Основы теории надежности и диагностики

Профессор Т.П. Воскресенская

ВВЕДЕНИЕ. Значение теории надежности

 в современной технике.

Современный период развития техники характеризуется разработкой и внедрением сложных технических систем и комплексов.

Основными понятиями, которые используются в данной дисциплине, являются понятия сложной динамической системы и технического устройства (ТУ) или элемента, входящего в состав системы. Под сложностью обычно понимается сложенность системы из отдельных элементов, при этом рассматривается не просто сумма элементов, а их взаимодействие. Взаимодействие элементов и их свойства изменяются во времени. Сложность взаимодействия элементов и их количество являются двумя аспектами понятия сложной  динамической системы. Сложность системы определяется не столько количеством элементов, сколько количеством связей между самими элементами и между системой и средой.

Сложные динамические системы – это системы перенасыщенные внутренними связями элементов и внешними связями со средой.

Определим сложную динамическую систему, как образование элементов различной природы, которые обладают некоторыми функциями и свойствами, отсутствующими у каждого из элементов, и способно функционировать, статически коррелируя в некотором диапазоне с окружающей средой, и благодаря этому сохранять свою структуру в ходе непрерывного изменения взаимодействующих элементов по сложным динамическим законам.

Сложные динамические системы являются существенно нелинейными системами, математическое описание которых на современном этапе не всегда возможно.

Любая сложная динамическая система создается для решения определенной теоретической или производственной задачи. В связи с ухудшением свойств системы в процессе эксплуатации возникает потребность в периодическом обслуживании, цель которого сохранить способность системы выполнять свои функции. Поэтому основополагающее значение для сложных динамических систем имеют информационные процессы. Цикличность информационных процессов обеспечивается механизмом обратных связей. На основании информации о поведении системы организуется управление её состоянием, с учетом результатов которого корректируется последующее управление системой.

Рекомендуемые материалы

При проектировании технических систем необходимо предусмотреть вопросы обслуживания в процессе предполагаемой эксплуатации. Среди других проблем проектирования и создания комплекса:

- соответствие заданным техническим требованиям;

- экономичность комплекса, учитывая испытания и условия предполагаемой эксплуатации;

- разработка технических средств обслуживания комплекса и математическое обеспечение к ним;

- обеспечить приспособленность комплекса для работы в звене «человек – машина» и др.

Таким образом, уже при проектировании комплекса следует сосредоточить внимание на всех отмеченных, связанных между собой вопросах в целом, а не на каждом отдельном из них.

Можно спроектировать комплекс, отвечающий заданным техническим требованиям, но не удовлетворить требованиям экономическим, требованиям по обслуживанию и по функционированию комплекса в звене «человек – машина». Следовательно, проблему создания комплекса нужно решать с позиций системного подхода. Сущность этого подхода можно продемонстрировать на простом примере. Предположим, что нами отобраны по одному автомобилю каждой из имеющихся в продаже марок. Затем обращаемся к группе экспертов с просьбой изучить их и выбрать самый лучший карбюратор, после этого выбрать наилучший двигатель, распределитель, трансмиссию и т.д., пока не соберем все автомобильные части от разных автомобилей. Нам вряд ли удастся собрать автомобиль из этих частей, а если удастся, то он едва ли будет хорошо работать. Причина в том, что отдельные части не будут подходить друг к другу. Отсюда вывод: лучше, когда части системы хорошо подходят друг к другу, даже если по отдельности они работают и не превосходно, чем когда превосходно работающие части не подходят друг к другу. В этом суть системного подхода.

Иногда усовершенствование одной части комплекса приводит к ухудшению технических характеристик другой, так что улучшение теряет смысл. Системный подход для анализа рассматриваемых явлений предусматривает использование комплекса различных математических методов, методов моделирования и проведения экспериментов.

В предлагаемом курсе рассматривается решение частных задач обслуживания сложных систем и их элементов аналитическим методом и отмечаются особенности решения более сложных задач эксплуатации методом статистического моделирования. На практике реализация полученных методов приведет к анализу комплекса с позиций системного подхода.

Основные признаки сложной системы или технического устройства (ТУ) следующие:

- обладание определенным единством цели и способствование выработке оптимальных выходов из имеющегося множества входов; оптимальность выходов должна оцениваться по заранее разработанному критерию оптимальности;

- выполнение большого количества различных функций, которые осуществляются множеством входящих в систему частей;

- сложность функционирования, т.е. изменение одной переменной влечет за собой изменение многих переменных и, как правило, нелинейным образом;

- высокая степень автоматизации;

- возможность описания поступающего в систему возмущения в количественной мере.

Эксплуатация сложного ТУ – это непрерывный процесс, который включает ряд мероприятий, требующих планового, непрерывного воздействия на ТУ для поддержания его в рабочем состоянии. К таким мероприятиям относятся: плановое техническое обслуживание, восстановление работоспособности после отказа, хранение, подготовка к работе и др. Приведенное определение эксплуатации не охватывает всех тех мероприятий, которые составляют процесс эксплуатации сложных систем. Поэтому под эксплуатацией в широком смысле следует понимать процесс использования ТУ по назначению и поддержания его в технически исправном состоянии.

Состояние ТУ определяется совокупностью значений его технических характеристик. В процессе эксплуатации технические характеристики устройства изменяются непрерывно. Для организации эксплуатации важно различать состояния ТУ, отвечающие крайним или допустимым (граничным) значениям технических характеристик, которые соответствуют рабочему состоянию, отказу, состоянию технического обслуживания, хранения, восстановления и т.п. Например, двигатель находится в рабочем состоянии, если обеспечивает необходимую тягу при условии, что значения всех других характеристик находятся в пределах, установленных в технической документации. Двигатель должен находиться в состоянии технического обслуживания, если значения его технических характеристик достигли соответствующих пределов. В этом случае немедленное его использование по назначению невозможно.

Основная задача теории эксплуатации состоит в научном прогнозировании состояний сложных систем или ТУ и выработке с помощью специальных моделей и математических методов анализа и синтеза этих моделей, рекомендаций по организации их эксплуатации. При решении основной задачи эксплуатации используется вероятностно-статистический подход к прогнозированию и управлению состояниями сложных систем и моделированию эксплуатационных процессов.

Некоторые вопросы теории эксплуатации, такие как прогнозирование надежности ТУ в условиях эксплуатации, организация восстановления ТУ в ходе выполнения задания, диагностика отказов в сложных системах, определение потребного количества запасных элементов и др., получили достаточное развитие в теории надежности, теории восстановления и теории массового обслуживания, в технической диагностике и теории управления запасами.

1. Основные понятия и определения

теории надежности.

Теория надежности – наука о методах обеспечения и сохранения надежности при проектировании, изготовлении и эксплуатации систем.

Способность любого изделия или системы сохранять свои первоначальные технические характеристики в процессе эксплуатации  определяются их надежностью. Физический смысл надежности состоит в способности ТУ сохранять свои характеристики во времени.

Эксплуатационными характеристиками являются также готовность к применению, восстанавливаемость, параметры технического обслуживания. Надежность может определяться как самостоятельной эксплуатационной характеристикой ТУ, так и служить составляющей других эксплуатационных характеристик.

Под надежностью понимается свойство ТУ выполнять заданные функции, сохраняя свои эксплуатационные показатели в заданных пределах в течение требуемого промежутка времени или требуемой наработки в определенных условиях эксплуатации.

Как следует из определения, надежность зависит от того, какие функции выполняет изделие во времени, в течение которого должно быть обеспечено выполнение этих функций, и от условий эксплуатации.

У любого изделия много эксплуатационных показателей и необходимо строго оговаривать в каждом случае, когда технические параметры или свойство ТУ следует учитывать при определении его надежности.

В связи с этим вводится понятие работоспособности, которое определяется как состояние ТУ, при котором оно способно выполнять заданные функции с параметрами, установленными требованиями технической документации. Введение понятия работоспособности необходимо для определения технических параметров и свойств ТУ, обусловливающих выполнение заданных функций и допустимых границ их изменения.

Из определения надежности также следует, что надежность состоит в способности ТУ сохранять свои начальные технические характеристики во времени. Однако, даже самое надежное ТУ не может сохранять свои начальные технические характеристики в течение неограниченного времени. Поэтому говорить о надежности, не определяя конкретный промежуток времени, в течение которого эти характеристики должны обеспечиваться, бессмысленно. Кроме того, реальная надежность каждого ТУ в значительной степени зависит от условий эксплуатации.  Любое заранее определенное значение надежности справедливо только для конкретных условий эксплуатации, включая режимы использования ТУ.

В теории надежности вводятся понятия элемента и системы. Различие между ними чисто условное и состоит в том, что при определении надежности элемент считают неделимым, а систему представляют в виде совокупности отдельных частей, надежность каждой из которых определяют отдельно.

Понятия элемент и система относительны. Например, нельзя считать, что самолет всегда является системой, а один из его двигателей – элементом. Двигатель можно считать элементом, если при определении надежности рассматривать его как единое целое. Если его расчленить на составляющие части (камеру сгорания, турбину, компрессор и т.д.), каждая из которых обладает собственным значением надежности, то двигатель представляет собой систему.

Количественно определить или измерить надежность ТУ гораздо сложнее, чем измерить любые его технические характеристики. Как правило, измеряется только надежность элементов, для чего проводятся специальные, иногда довольно сложные и длительные испытания или используются результаты наблюдений за их поведением в эксплуатации.

Надежность систем рассчитывается на основании данных о надежности элементов. В качестве отправных данных при определении количественных значений надежности используются события, состоящие в нарушении работоспособности ТУ и называемые отказами.

Под отказом понимается событие , после которого ТУ перестает выполнять (частично или полностью) свои функции. Понятие отказа является основным в теории надежности и правильное уяснение его физической сущности является важнейшим условием успешного решения вопросов обеспечения надежности.

В некоторых случаях система продолжает выполнять заданные функции, но с некоторых элементах появляются нарушения технических характеристик. Такое состояние элемента называют неисправностью.

Неисправность – состояние элемента, при котором он в данный момент не соответствует хотя бы одному их требований, установленных как в отношении основных, так и второстепенных параметров.

Рассмотрим некоторые другие понятия, характеризующие эксплуатационные качества ТУ. В некоторых случаях требуется, чтобы ТУ не только безотказно работало в течение определенного промежутка времени, но, несмотря на наличие отказов в перерывах в работе, сохраняло бы в целом способность выполнять заданные функции в течение длительного времени.

Свойство ТУ сохранять работоспособность с необходимыми перерывами для технического обслуживания и ремонтов до предельного состояния, определенного в технической документации, называется долговечностью. Предельными состояниями ТУ могут явиться: поломка, предельный износ, падение мощности или производительности, снижение точности и т.д.

Ту может потерять работоспособность не только при эксплуатации, но также в процессе длительного хранения, в результате старения. Чтобы подчеркнуть свойство ТУ сохранять работоспособность в процессе хранения, введено понятие сохраняемости, которое имеет смысл надежности ТУ в условиях хранения.

Сохраняемостью называется свойство ТУ иметь обусловленные эксплуатационные показатели в течение и после срока хранения и транспортирования, установленного в технической документации.

Важное значение при определении эксплуатационных характеристик ТУ имеют понятия срока службы, наработки и ресурса.

Сроком службы называется календарная продолжительность эксплуатации ТУ до момента возникновения предельного состояния, оговоренного в технической документации. Под наработкой понимается продолжительность (в часах или циклах) или объем работы ТУ (в литрах, килограммах, т-км и т.д.) до появления отказа. Ресурсом называется суммарная наработка ТУ до предельного состояния, оговоренного в технической документации.

2. Количественная мера надежности сложных систем

Для выбора рациональных мероприятий, направленных на обеспечение надежности, очень важно знать количественные показатели надежности элементов и систем. Особенность количественных характеристик надежности является их вероятностно-статистическая природа. Отсюда вытекают особенности их определения и использования. Как показывает практика, поступающие в эксплуатацию однотипные ТУ, например автомобили, даже будучи изготовленными на одном заводе, проявляют различную способность сохранять свою работоспособность. В процессе эксплуатации отказы ТУ происходят в самые неожиданные, непредвиденные моменты. Возникает вопрос, существуют ли какие-либо закономерности в появлении отказов? Существуют. Только для их установления следует вести наблюдения не за одним, а за многими ТУ, находящимися в эксплуатации, и для обработки результатов наблюдений применять методы математической статистики и теории вероятностей.

Применение количественных оценок надежности необходимо при решении следующих задач:

- научное обоснование требований к вновь создаваемым системам и изделиям;

- повышения качества проектирования;

- создание научных методов испытаний и контроля уровня надежности;

- обоснование путей снижения экономических затрат и сокращение времени на разработку изделий;

- повышение качества и стабильности производства;

- разработка наиболее эффективных методов эксплуатации;

- объективная оценка технического состояния находящейся в эксплуатации техники;

- разработка научно обоснованных рекомендаций, направленных на улучшение техники и методов её эксплуатации.

В настоящее время в развитии теории надежности выделяются два основных направления:

- прогресс техники и совершенствование технологии изготовления элементов и систем;

- рациональное использование элементов при проектировании систем – синтез систем по надежности.

3. Количественные показатели надежности

элементов и систем.

К количественным показателям надежности элементов и систем относятся:

- коэффициент надежности R_г;

-  вероятность безотказной работы в течение определенного времени P(t);

- средняя наработка до первого отказа Т_ср для невосстанавливаемых систем;

- наработка на отказ t_ср для восстанавливаемых систем:

- интенсивность отказов λ(t);

- среднее время восстановления τ_ср ;

- интенсивность восстановления μ(t);

- функция надежности R_г (t).

Определения названных величин:

R_г – вероятность застать изделие в работоспособном состоянии.

 P(t) – вероятность того, что за заданный промежуток времени (t) система не откажет.

Т_ср – математическое ожидание времени работы системы до первого отказа.

 t_ср - математическое ожидание времени работы системы между последовательными отказами.

λ(t) – математическое ожидание количества отказов в единицу времени; для простого потока отказов :

λ(t)= 1/ t_ср .

τ_ср – математическое ожидание времени восстановления системы.

μ(t) - математическое ожидание количества восстановлений в единицу времени:

μ(t) = 1/ τ_ср.

R_г (t) – изменение надежности системы по времени.

4. Классификация систем для целей расчета надежности.

Системы для целей расчета надежности классифицируются по нескольким признакам.

1. По особенностям функционирования в период применения:

- системы одноразового применения; это системы повторное использование которых невозможно или нецелесообразно по каким-либо причинам;

- системы многоразового применения; это системы повторное использование которых возможно и может осуществляться после выполнения системой возложенных на неё функций за предыдущий цикл применения.

2. По приспособленности к восстановлению после появления отказов:

- восстанавливаемые, если их работоспособность, утраченная при отказе, может быть восстановлена в процессе эксплуатации;

- невосстанавливаемые, если их работоспособность, утраченная при отказе, не подлежит восстановлению.

3. По реализации технического обслуживания:

- не обслуживаемые – системы, техническое состояние которых не контролируется в процессе эксплуатации и не проводятся мероприятия, направленные на обеспечение их надежности;

- обслуживаемые – системы, техническое состояние которых контролируется в процессе эксплуатации и проводятся соответствующие мероприятия по обеспечению их надежности.

4. По виду реализованного технического обслуживания:

- с периодическим обслуживанием – системы в которых мероприятия по обеспечению надежности реализуются только при проведении плановых ремонтно-профилактических работ через заранее установленные промежутки времени Т_о ;

- со случайным периодом обслуживания – системы, в которых мероприятия по обеспечению надежности реализуются через случайные промежутки времени, соответствующие появлению отказов или достижения системой предельного по работоспособности состояния;

- с комбинированным обслуживанием – системы, в которых при наличии плановых ремонтно-профилактических работ имеют место элементы обслуживания со случайным периодом.

5. Классификация систем по структуре.

Показатели надежности систем зависят не только от показателей надежности элементов, но и способов «соединения» элементов в систему. В зависимости от способа «соединения» элементов в систему различают блок-схемы:  а. последовательные (основное соединение); б. параллельное (резервированное  соединение); в. комбинированное ( в блок-схеме имеет место и основное и резервированное соединение элементов); см. рис. 1.

в.

Рис. 1. Структуры систем для целей расчета надежности.

Отнесение структуры системы к основной или резервированной не зависит от физического относительного размещения элементов в системе, зависит лишь от влияния отказов элементов на надежность всей системы.

Основные структуры системы характеризуются тем, что отказ одного элемента вызывают отказ всей системы.

Резервированными структурами системы называют такие, в которых отказ наступает при отказе всех или определенного количества элементов, составляющих систему.

Резервированные структуры могут быть с общим резервированием, резервированием группами элементов и с поэлементным резервированием (см. рис. 2, а., б., в.).

Рисунок 2. Варианты резервирования систем.

Классификационная принадлежность системы по структуре не является постоянной, а зависит от цели расчета. Одна и та же система может быть основной и резервированной; например, какое «соединение» имеют двигатели четырехмоторного самолета ? Ответ двоякий.

Если рассматривать систему с точки зрения техника, обслуживающего самолет, то двигатели «соединены» последовательно, т.к. самолет не может быть выпущен в рейс, если хотя бы один двигатель будет неисправным; таким образом, отказ одного элемента (двигателя) означает отказ всей системы.

Если рассматривать эту же систему в полете, то с точки зрения пилотов, она будет резервированной, т.к. система откажет полностью при отказе всех двигателей.

6. Классификация отказов и неисправностей систем и элементов.

Отказы имеют различную природу и классифицируются по нескольким признакам. Основные из них следующие:

- влияние отказа на безопасность работы : опасный, безопасный;

- влияние отказа на работу основного механизма : приводящий к простою; снижающий производительность основного механизма; не приводящий к простою основного механизма;

- характер устранения отказа : срочный; не срочный; совместимый с работой основного механизма; не совместимый с работой основного механизма;

- внешнее проявление отказа : явный (очевидный); неявный (скрытый);

- длительность устранения отказа: кратковременный; длительный;

- характер возникновения отказа: внезапный; постепенный; зависимый; независимый;

- причина возникновения отказа: конструкционный; изготовительный; эксплуатационный; ошибочный; естественный;

- время возникновения отказа: при хранении и транспортировании;   в период пуска; до первого капитального ремонта; после капительного ремонта.

Все перечисленные виды отказов имеют физическую природу и считаются техническими.

Кроме них в системах, состоящих из автономных элементов (машин, механизмов, приспособлений)  могут встречаться технологические отказы.

Технологические – это отказы, связанные с выполнением отдельными элементами вспомогательных операций, требующих остановки работы основного механизма системы.

Технологические отказы возникают в случаях:

- выполнение операций, предшествующих циклу работы основного механизма системы;

- выполнение операций, следующих за циклом основного механизма, но не совместимых с выполнением нового цикла;

- цикл отработки основного механизма системы меньше цикла отработки вспомогательного элемента в технологическом процессе;

- технологическая операция, выполняемая каким-либо элементом, несовместима с работой основного механизма системы;

- переход системы в новое состояние;

- несоответствие эксплуатационных условий работы системы условиям, оговоренным паспортными характеристиками механизмов системы.

7. Основные количественные зависимости при расчете систем на надежность.

7.1. Статистический анализ работы элементов и системы.

Качественные и количественные характеристики надежности системы получают в результате анализа статистических данных об эксплуатации элементов и систем.

При определении вида закона распределения случайной величины, к которой относятся интервалы безотказной работы и времени восстановления работоспособности, расчеты выполняют в последовательности:

- подготовка опытных данных; эта операция заключается в том, что первичные источники о работе систем и элементов анализируются на предмет выявления явно ошибочных данных; статистический рад представляется в виде вариационного, т.е. размещенного по мере возрастания или убывания случайной величины;

- построение гистограммы случайной величины;

- аппроксимация экспериментального распределения теоретической зависимостью; проверка правильности  аппроксимации экспериментального распределения теоретическим с использованием критериев согласия (Колмогорова, Пирсона, омега-квадрат и т.д.).

Как показывают наблюдения, проведенные в различных областях техники, поток отказов и восстановлений является простейшим, т.е.  обладает ординарностью, стационарностью и отсутствием последействия.

Надежность сложных систем подчиняется, как правило, экспоненциальному закону, который характеризуется зависимостями:

- вероятность безотказной работы:

 

- функция распределения времени безотказной работы:

- плотность распределения времени безотказной работы:

Эти зависимости соответствуют простейшему потоку отказов и характеризуются константами:

- интенсивность отказов λ(t) = const;

- интенсивность восстановления μ(t)  = const ;

- наработка на отказ t_ср = 1/λ(t) = const;

- время восстановления работоспособности τ_ср = 1/μ(t) = const .

Параметры λ(t), t_ср; μ(t) и  τ_ср – получают в результате обработки вариационного ряда по хронометражным наблюдением за работой элементов и систем.

7.2. Расчет коэффициента надежности элементов.

Коэффициент надежности элемента определяют по данным статистической обработки вариационных рядов по формулам:

                         или                       ( 1 )

а также по показателям интенсивности отказов и восстановления λ(t) и  μ(t):

                                           .                                    ( 2 )

В системах промышленного транспорта следует различать технические и технологические отказы. Соответственно, характеристиками надежности элементов в техническом и технологическом отношениях являются коэффициенты технической r_тi и технологической  r_ci надежности элементов. Надежность элемента в целом определяется зависимостью:

                                          r_гi = r_тi ·r_ci .                                         ( 3 )

7.3. Расчет технической надежности системы.

Надежность основной системы ( системы последовательно соединенных элементов) определяется при наличии только технических отказов зависимостью :

                                                                                             (4)

при равнонадежных элементах:

                                                                                                (5)

где n – количество последовательно соединенных элементов в системе;

При расчетах количественных показателей резервированных и комбинированных структур систем  необходимо знать не только их надежность, но и ненадежность элемента; поскольку надежность r_i и ненадежность q_i элемента составляют полную сумма вероятностей, равную единице, то:

                                             q_i =( 1 -  r_i).                                                 (6)

Ненадежность резервированной системы (при параллельном соединении элементов) определяется как вероятность того, что все элементы системы отказали, т.е.:

                                                                                  (7)

Надежность, соответственно, определиться зависимостью:

                                                            (8)

Или, при равнонадежных элементах

                                     ,                                      (9)

где m – количество резервных элементов.

Степень ( m + 1) при расчете надежности системы объясняется тем, что в системе один элемент обязателен, а количество резервных может меняться от 1 до m.

Как уже было отмечено, резервирование  в комбинированных системах может быть поэлементным, группой элементов и поэлементным. Показатели надежности систем зависят от вида резервирования в комбинированной  системе. Рассмотрим эти варианты различных способов развития системы.

Надежность комбинированных резервированных систем с общим резервированием (системное резервирование) определяется зависимостью:

                                                                      (10)

при равнонадежных элементах (следовательно, подсистем):

                                                                        (11)

Надежность комбинированных систем с резервированием группами элементов определяется последовательно; сначала определяются надежности резервированных подсистем, затем – надежность системы последовательно соединенных подсистем.

Надежность комбинированных систем с поэлементным (раздельным) резервированием определяется последовательно; сначала определяются надежности блок-элементов (элемент, резервированный одним, двумя и т.д. до m элементов ), затем – надежность системы последовательно соединенных блок-элементов.

Надежность блок-элемента равна:

                                          ;                                   (12)

Надежность комбинированной системы R_кj при поэлементном резервировании равна:

                                        ;                          (13)

или при равнонадежных элементах:

                                                                       (14)

Рассмотрим пример расчета надежности системы без резервирования и с различными формами её развития (резервирования).

Дана система, состоящая из четырех элементов (см. рис. 1.):

Рисунок  1. Блок-схема (основной) системы.

Надежность основной системы:

 0,95· 0,82· 0,91· 0,79 = 0,560.

Надежность комбинированной системы при общем (системном) резервировании будет равно (см. рис. 2):

Рисунок 2. Блок-схема комбинированной системы при системном резервировании.

1- (1- 0,560)² = 1 – 0,194 = 0,806.

Надежность комбинированной системы при резервировании группами элементов будет зависеть от того, каким образом будут сгруппированы элементы; в нашем примере элементы группируем следующим образом (см. рис. 3):

Рисунок 3. Блок-схема комбинированной системы при резервировании группами элементов.

Надежность первой подгруппы  R_о1 из 1-го и 2-го последовательно соединенных элементов будет равна:

 0,95 · 0,82 = 0,779;

Надежность блок-элемента первой  подгруппы:

= 1- ( 1- 0,779 )² = 0,951.

Надежность второй подгруппы R_оП из 3-его и 4-го последовательно соединенных элементов будет равна:

 0,91 · 0,79 = 0,719.

Надежность блок-элемента второй подгруппы:

 = 1 – ( 1 – 0,719 )² = 0,921.

Надежность системы R_кс из двух последовательно соединенных  подсистем будет равна:

 0,951 · 0,921 =  0,876.

Надежность комбинированной системы R_кj при поэлементном резервировании равна произведению надежности блок-элементов, состоящих каждый из одного элемента системы (см. рис. 4)

Рисунок 4. Блок-схема комбинированной системы при поэлементном резервировании.

Надежность блок-элемента определяется по формуле:

;

Для первого элемента: r_j1  = 1 – (1 – 0,95)² = 0,997;

Для второго элемента: r_j2  = 1 – (1 – 0,82)² = 0,968;

Для третьего элемента: r_j3  = 1 – (1 – 0,91)² = 0, 992;

Для четвертого элемента:  r_j4  = 1 – (1 – 0,79)² = 0,956.

Для системы последовательно соединенных блок-элементов:

 0,997 · 0,968 · 0,992 · 0,956  =  0,915.

Как показывает пример расчета, чем больше связей между элементами системы, тем выше её надежность.

7.4. Расчет технической готовности системы.

Параметры готовности системы при наличии технических и технологических отказов определяется по формуле:

.

где r_гi – техническая надежность элемента;

      r_ci – технологическая надежность элемента;

      r_гi -  обобщенная надежность элемента.

При резервировании элементов изменение технической и технологической надежности происходит по разному: технической – по мультипликативной схеме, технологической – по аддитивной схеме, при этом максимальная технологическая надежность может равняться единице.

Отсюда, при двукратном резервировании элемента получим его надежность блок-элемента :

;

При произвольном количестве резервных элементов m :

.

где m – количество резервных элементов.

Готовность комбинированных систем определяется аналогично определению надежности при наличии только технических отказов, т.е. определяется готовность блок-элементов, а по их показателям готовность всей системы.

7. Формирование оптимальной структуры системы.

Как показывают результаты расчетов, при развитии структуры системы  её надежность асимптотически приближается к единице, при этом стоимость в формирование системы возрастает по линейной зависимости. Поскольку  эксплуатационная производительность системы является произведением её надежности на номинальную (паспортную) производительность, то опережающее возрастание затрат в формирование системы при замедляющемся росте её надежности приведет к тому, что затраты, отнесенные к единице производительности будут увеличиваться и дальнейшее развитие структуры системы станет экономически нецелесообразным. Таким образом, решение вопроса о целесообразной надежности системы является оптимизационной задачей.

Целевая функция оптимизации системы имеет вид:

                                 

где - суммарные затраты на систему;  - достигнутый на основе этих затрат коэффициент готовности комбинированной системы.

П р и м е р. Исходные условия: задана основная система вида (см. рисунок):

Рисунок 5. Структура основной системы, показатели надежности

                   элементов и условные стоимости элементов.

Требуется определить оптимальную кратность резервирования третьего элемента системы ( остальные элементы не резервируются).

Р е ш е н и е:

1. Определяем надежность основной системы:

= 0,80 · 0,70 · 0,65 · 0,90 = 0,328.

2. Определяем стоимость основной системы:

С_о == 20+30+12+50 = 112 у.е.

3. Определяем удельные затраты на достижение данного коэффициента готовности основной системы:

            

4. Резервируем третий элемент системы одним равнонадежным. Получим новую структуру системы вида (рисунок 6):

Рисунок 6. Структура системы после первого этапа резервирования

Рассчитываем надежность новой системы:

где  - надежность третьего блок-элемента после его резервирования одним равнонадежным элементом;

Отсюда:

.

Определяем стоимость новой системы :

Удельные затраты в сформированную новую систему равны:

Сравниваем удельные затраты Y₀ в основную систему и Y₁ в комбинированную после первого этапа её развития:

Y₀ = 341,5 › 280 = Y_1.,

Так как Y₀ больше, чем Y₁, то резервирование целесообразно, но нет уверенности, что двукратное резервирование не приведет к ещё большему сокращению удельных затрат, поэтому необходимо проверить и этот вариант.

Получим новую блок-схему системы, представленную на рисунке 7.

Рисунок 7. Структура системы после второго этапа резервирования, т.е. резервируем третий элемент ещё одним равнонадежным.

Рассчитываем надежность новой системы:

где  - надежность третьего блок-элемента после его резервирования двумя равнонадежными элементами;

Отсюда:

. 

Определяем стоимость новой системы :

Удельные затраты в сформированную новую систему равны:

Сравниваем удельные затраты Y₁ в предыдущую систему и Y₂ в комбинированную после второго этапа её развития:

Y₁ =280 ‹ 281,6 = Y₂.

Так как Y₂ больше, чем Y₁, то резервирование третьим элементом нецелесообразно. Оптимальным считается резервирование системы одним третьим элементом.

В примере рассмотрена частная задача оптимизации структуры системы по одному элементу.

Рассмотрим далее пример формирования оптимальной структуры системы при последовательном резервировании всех элементов системы.

Расчеты сводим в таблицу. Таблица включает в себя несколько этапов и полос. Нулевой этап состоит из двух полос. В первой полосе записываем исходные данные (см. таблицу) по элементам при отсутствии резервирования элементов. Во второй полосе записываем надежность блок-элементов при однократном () и двукратном  резервировании () равнонадежными элементами, а также отношение коэффициентов готовности блок-элементов к коэффициентам готовности элементов (/) и (/).

В последней графе показываем последовательную блок-схему системы и её характеристики: С_о; R_го; Y_о.

На первом (и каждом следующем) этапе производим расчеты по надежности системы при резервировании каждого отдельного элемента одним и двумя равнонадежными элементами. После произведенных расчетов находим в последних двух строках минимальное значение удельных затрат в формирование структуры системы, фиксируем это значение и принимаем решение резервировать тот элемент, который обусловливает наименьшие удельные затраты. В последней графе фиксируем полученную новую блок-схему системы и выписываем её характеристики (из того столбца, который показывает наименьшие удельные затраты).

На втором (и каждом следующем) этапе основной принимается блок-схема системы, полученная на предыдущем этапе. Расчеты в столбце элемента, который резервировали на данном этапе, в последующих этапах не выполняем.

Расчеты производим до тех пор, пока удельные затраты при резервировании очередного элемента не превысят удельных затрат, полученных на предыдущем этапе. Схема системы, имеющая наименьшие удельные затраты является оптимальной.

Таблица. Формирование оптимальной структуры системы.

Пояснения к таблице. На первом этапе (полоса 3) наименьший показатель удельных затрат обусловлен резервированием третьего элемента, поэтому вводим его в систему, получаем комбинированную систему (её характеристики в таблице), которая будет основной для следующего этапа, т.е. сравнение после следующего этапа развития системы проводятся не по отношению к исходной системе, а по отношению к системе, полученной на предыдущем этапе. В таблице видно, что удельные затраты после введения второго резервного элемента уменьшились, поэтому переходим к следующему этапу.

Пятая полоса показывает эффективность резервирования первого элемента, т.к., удельные затраты снижены по сравнению с предыдущим этапом развития системы; поэтому переходим к следующему (четвертому) этапу. На четвертом этапе резервируем четвертый элемент и получаем удельные затраты, превышающие затраты на предыдущем (третьем) этапе. Отсюда делаем вывод, что оптимальная система получена на третьем этапе, т.е., когда однократно резервируются первый, второй и третий элементы.

В таблице минимальные значения удельных затрат (и соответствующих характеристик полученной схемы) по всем этапам оптимизации выделены рамкой. Прочерки показывают, что вычисления в столбцах элементов, введенных в структуру резервирующими, не делаются.