Теории прочности

Лекция 5. Теории прочности. Чистый сдвиг

Теории прочности. В каждой теории прочности используется определенная гипотеза прочности, которая представляет собой предположения о преимущественном влиянии на прочность материала того или иного фактора.

Наиболее важными факторами, связанными с возникновением опасного состояния материала являются: нормальные и касательные напряжения, линейные деформации и потенциальная энергия деформации.

Эквивалентным напряжением называется напряжение, которое следует создать в растянутом образце, чтобы его напряженное состояние стало равноопасным заданному напряженному состоянию.

Заменяя сложное напряженное состояние эквивалентным  линейным, получаем возможность использовать при сложном напряженном состоянии условие прочности при простом растяжении:

.

Гипотеза наибольших нормальных напряжений. Эта гипотеза была выдвинута Галилеем 1638 году и носит название первой теорией прочности.

В основу теории наибольших напряжений положена гипотеза о преимущественном влиянии наибольших по абсолютной величине нормальных напряжений.

Рекомендуемые материалы

Согласно этой теории прочности опасное состояние материала при сложном напряженном состоянии наступает тогда, когда наибольшее по модулю   главное напряжений достигает предельного значения для заданного материала при простом растяжении (сжатии). Условия прочности при растяжении и сжатии имеют вид:

Эта теория прочности дает положительные результаты лишь для некоторых хрупких материалов.

Гипотеза наибольших линейных деформаций. Эта гипотеза была выдвинута Мариоттом в 1682 году и носит название второй теории прочности.

Согласно данной теории прочности опасное состояние материала при сложном напряженном состоянии наступает тогда, когда наибольшее по модулю относительная линейная деформация достигает предельного значения при простом растяжении или сжатии.

Максимальные относительные деформации  согласно обобщенному закону  Гука определяются при растяжении и сжатии соответственно по зависимостям:

.

Предельное значение относительной деформации при растяжении

Откуда получаем

.

Тогда условия прочности при растяжении и сжатии имеют вид:

Экспериментальная проверка данной гипотезы выявила ряд существенных недостатков, поэтому она не применяется для расчетов.

Гипотеза наибольших касательных. Эта гипотеза была выдвинута Кулоном в 1773 году и носит название третьей теории прочности.

Согласно данной теории прочности опасное состояние материала при сложном напряженном состоянии наступает тогда, когда наибольшее  касательное напряжение   достигает значения, предельного  для данного материала.

При объемном напряженном состоянии

Условие прочности по третьей теории прочности имеет вид

   или    .

Во многих практических случаях третья теория прочности дает удовлетворительные результаты.

Подставляя значения главных нормальных напряжений, выраженных через нормальные и касательные напряжения, получаем

.

Гипотеза энергии формоизменения. Эта гипотеза была выдвинута Бельтрами в 1885 году и Губером в 1904 году и носит название четвертой  теории прочности.

Согласно данной теории прочности опасное состояние материала при сложном напряженном состоянии наступает тогда, когда  удельная потенциальная энергия изменения формы достигает предельного для данного материала значения.

При объемном напряженном состоянии удельная потенциальная энергия изменения формы, выраженная через главные напряжения, определяется следующим уравнением:

.

Предельное значение при простом растяжении

.

Условие прочности в этом случае имеет вид:

Подставляя значения главных нормальных напряжений, выраженных через нормальные и касательные напряжения, получаем

Гипотеза прочности Мора (пятая теория прочности). Гипотеза прочности Мора позволяет учесть различие в свойствах материала при растяжении и сжатии. Ее можно получить путем модификации гипотезы наибольших касательных напряжений.

Условие прочности по гипотезе Мора имеет следующий вид:

Чистый сдвиг.

Напряжения при чистом сдвиге. Чистым сдвигом называют такой вид нагружения, при котором в его поперечных сечениях действует только поперечная сила. Сдвиг, как вид нагружения, встречается редко и имеет  место в заклепочных и сварных соединениях.

Рис. 17

При чистом сдвиге (рис. 17)  в окрестности точки можно выделить элементарный параллелепипед с боковыми гранями, находящимися под действием одних лишь касательных напряжений.

Внутренняя поперечная сила при чистом сдвиге определяется  методом сечений. Распределение касательных напряжений принимается равномерным и тогда связь между поперечной силой и касательным напряжением имеет вид:

 откуда

При чистом сдвиге возникает плоское напряженное состояние, тогда напряжения, действующие на площадке составляющей угол  с вертикальной исходной площадкой равны:

Касательные напряжения, показанные на рис. 17, по абсолютной величине больше касательных напряжений по любым другим площадкам. Следовательно, они являются экстремальными, а площадки, по которым они действуют – площадками сдвига. Так как по этим площадкам не действуют нормальные напряжения, то их называют площадками чистого сдвига и образуют с главными площадками углы, равные 45⁰.

Подставляя угол 45⁰, получаем  

Следовательно, при чистом сдвиге главные напряжения и экстремальные касательные напряжения равны друг другу. Подставив в уравнения значения углов , получаем

 

 При чистом сдвиге нормальные напряжения на любых двух взаимно перпендикулярных площадках равны друг другу по модулю и противоположны по направлению.

Деформации при чистом сдвиге. При чистом сдвиге длины ребер элементарного параллелепипеда не изменяются, а изменяются лишь углы между боковыми гранями. Первоначально прямые углы становятся равными  (рис. 18).

                                                 Рис. 18

Величина  называется абсолютным сдвигом. Отношение абсолютного сдвига  к расстоянию между противоположными гранями называется относительным  сдвигом. При малых деформациях имеем

т.е. относительный сдвиг равен углу сдвига.

Угол сдвига  пропорционален касательным напряжениям. Математическая зависимость между углом сдвига и касательным напряжением называется законом Гука при сдвиге.

где  коэффициент пропорциональности или модуль упругости второго рода.

Объемная деформация и потенциальная энергия при сдвиге. Относительное изменение объёма при сдвиге определяется из объёмного закона Гука

Величина   не зависит от того, как в окрестности точки выделен элементарный параллелепипед. Так как при чистом сдвиге боковые грани выделенного элементарного параллелепипеда являются площадками чистого сдвига, то . Тогда относительное изменение объёма при чистом сдвиги .

Полная удельная потенциальная энергия  равна сумме удельной потенциальной энергии изменения объёма  и удельной потенциальной энергии изменения формы

Учитывая, что при чистом сдвиге,  получаем

 .

Работа при чистом сдвиге. В результате деформации выделенного параллелепипеда работа силы  будет определяться по выражению

где сила, действующая на грань параллелепипеда.

Ее величина будет равна

где размер параллелепипеда в направлении, перпендикулярном чертежу (рис. 18)

             Учитывая, что   получаем

Так как работа силы при статическом действии числена равна потенциальной энергии, имеем

.

"Заболевания щитовидной железы" - тут тоже много полезного для Вас.

Удельная потенциальная энергия в этом случае равна

 Приравнивая   полученные выражения для удельной потенциальной энергии, получаем соотношение

  = ,

откуда получаем связь между модулем упругости первого рода  и модулем упругости второго рода

.