(t),s(t+t)) = ||s(t)||×||s(t+t||×cos(j) < E_s,

            В качестве примера на рис. 8.1.1 приведены два сигнала – прямоугольный импульс и радиоимпульс одинаковой длительности, и соответствующие данным сигналам формы их АКФ. Амплитуда колебаний радиоимпульса установлена равной  амплитуды прямоугольного импульса, при этом энергии сигналов также будут одинаковыми, что подтверждается равными значениями центральных максимумов АКФ. При конечной длительности значимых значений импульсов длительности АКФ также конечны и равны удвоенным значениям длительности импульсов (при сдвиге копии конечного импульса на интервал его длительности как влево, так и вправо, произведение импульса со своей копией становится равным нулю). Частота колебаний АКФ радиоимпульса равна частоте колебаний заполнения радиоимпульса (боковые минимумы и максимумы АКФ возникают каждый раз при последовательных сдвигах копии радиоимпульса на половину периода колебаний его заполнения).

            С учетом четности, графическое представление АКФ обычно производится только для положительных значений t. Знак +t в выражении (8.1.1) означает, что при увеличении значений t от нуля копия сигнала s(t+t) сдвигается влево по оси t. На практике сигналы обычно задаются на интервале положительных значений аргументов от 0-Т, что дает возможность продления интервала нулевыми значениями, если это необходимо для математических операций. В этих границах вычислений более удобным для построения вычислительных алгоритмов является сдвиг копии сигнала вправо по оси аргументов, т.е. применение в выражении (8.1.1) функции копии s(t-t):

B_s(t) = s(t) s(t-t) dt.                                         (8.1.1')

АКФ, нормированная на центральное значение, изменяется в интервале от -1 до 1 и представляет собой функцию автокорреляционных коэффициентов:

r_s(t) = B_s(t)/B_s(0).

            Иногда эту функцию называют "истинной" автокорреляционной функцией.

            АКФ неограниченных во времени сигналов  с бесконечной энергией может быть получена как среднее значение скалярного произведения сигнала и его копии при устремлении интервала длительности сигнала t_и к бесконечности:

     =                                   (8.1.2) 

АКФ по данному выражению имеет физическую размерность мощности и равна средней взаимной мощности сигнала и его копии в функциональной зависимости от сдвига копии.

АКФ периодических сигналов вычисляется по одному периоду Т, с усреднением скалярного произведения сигнала и его сдвинутой копии в пределах этого периода:

B_s(t) = (1/Т)s(t) s(t-t) dt.                                  (8.1.2')

            При t=0 значение АКФ в этом случае также равно не энергии, а средней мощности сигналов в пределах периода.  При этом АКФ периодических сигналов является периодической функцией с тем же периодом Т.  Так, для сигнала s(t) = A cos(w₀t+j₀) при T=2p/w₀ имеем:

B_s(t) = A cos(w₀t+j₀) A cos(w₀(t-t)+j₀) = (A²/2) cos(w₀t).

            Отметим, что полученный результат не зависит от начальной фазы гармонического сигнала, что характерно для любых периодических сигналов и является одним из свойств КФ.

АКФ дискретных сигналов. При интервале дискретизации данных Dt = const вычисление АКФ выполняется по интервалам Dt = Dt и обычно записывается, как дискретная функция номеров n сдвига отсчетов nDt:

      B_s(n) = Dts_k×s_k-n.                                      (8.1.3)

Дискретные сигналы обычно задаются в виде числовых массивов определенной длины с нумерацией отсчетов к = 0,1,…N, а вычисление дискретной АКФ выполняется в одностороннем варианте с учетом длины массивов по формуле:

    B_s(n) = s_k×s_k-n.                                   (8.1.3')

Множитель N/(N+1-n) в данной функции является поправочным коэффициентом на постепенное уменьшение числа перемножаемых и суммируемых значений (от N до N-n) по мере увеличения сдвига n. Без этой поправки для нецентрированных сигналов в значениях АКФ появляется тренд суммирования средних значений.

Практически, дискретная АКФ имеет такие же свойства, как и непрерывная АКФ. Она также является четной, а ее значение при n = 0 равно энергии дискретного сигнала.

Кодовые сигналы являются разновидностью дискретных сигналов. На определенном интервале кодового слова М×Dt они могут иметь только два амплитудных значения: 0 и 1 или 1 и –1. При выделении кодов на существенном уровне шумов форма АКФ кодового слова имеет особое значение. С этой позиции наилучшими считаются такие коды, значения боковых лепестков АКФ которых минимальны по всей длине интервала кодового слова при максимальном значении центрального пика. К числу таких кодов относится код Баркера, приведенный в таблице 8.1. Как видно из таблицы, амплитуда центрального пика кода численно равна значению М, при этом амплитуда боковых осцилляций при n ¹ 0 не превышает 1.

Функции автоковариации (ФАК). В практике обработки и статистического анализа дискретных данных и функций вместо корреляционных функций обычно используются ковариационные функции, хотя эти два термина очень часто используются как синонимы. Строго корректно, под функциями автоковариации (ФАК) следует понимать вторые центральные моменты распределения числовых величин в цифровых массивах:

    C_s(n) = (s_k-)×(s_k-n-),                                (8.1.4)

где - среднее значение функций. Максимум ФАК, как и АКФ, соответствует n = 0 и равен дисперсии сигнала s_k. Из сравнения (8.1.4) с выражением (8.1.3) отсюда следует, что дисперсия сигналов (квадрат стандартного отклонения от среднего значения) равна средней энергии сигнала по интервалу его задания. Соответственно, связь ФАК с энергетическим спектром (плотностью распределения мощности сигнала) через преобразование Фурье сохраняется аналогичной АКФ.

8.2.  Взаимные корреляционные функции сигналов [1,19].

Взаимная корреляционная функция (ВКФ) двух разных сигналов (cross-correlation function, CCF) описывает как различие в форме сигналов, так и их взаимное расположение друг относительно друга по координате (независимой переменной). Обобщая формулу (8.1.1) автокорреляционной функции на два различных сигнала s(t) и u(t), получаем  следующее скалярное произведение сигналов:

B_su(t) =s(t) u(t-t) dt.                                         (8.2.1)

Взаимная корреляция сигналов характеризует определенную корреляцию явлений и физических процессов, отображаемых данными сигналами, и может служить мерой “устойчивости” данной взаимосвязи при раздельной обработке сигналов в различных устройствах. Для конечных по энергии сигналов ВКФ также конечна, при этом:

|B_su(t)| £ ||s(t)||×||u(t)||,

что следует из неравенства Коши-Буняковского и независимости норм сигналов от сдвига по координатам.

При замене переменной t = t+t в формуле (8.2.1), получаем:

B_su(t) =s(t+t) u(t) dt.                                       (8.2.1')

            Отсюда следует, что для ВКФ не выполняется условие четности, B_su(t) ¹ B_su(-t), и значения ВКФ не обязаны иметь максимум при t = 0. Одни и те же значения ВКФ по формулам (8.2.1) и (8.2.1') наблюдаются при одном и том же взаимном положении сигналов: при сдвиге на интервал t сигнала u(t) относительно s(t) право по оси ординат и сигнала s(t) относительно  сигнала u(t) влево, т.е. B_su(t) = B_us(-t).

На рис. 8.2.1 приведены примеры ВКФ для прямоугольного сигнала s(t) и двух одинаковых треугольных сигналов u(t) и v(t). Все сигналы имеют одинаковую длительность Т, при этом сигнал v(t) сдвинут вперед на интервал Т/2.

Сигналы s(t) и u(t) одинаковы по временному расположению и площадь "перекрытия" сигналов максимальна при t=0, что и фиксируется функцией B_su. Вместе с тем функция B_su резко асимметрична, так как при асимметричной форме сигнала u(t) при симметричной форме s(t) (относительно центра сигналов) площадь "перекрытия" сигналов изменяется по разному в зависимости от направления сдвига (знака t при увеличения значения t от нуля). При смещении исходного положения сигнала u(t) влево по оси ординат (на опережение сигнала s(t) - сигнал v(t)) форма ВКФ остается без изменения и сдвигается вправо на такое же значение величины сдвига – функция B_sv на рис. 8.2.1. Если поменять местами выражения функций в (8.2.1), то новая функция B_vs будет зеркально повернутой относительно t=0 функцией B_sv.

Количественный показатель степени сходства сигналов s(t) и u(t) - функция взаимных корреляционных коэффициентов:

r_su(t) = B_su(t)/.

            Интервал изменения значений функций при сдвигах t_i может изменяться от –1 (полная обратная корреляция) до 1 (полное сходство или стопроцентная корреляция). При сдвигах t_I, на которых наблюдаются нулевые значения  r_su(t_i), сигналы независимы друг от друга (некоррелированны). Величина

s_su =

представляет собой среднеквадратическую величину разности между значениями сигналов, которую обычно называют "стандартной ошибкой оценки".

8.3.  Спектральные плотности корреляционных функций [1,25].

Спектральная плотность АКФ может быть определена из следующих простых соображений.

В соответствии с выражением (8.1.1) АКФ представляет собой функцию скалярного произведения сигнала и его копии, сдвинутой на интервал t, при -¥ < t < ¥:

B_s(t) = (s(t),s(t-t)).

            С другой стороны, скалярное произведение может быть определено через спектральные плотности сигнала и его копии, произведение которых представляет собой спектральную плотность взаимной мощности:

(s(t),s(t-t)) = (1/2p)S(w)S_t*(w) dw.

            Смещение сигнала по оси абсцисс на интервал t отображается в спектральном представлении умножением спектра сигнала на exp(-jwt), а для сопряженного спектра на множитель exp(jwt):

S_t*(w) = S*(w)×exp(jwt).

            С учетом этого получаем:

B_s(t) = (1/2p)S(w) S*(w)×exp(jwt) dw = (1/2p)|S(w)|² exp(jwt) dw.      (8.3.1)

            Но последнее выражение представляет собой обратное преобразование Фурье энергетического спектра сигнала (спектральной плотности энергии). Следовательно, энергетический спектр сигнала и его автокорреляционная функция связаны преобразованием Фурье:

     B_s(t) Û |S(w)|² = W_s(w).                                     (8.3.2)

            Аналогичный результат может быть получен и прямым преобразованием Фурье автокорреляционной функции:

B_s(t) exp(-jwt) dt =s(t) s(t-t) exp(-jwt) dt dt =

=s(t) exp(-jwt)s(t-t) exp(jw(t+t) d(t+t) dt = S(w) S*(w) = W_s(w).       (8.3.2')

Таким образом, спектральная плотность АКФ есть не что иное, как спектральная плотность мощности сигнала, которая, в свою очередь, может определяться прямым преобразованием Фурье через АКФ:

|S(w)|² =  B_s(t)×exp(-jwt) dt.                             (8.3.3)

            Последние выражение накладывает определенные ограничения на форму АКФ и методику их ограничения по длительности.

            Энергетический спектр сигналов всегда положителен, мощность сигналов не может быть отрицательной. Следовательно, АКФ не может иметь формы прямоугольного импульса, т.к. преобразование Фурье прямоугольного импульса – знакопеременный интегральный синус. На АКФ не должно быть и разрывов первого рода (скачков), т.к. с учетом четности АКФ любой симметричный скачек по координате  ±t  порождает “разделение” АКФ на сумму определенной непрерывной функции и прямоугольного импульса длительностью 2t  с соответствующим появлением отрицательных значений в энергетическом спектре. Пример последнего приведен на рис. 8.3.1 (графики функций приведены, как принято для четных функций, только своей правой частью).

            АКФ достаточно протяженных сигналов обычно ограничиваются по размерам (исследуются ограниченные интервалы корреляции данных от –Т/2 до Т/2). Однако усечение АКФ, это умножение АКФ на прямоугольный селектирующий импульс длительностью Т, что в частотной области отображается сверткой фактического спектра мощности со знакопеременной функцией интегрального синуса sinc(wT/2). С одной стороны, это вызывает определенное сглаживание спектра мощности, что зачастую бывает полезным, например, при исследовании сигналов на значительном уровне шумов. Но, с другой стороны, может происходить и существенное занижение величины энергетических пиков, если в сигнале имеются какие-либо гармонические составляющие, и появление отрицательных значений мощности на краевых частях пиков и скачков. Пример проявления данных факторов приведен на рис. 8.3.2.

            Как известно, спектры мощности сигналов не имеют фазовой характеристики и по ним невозможно восстановление сигналов. Следовательно, АКФ сигналов, как временное представление спектров мощности, также не имеет информации о фазовых характеристиках сигналов и восстановление сигналов по АКФ невозможно. Сигналы одной формы и сдвинутые во времени имеют одинаковые АКФ. Больше того, сигналы разной формы могут иметь сходные АКФ, если имеют близкие спектры мощности.

            Перепишем уравнение (8.3.1) в следующей форме

s(t) s(t-t) dt = (1/2p)S(w) S*(w)×exp(jwt) dw,

и подставим в это выражение значение t=0. Полученное равенство хорошо известно и называется равенством Парсеваля

s²(t) dt = (1/2p)|S(w)|² dw.

            Оно позволяет вычислять энергию сигнала, как по временной, так и по частотной области.

            Интервал корреляции сигнала является числовым параметром оценки ширины  АКФ и степени значимой корреляции значений сигнала по аргументу.

            Если допустить, что сигнал s(t) имеет примерно равномерный энергетический спектр с верхней граничной частотой до w_в (форма центрированного прямоугольного импульса, как, например, сигнал 1 на рис. 8.3.3 с f_в=50 Гц в одностороннем представлении), то АКФ сигнала определится выражением:

B_s(t) = (W_o/p)cos(wt) dw = (W_ow_в/p) sin(w_вt)/(w_вt).

Интервалом корреляции сигнала t_к считается величина ширины центрального пика АКФ от максимума до первого пересечения нулевой линии. В данном случае для прямоугольного спектра первое пересечение нуля соответствует sin(w_вt) = 0 при w_вt = p, откуда:

t_к = p/w_в =1/2f_в.                                           (8.3.4)

Интервал корреляции тем меньше, чем выше верхняя граничная частота спектра сигнала. Для сигналов с плавным срезом по верхней граничной частоте роль параметра w_в играет средняя ширина спектра (сигнал 2 на рис. 8.3.3).

Спектральная плотность мощности статистических шумов при единичном измерении представляет собой случайную функцию W_q(w) со средним значением W_q(w) Þ s_q², где s_q² – дисперсия шумов. В пределе, при равномерном спектральном распределении шумов от 0 до ¥, АКФ шумов стремится к значению B_q(t) Þ s_q² при t Þ 0, B_q(t) Þ 0 при t ¹ 0, т.е. статистические шумы не коррелированны (t_к Þ 0).

Спектральная плотность ВКФ может быть получена на основании тех же соображений, что и для АФК, или непосредственно из формулы (8.3.1) заменой спектральной плотности сигнала S*(w) на спектральную плотность второго сигнала U*(w):

B_su(t) = (1/2p)S(w)U*(w)×exp(jwt) dw.                     (8.3.5)

            Или, при смене порядка сигналов:

B_us(t) = (1/2p)U(w)S*(w)×exp(jwt) dw.                     (8.3.5')

            Произведение S(w)U*(w) представляет собой взаимный энергетический спектр W_su(w) сигналов s(t) и u(t). Соответственно, U(w)S*(w) = W_us(w). Следовательно, как и АКФ, взаимнокорреляционная функция и спектральная плотность взаимной мощности сигналов связаны между собой преобразованиями Фурье:

B_su(t) Û W_su(w) º W*_us(w).                                (8.3.6)

B_us(t) Û W_us(w) º W*_su(w).                                (8.3.6')

В общем случае, за исключением спектров четных функций, из условия несоблюдения четности для функций ВКФ следует, что взаимные энергетические спектры являются комплексными функциями:

U(w) = A_u(w) + j B_u(w),     V(w) = A_v(w) + j B_v(w).

W_uv = A_uA_v+B_uB_v+j (B_uA_v - A_uB_v) = Re W_uv(w) + j Im W_uv(w),

и содержат определенную фазовую характеристику гармонических составляющих ВКФ, которой и формируется сдвиг максимума ВКФ.

            На рис. 8.3.4 можно наглядно видеть особенности формирования ВКФ на примере двух одинаковых по форме сигналов, сдвинутых относительно друг друга.

            Форма сигналов и их взаимное расположение приведены на виде А. Модуль и аргумент спектра сигнала s(t) приведены на виде В, модуль спектра u(t) тождественен модулю S(w). На этом же виде приведен модуль спектра взаимной мощности сигналов W_su(w)= S(w)·U*(w). Как известно, при перемножении комплексных спектров модули спектров перемножаются, а фазовые углы складываются, при этом для сопряженного спектра U*(w) фазовый угол меняет знак. Если первым в формуле вычисления ВКФ (8.2.1) стоит сигнал s(t), а сигнал u(t-t) на оси ординат стоить впереди s(t), то фазовые углы S(w) по мере увеличения частоты нарастают в сторону отрицательных значений углов (без учета периодического сброса значений на 2p), а фазовые углы U*(w) по абсолютным значениям меньше фазовых углов s(t) и нарастают (за счет сопряжения) в сторону положительных значений. Результатом умножения спектров (как это видно на рис. 8.3.4, вид С) является вычитание из фазовых углов S(w) значений углов U*(w), при этом фазовые углы спектра W_su(w) остаются в области отрицательных значений, что обеспечивает сдвиг всей функции ВКФ (и ее пиковых значений) вправо от нуля по оси t на определенную величину (для одинаковых сигналов – на величину разности между сигналами по оси ординат). При смещении начального положения сигнала u(t) в сторону сигнала s(t) фазовые углы W_su(w) уменьшаются, в пределе до нулевых значений при полном совмещении сигналов, при функция B_su(t) смещается к нулевым значениям t, в пределе до обращения в АКФ (при одинаковых сигналах s(t) и u(t)).

При анализе дискретных данных и числовых рядов соответственно используется функция взаимной ковариации (ФВК):

С_su(n) = (s_k-)×(u_k+n-),                                 (8.3.7)

Как известно для детерминированных сигналов, если спектры двух сигналов не перекрываются и, соответственно, взаимная энергия сигналов равна нулю, такие сигналы ортогональны друг другу.  Связь энергетических спектров и корреляционных функций сигналов показывает еще одну сторону взаимодействия сигналов. Если спектры сигналов не перекрываются и их взаимный энергетический спектр равен нулю на всех частотах, то при любых временных сдвигах t друг относительно друга их ВКФ также равна нулю. А это означает, что такие сигналы являются некоррелированными. Это действительно как для детерминированных, так и для случайных сигналов и процессов.