Математические методы описания аналоговых сигналов

2. Математические методы описания аналоговых сигналов

Математические методы описания сигналов направлены на то, чтобы с их помощью можно было проследить характер наиболее часто используемых преобразований сигналов с помощью технических средств. Анализ технических средств, по крайней мере, в линейном приближении, чаще всего осуществляется в частотной области, с помощью амплитудных и фазовых частотных характеристик. Именно поэтому наибольшее внимание будет уделено частотному представлению сигналов с помощью рядов и преобразования Фурье.

2.1 Виды сигналов

Измерительный сигнал – это физический процесс, развивающийся во времени и являющийся носителем определенной информации. Каждый сигнал как математический объект характеризуется многими параметрами. Для отображения изменяющегося во времени значения измеряемой величины обычно используется только один из параметров сигнала. Этот параметр называется информативным параметром сигнала. Все остальные параметры сигнала являются неинформативными. Они не несут в себе никакой информации, однако могут оказывать существенное влияние на точность передачи и преобразования информации.

По богатству переносимых сигналами сведений их принято подразделять на следующие виды: детерминированные, квазидетерминированные и случайные.

Детерминированными называются сигналы, которые могут быть заранее описаны точными математическими соотношениями. Такие сигналы не несут в себе, следовательно, никакой измерительной информации кроме, конечно, самого факта своего существования. К детерминированным сигналам относятся, в частности, опорные сигналы, реализующие временную шкалу работы устройств, образцовые сигналы на выходах различных генераторов, командные сигналы, с помощью которых осуществляется управление работой устройств.

Квазидетерминированными мы будем называть сигналы, закономерности изменения которых во времени заранее известны, но некоторые параметры являются случайными величинами, функционально связанными с измеряемой величиной. Примером может служить гармонический сигнал . Здесь параметры колебания  могут быть случайными величинами, если они пропорциональны текущему значению измеряемой величины.

Случайными называются сигналы, значения которых заранее предсказать невозможно. В результате наблюдения мы получаем реализацию случайного сигнала. Множество реализаций сигнала образует ансамбль реализаций сигнала. Уже полученная реализация является детерминированным сигналом.

Измерительный сигнал может существовать в одной из четырех различных форм, представленных на рис. 2.1.

Рекомендуемые материалы

Примеры сигналов, соответствующих этим формам существования, представлены на рис. 2.2 в той же последовательности, что и на рис.2.1. Пунктирной линией показан исходный аналоговый сигнал.

Аналоговым называется сигнал, непрерывный и по уровню, и по времени. «Аналоговый» означает «соответствующий». Первоначально к аналоговым сигналам относили только сигналы, модулированные по уровню, то есть сигналы, уровень которых является информативным параметром, монотонно связанным с измеряемой величиной. Однако класс аналоговых сигналов значительно шире. Будем считать аналоговыми сигналы, существующие в любой момент времени и принимающие любые значения в заданных диапазонах.

Если сигнал подвергается квантованию по уровню, то он, оставаясь функцией непрерывного времени, может принимать только некоторые разрешенные значения (уровни квантования, на рис. 2.2 отмечены горизонтальными линиями), разделенные шагом квантования по уровню. В любой момент времени сигнал принимает значение, соответствующее ближайшему уровню квантования.

Значения сигнала, квантованного по времени, определены только для некоторого ограниченного или счетного множества моментов времени , поэтому такой сигнал можно изобразить только в виде последовательности отсчетов, значения которых равны значениям сигнала на этом множестве моментов времени.

Дискретным называется сигнал, который ранее был подвергнут квантованию одновременно и по уровню, и по времени.

2.2 Энергетические характеристики сигналов

Если произвольный сигнал  рассматривать как электрический ток, протекающий через резистор с сопротивлением в 1 Ом, или как падение напряжения на сопротивлении в 1 Ом, то квадрат сигнала можно считать его мгновенной мощностью:

.

Чтобы вычислить энергию, выделяемую сигналом на сопротивлении в 1 Ом за время , следует проинтегрировать мгновенную мощность по времени за этот промежуток времени:

.

Далее можно ввести также понятие средней мощности сигнала:

.

Энергия сигнала может быть конечной или бесконечной. Периодический сигнал обладает бесконечной энергией. Напротив, сигнал конечной длительности всегда имеет конечную энергию. Если энергия сигнала бесконечна, всегда можно попробовать определить его среднюю мощность путём предельного перехода:

.

Если рассматривать значения сигнала в разные моменты времени как значения некоторой случайной величины X, то окажется, что среднюю мощность сигнала можно рассматривать как дисперсию  этой случайной величины, если только среднее значение сигнала равно нулю. В этом случае корень квадратный из средней мощности дает среднее квадратическое (или действующее) значение сигнала, которое называется также и стандартным отклонением сигнала:

.

Для периодических сигналов усреднение производится делением энергии сигнала на протяженность его периода.

Пример.

Вычислить среднюю мощность и действующее значение синусоидального колебания .

Средняя мощность сигнала

Таким образом, мощность или дисперсия синусоидального колебания равна половине квадрата амплитуды. Стандартное отклонение сигнала или его действующее значение равно корню квадратному из дисперсии, то есть 0.707e.

2.3 Элементарные сигналы

К этой категории будем относить сигналы, отличающиеся наибольшей простотой описания и генерирования техническими средствами. В тоже время эти сигналы являются основой для получения более сложных сигналов.

1. Функция единичного скачка, функция включения или функция Хэвисайда, введенная английским физиком Оливером Хэвисайдом, равна нулю при отрицательных значениях аргумента, единице при положительных значениях аргумента и ½ при нулевом значении аргумента:

Функция скачка наиболее просто реализуется с помощью технических средств, она просто-напросто описывает факт быстрого включения устройства без учета его динамических свойств. Придание ей значения ½ в момент времени  необходимо для того, чтобы ее можно было получить предельным переходом из некоторых простых дифференцируемых функций, например как:

.

Графически функция включения  при  и ее эволюция из функции  при уменьшении параметра w от 0.01 до 0.001 представлена на рис. 2.3.

При умножении функции единичного скачка на любой другой сигнал получается функция включения этого сигнала в момент времени  (рис.2.4).

Функцию включения удобно использовать для формирования последовательностей прямоугольных импульсов различной амплитуды и длительности. Так на рис. 2.5 показана процедура формирования двух импульсов протяженностью в 2 с и 1 с, имеющих амплитуды 1 В и 1.4 В соответственно.

2. Дельта-импульс Дирака (функция Дирака) определяется как бесконечно узкий и бесконечно высокий импульс, появляющийся в момент равенства нулю своего аргумента, причем площадь под этим импульсом равна единице (рис.2.6):

Бесконечные пределы интегрирования можно заменить конечными пределами, между которыми находится момент времени :

Одно из основных свойств дельта - импульса Дирака описывается соотношением

,

которое характеризует выборочное, фильтрующее или стробирующее свойство дельта - функции, которое очень точно охарактеризовал О. Хэвисайд: «Функция δ(t) определяет отдельное значение произвольной функции в силу своей импульсивности».

Из того факта, что площадь под графиком дельта - функции равна единице, следует, что размерность дельта - функции является обратной по отношению к размерности аргумента. Поэтому дельта-функция времени имеет размерность , то есть размерность частоты. В дальнейшем нам будут встречаться и дельта – функции частоты, которые имеют размерность, обратную размерности частоты, то есть размерность времени.

Дельта-функция не может быть реализована точно техническими средствами уже хотя бы потому, что для этого требуется бесконечно большая мощность

для любого T, охватывающего точку . Следовательно, и дисперсия дельта - функции бесконечно велика.

Формально дельта - функцию можно определить как производную от функции включения Хэвисайда:

 ,

но только нужно помнить, что обе эти функции не являются классическими функциями математического анализа. Это так называемые обобщенные функции, которые рассматриваются в специальных разделах математики.

3. Гармоническое колебание. Это – наиболее распространенная форма сигнала в информационно-измерительной технике. Гармоническое колебание является единственной непрерывной функцией, бесконечно повторяющейся в процессе своего развития во времени.

Гармоническое колебание записывается в одной из трех форм: синусно-косинусной, вещественной и комплексной.

а) Синусно-косинусная форма представления – это представление гармонического колебания y(t) в виде суммы двух квадратурных составляющих  с различными амплитудами, но одинаковыми частотами ω, одна из которых записывается в виде косинусоиды, а другая – в виде синусоиды (рис. 2.7).

Результатом такого сложения является гармоническое колебание (чистая гармоника) с начальной фазой, зависящей от соотношения амплитуд квадратурных составляющих.

б) В вещественной форме гармоническое колебание записывается в виде:

,

где     - амплитуда колебания,

                            ω – круговая частота [рад∙с^-1],

                            f  – линейная частота[Гц, с^-1],

          – начальная фаза колебаний.

в) Наиболее распространенной в теории преобразований измерительных сигналов является экспоненциальная форма представления гармонического колебания, которая вытекает из известных формул Леонарда Эйлера:

где  - мнимая единица.

С помощью формул Эйлера выражение для гармонического колебания в вещественной форме приводится к следующему виду:

.

На рис. 2.8 в комплексной плоскости, образованной осью действительных чисел Re и осью мнимых чисел Im, изображены два вектора

 и

,

которые в нулевой момент времени t=0 занимают положения

 и

соответственно, и вращаются с угловой скоростью ω в противоположных направлениях, первый вектор против часовой стрелки, а второй – по часовой стрелке. В каждый момент времени половина суммы этих двух векторов оказывается чисто действительной, то есть располагается вдоль действительной оси Re, и равной , что и иллюстрирует выше приведенное равенство.

Таким образом, гармоническому колебанию с угловой частотой ω и начальной фазой φ соответствуют две комплексные экспоненты с начальными фазами φ и –φ, которые вращаются вокруг нулевой точки комплексной плоскости с угловыми скоростями ω и –ω. Так вводится понятие отрицательной частоты.

2.4 Периодические сигналы

Периодическими называются сигналы, бесконечно повторяющиеся по своей форме, то есть отвечающие условию:

,

где T – период повторения сигнала (основной период),

       - любое целое число.

Уже из этого определения видно, что периодические сигналы весьма похожи на гармонические сигналы, хотя бы тем, что они бесконечно повторяются во времени. Поэтому при анализе периодических сигналов их удобно представлять в виде суммы чистых гармоник или комплексных экспонент с частотами, образующими арифметическую прогрессию:

.

Такое представление периодических сигналов впервые предложил и обосновал французский математик Жан – Батист - Жозеф, барон де Фурье, между прочим, член Петербургской Академии наук. Разложение периодического сигнала в ряд Фурье возможно при соблюдении ряда условий (условия Дирихле):

- число разрывов сигнала первого рода (скачков) должно быть конечным,

- не должно быть разрывов второго рода (уходящих в бесконечности ветвей),

- должно быть конечным число экстремумов сигнала (максимумов и минимумов).

Ряд Фурье можно использовать и для представления в виде суммы гармонических колебаний любого финитного сигнала, то есть сигнала конечной длительности Т. За пределами интервала времени [0; T] финитный сигнал равен нулю, хотя его представление в виде ряда Фурье означает его периодическое продолжение за границы этого интервала.

Так же как и простое гармоническое колебание, периодический сигнал, отвечающий условиям Дирихле, может быть представлен в одной из трех форм.

а). Синусно-косинусное представление периодического сигнала x(t) с периодом  и основной частотой  имеет вид:

.

Колебания с кратными частотами  называются высшими гармониками. Колебание с частотой  является k-ой гармоникой. Коэффициенты ряда определяются по формулам:

,

которые позволяют вычислить амплитуды квадратурных составляющих каждой  гармоники.

Константа  рассчитывается по обычной для коэффициента  формуле, которая при k=0 значительно упрощается:

.

Таким образом, член ряда  - это просто среднее значение сигнала за период.

Если x(t) – четная функция, то все коэффициенты  обращаются в нуль и в выражении для ряда Фурье присутствуют только косинусные слагаемые. Если же x(t) – нечетная функция, то все коэффициенты , в том числе и , равны нулю и ряд Фурье содержит только синусные слагаемые.

Пример.

Последовательность прямоугольных импульсов (видеоимпульсов) x(t), изображенная на рис. 2.9, является четной последовательностью и поэтому ряд Фурье для неё содержит только косинусные члены:

В полученном выражении

          - амплитуда импульсов,

   - период их следования,

 - основная частота (соответствует амплитуде первой гармоники),

τ – длительность импульсов.

Здесь нам впервые встречается интересная функция .

График этой функции изображен на рис. 2.10. В дальнейшем нам придется очень часто использовать эту функцию, которая представляет собой затухающую синусоиду, амплитуда которой уменьшается во времени по гиперболическому закону. В нуле эта функция обращается в единицу, поскольку:

.

Ряд Фурье для последовательности прямоугольных импульсов приобретает теперь следующий вид:

.

Отношение периода следования импульсов к их длительности называется скважностью импульсов . С учетом скважности выражение для ряда Фурье последовательности прямоугольных импульсов приобретает законченный вид:

.

При q=2 последовательность прямоугольных импульсов превращается в меандр. При этом ширина импульсов равна половине периода их следования.

На рис. 2.11 построены графики, иллюстрирующие представление исходной последовательности прямоугольных импульсов при Т = 0,01 с, τ = 0,008 с и = 1В в виде ряда Фурье при использовании К = 1, 3, 5, 7, 9 и 15 гармоник. На приведенных рисунках хорошо видно, как с ростом числа членов разложения последовательности в ряд Фурье получаемая конечная сумма всё более приближается к исходной последовательности.

б) Вещественное представление ряда Фурье получается путем записи отдельных гармоник в вещественной форме:

,

где          - амплитуда k-той гармоники,

     - фаза k-той гармоники.

Такая форма записи предпочтительнее предыдущей, поскольку под знаком суммирования остается только один член разложения.

Совокупность амплитуд гармонических составляющих  периодического сигнала образует его амплитудный спектр, а совокупность фаз  – фазовый спектр сигнала.

В рассмотренном ранее примере последовательность прямоугольных импульсов содержала только косинусные члены, поэтому ее представление в виде

является, по сути, вещественным представлением. Амплитудный и фазовый спектры этой последовательности (рис. 2.9) определяются совокупностью амплитуд и фаз отдельных гармонических составляющих:

- амплитудный спектр

,

- фазовый спектр

.

Спектры сигнала  в виде последовательности видеоимпульсов c параметрами  представлены на рис. 2.12, причем ось абсцисс проградуирована в номерах гармоник. Гармоники с номерами, кратными скважности импульсов q (если q – целое), имеют нулевую амплитуду, амплитудный спектр обращается в нуль.

Амплитудный спектр имеет ярко выраженный лепестковый характер. Для таких спектров в качестве ширины спектра (эффективная ширина спектра) принимают обычно ширину первого лепестка, равную скважности импульсов. На рис. 2.12 эффективная ширина спектра равна 11 гармоникам.

Поскольку расстояние между линиями спектра в единицах частоты равно  Гц, то эффективная ширина спектра последовательности прямоугольных импульсов с такой частотой составляет 1100 Гц =1.1 кГц. Отсюда вытекает одна общая закономерность, справедливая для последовательности импульсов любой формы: чем короче импульсы по сравнению с шириной их следования, тем протяженнее амплитудный спектр этой последовательности.

в) Комплексное представление ряда Фурье имеет наибольшее распространение в теории и практике преобразования сигналов. Оно получается из вещественного представления заменой косинуса через комплексные экспоненты в соответствии с формулами Эйлера:

Будем рассматривать экспоненты со знаком минус в показателе в качестве членов ряда с отрицательными номерами k. Свободный член ряда – это член с номером k=0. Теперь ряд Фурье можно записать в более компактной форме – комплексной форме представления:

.

Коэффициенты этого ряда  являются комплексными величинами. Они связаны с амплитудами  и фазами  отдельных гармоник, фигурирующих в вещественном представлении ряда Фурье, следующими соотношениями:

.

Не более сложно найти и соотношения с коэффициентами синусно-косинусного представления ряда Фурье:

.

Совокупность комплексных амплитуд  образует комплексный спектр периодического сигнала x(t), который содержит в себе и амплитудный, и фазовый спектры. Взаимно однозначное соответствие между периодическим сигналом x(t)  и его комплексным спектром выражается формулами соответствия:

Если функция x(t) является четной, то амплитуды  будут чисто вещественными, в случае нечетности x(t) они будут чисто мнимыми. Если сигнал x(t) вещественный, то амплитудный, фазовый и комплексный спектры обладают следующими свойствами симметрии:

,

то есть спектральные амплитуды  и  являются комплексно сопряженными выражениями. Поэтому  и, следовательно

.

При работе в среде Mat Cad для представления периодического сигнала в виде конечного ряда Фурье лучше пользоваться развернутым выражением:

.

Пример.

В результате однополупериодного выпрямления синусоидально изменяющегося напряжения частотой 50 Гц получается периодический сигнал с периодом следования импульсов T=0.02 с, построение которого представлено на рис. 2-13.

Комплексный спектр сигнала  разбивается на два спектра: - амплитудный спектр  и фазовый спектр . Оба эти спектра изображены на рис. 2.13 и 2.14 в функции номеров гармоник. Фазовый спектр в этом примере представлен в радианах.

Амплитудный спектр ясно показывает, что наибольшую роль в формировании исходного сигнала играют только первые две гармоники, так что сигнал состоит практически из двух синусоидальных колебаний с частотами 100 Гц и 200 Гц и постоянной составляющей, равной среднему значению сигнала. Более высокие гармоники имеют лишь незначительные амплитуды и могут только в малом изменить форму сигнала.

Действительно, как видно по рис. 2.15, где представлена сумма, с учетом фазовых соотношений, только среднего значения сигнала (нулевая гармоника), первой и второй гармоник, полученный в таком виде сигнал мало отличается от исходного сигнала, представленного на рис. 2.13.

Поскольку периодический сигнал представляется рядом Фурье в виде суммы гармонических колебаний, то и его мощность должна равняться сумме мощностей гармоник, равных половинам квадратов соответствующих амплитуд. Это соотношение известно как теорема де Парсеваля для периодических сигналов:

.

Данное равенство означает, что мощность периодического сигнала равна сумме квадратов модулей комплексных амплитуд его разложения в ряд Фурье.

Если в выражении для ряда Фурье мы ограничиваемся суммой конечного числа K членов разложения, то мы получаем сигнал , несколько отличный от исходного сигнала x(t). Меру приближения исходного сигнала x(t) конечной суммой  можно характеризовать средней квадратической погрешностью, равной корню квадратному из дисперсии, то есть мощности неучтенных гармоник:

.

Интересно то, что с ростом числа K членов разложения средняя квадратическая погрешность воспроизведения исходного сигнала конечным рядом Фурье всегда только уменьшается.

Нотная запись музыкальных произведений – это запись мгновенных амплитудных спектров звуковых колебаний, разделенных паузами между нотами. Соотношение между нотами и соответствующими им частотами чистых гармоник имеет следующий вид

Однако каждая нота, взятая на соответствующем музыкальном инструменте, создает звук, амплитудный спектр которого, кроме основной частоты (смотри рисунок), содержит и ряд других частот. Совокупность этих дополнительных частот (спектр) характеризуется тембром данного музыкального инструмента, отличным от любого другого инструмента. Взятие аккорда приводит к еще большему усложнению спектра, соответствующему содержанию аккорда. При игре оркестра амплитудные спектры различных музыкальных инструментов накладываются друг на друга, образуя то, что мы называем исполнением музыкального произведения.

Картину постоянной смены спектра прослушиваемого музыкального фрагмента можно наблюдать и на экране проигрывателя Windows Media при выборе частотной диаграммы. Каждая, вновь взятая комбинация нот приводит к изменению структуры спектра и мощности звучания, что наглядно отображается частотной диаграммой.

2.5 Абсолютно интегрируемые сигналы. Преобразование Фурье.

К классу абсолютно интегрируемых сигналов относятся сигналы непрерывного времени, отвечающие условию

 или хотя бы ,

то есть сигналы с конечной энергией. Если эти сигналы еще и отвечают условиям Дирихле, то к ним можно применить преобразование Фурье, являющееся расширением понятие ряда Фурье на случай непериодических сигналов. Соотношение между представлением периодического сигнала в форме ряда Фурье и представлением непрерывного сигнала в форме преобразования Фурье хорошо видно из следующей таблички:

В качестве наглядного объяснения перехода от ряда Фурье к преобразованию Фурье обычно используют следующую, математически весьма вольную трактовку.

Спектральные линии комплексного спектра периодического сигнала с основным периодом T находятся на расстоянии  друг от друга. Непериодический сигнал с конечной энергией можно представить себе как результат увеличения до бесконечности периода следования импульсов периодического сигнала. Тогда произведения  можно рассматривать в качестве непрерывно изменяющейся частоты, приращение частоты  заменить дифференциалом частоты , а сумму в бесконечных пределах превратить в интеграл в тех же пределах. Комплексные амплитуды периодического сигнала по мере увеличения до бесконечности периода  стремятся к нулю, поэтому приходится вводить в рассмотрение величины

,

которые, опять же при , стремятся к некоторым конечным значениям, зависящим от частоты ω.

Эти значения и образуют выражение для прямого преобразования Фурье, которое позволяет получить образ Фурье непериодического сигнала x(t) с конечной энергией, или спектральную функцию сигнала:

В выражении для самого ряда Фурье сумма естественным образом заменяется интегралом и перед ним появляется множитель:

.

Эта формула определяет обратное преобразование Фурье, которое восстанавливает сигнал (оригинал сигнала) по его образу.

Если перейти от угловой частоты ω, измеряемой в , к частоте , измеряемой в , то выражения для преобразования Фурье становятся совершенно симметричными:

Пара преобразований  образует взаимно однозначное соответствие между сигналом, как функцией времени, и сигналом, как функцией частоты. Это два равноправных представления одного и того же сигнала. Временное представление кажется нам более привычным, но это не означает, что оно является единственно верным. Следует научиться тому, чтобы с одинаковым успехом пользоваться как временным, так и частотным представлением сигнала, как оригиналом сигнала, так и его образом.

Спектральная функция X(ω) сигнала x(t) является комплексной функцией частоты, то есть содержит в себе действительную и мнимую составляющие, каждая из которых представляет собой некоторую функцию частоты:

.

Модуль спектральной функции

образует амплитудный спектр, правильнее – спектральную плотность сигнала, а ее фазовая составляющая

называется фазовым спектром сигнала. Теперь спектральную функцию можно записать в виде:

.

Для действительных сигналов амплитудный спектр является четной, а фазовый спектр – нечетной функцией частоты:

.

Если, кроме того, сигнал – четная функция времени, то его спектральная функция – действительная функция частоты, если же сигнал – нечетная функция времени, то его спектральная функция – чисто мнимая.

Теперь рассмотрим несколько примеров.

1. Исследуемый сигнал – это прямоугольный импульс, центрированный относительно нулевого момента времени. Построение импульса и спектральной плотности амплитуд импульса выполнено в MathCad и листинг представлен на рис 2.16. Импульс расположен симметрично относительно начала координат, поэтому спектральная функция является действительной функцией частоты (мнимая часть отсутствует).

Амплитудный спектр имеет тот же лепестковый характер, как и спектр последовательности прямоугольных импульсов. Спектр обращается в нуль на частотах, определяемых шириной  импульса . Поэтому ширина первого лепестка составляет

. Начальное значение амплитудного спектра равно площади импульса. Поскольку импульс расположен симметрично относительно нулевого момента времени, спектральная функция не содержит мнимой части и поэтому фазовый спектр обращается в нуль.

Если импульс сдвинуть по оси времени на половину ширины импульса, то амплитудный спектр не изменится, поскольку он определяется только формой импульса. Однако фазовый спектр изменяется (рис. 2.17), получая сдвиг, пропорциональный частоте. На рисунке скачки фазы на 2π помещены только для того, чтобы не увеличивать масштаб рисунка. На самом деле фаза непрерывно изменяется от  до .

Более наглядным является представление Фурье - образа на комплексной плоскости. Для каждого значения частоты определим действительную  и мнимую  части спектральной функции. По оси абсцисс на комплексной плоскости (рис. 2.18) отложим значение , а по оси ординат – значение . В результате образуется точка с координатами [; ]. Соединив полученные точки плавной кривой, мы получим годограф вектора X(ω) на комплексной плоскости. Каждой точке годографа соответствует свое значение частоты. Длина вектора, проведенного в эту точку из начала координат, равна соответствующему значению спектральной плотности амплитуд , а угол между положительным направлением оси абсцисс и этим вектором равен соответствующему значению фазового спектра.

На рис. 2.18 нулевой частоте соответствует точка, расположенная на действительной оси с координатой 0.02. Движение вдоль нижней ветви кривой соответствует увеличению частоты от нуля до 750  с шагом 15  (отдельные точки на кривой). Верхняя ветвь отображает движение годографа при изменении частоты от 0 до –750 .

Таким образом, картина на рис. 2.18 является Фурье – образом прямоугольного импульса протяженностью 0.01 с, возникающего в нулевой момент времени.

2. Сигнал имеет форму экспоненциального импульса, возникающего в нулевой момент времени:

, t > 0

где  - начальная амплитуда импульса,

        α – коэффициент затухания.

Вычислим спектральную функцию сигнала:

.

В соответствии с известными правилами работы с комплексными числами определим теперь амплитудный и фазовый спектры сигнала:

Амплитудный и фазовый спектр экспоненциального импульса представлен на рис. 2.19. Более круто изменяющиеся кривые относятся к случаю, когда коэффициент затухания сигнала , для случая  кривые протекают более полого.

2.6 Свойства преобразования Фурье

Знание свойств, которыми обладает преобразование Фурье, позволяет более просто найти Фурье - образ сигнала по его оригиналу и найти оригинал по Фурье – образу, а иногда даже и на глазок оценить соотношение между сигналом и его спектром. Рассмотрим более внимательно наиболее значимые свойства преобразования.

а) Линейность.

Если сигнал можно представить в виде линейной комбинации нескольких других сигналов, например , где  - постоянные коэффициенты, то спектральная функция будет такой же линейной комбинацией спектральных функций исходных сигналов . Но это свойство присуще только спектральной функции, и вовсе не относится к спектральной плотности амплитуд и к фазовому спектру сигнала. При сложении сигналов их амплитудный и фазовый спектры не складываются, но спектры суммы получаются более сложным образом.

б) Задержка сигнала во времени

Задержка сигнала во времени может носить естественный характер, связанный с особенностями канала передачи сигнала, либо привноситься искусственно, с помощью устройств, называемых линиями задержки.

Пусть сигнал x(t) со спектральной функцией X(ω) приходит с задержкой по времени, равной τ. Теперь сигнал имеет вид x(t-τ). Вычислим его спектральную функцию :

В результате задержки сигнала на время  его спектральная функция умножается на комплексную экспоненту , модуль которой равен единице. Поэтому амплитудный спектр сигнала не изменяется, а фазовый спектр получает дополнительный сдвиг, пропорциональный частоте, величина которого зависит от временной задержки сигнала.

в) Изменение масштаба времени (сжатие или растяжение сигнала)

Сжатие или растяжение сигнала имеет место, например, при его запоминании (запись на каком – то носителе) с последующим проигрывании с большей или меньшей скоростью. При этом сигнал x(t) со спектральной функцией X(ω) превращается в сигнал x(at). Вычислим его спектральную функцию :

.

Таким образом, если сигнал сжимается (а>1), то его спектр растягивается в область высоких частот. При растяжении сигнала его спектр сужается.

г) Дифференцирование сигнала

Пусть сигнал x(t) имеет спектральную функцию X(ω). Для определения спектральной функции производной, то есть сигнала , воспользуемся определением производной функции:

Это означает, что спектральная функция производной получается умножением спектра исходного сигнала на произведение . В результате этого при дифференцировании сигнала

- низкие частоты подавляются,

- верхние частоты усиливаются,

- все гармонические составляющие сигнала получают дополнительный фазовый сдвиг на .

д) Интегрирование сигнала

Интегрирование сигнала – это операция, в некотором смысле обратная дифференцированию. Поэтому можно было бы ожидать, что при интегрировании спектральная функция сигнала получится делением спектральной функции исходного сигнала на . Так оно и есть, но только для центрированных сигналов, сигналов, не имеющих в своем составе постоянной составляющей, сигналов, для которых выполняется условие:

.

При наличии постоянной составляющей  Фурье – образ сигнала  определится как

где  - дельта – импульс на нулевой частоте ω=0.

Итак, при интегрировании сигнала

- высокие частоты ослабляются,

- низкие частоты усиливаются,

- все гармоники получают отрицательный дополнительный сдвиг по фазе на угол .

Два рассмотренных выше свойства говорят о том, что множитель  можно называть оператором дифференцирования, а множитель  - оператором интегрирования сигнала.

е) Свертка сигналов

Сверткой x(t) сигналов y(t) и z(t) называется сигнал, который получается в результате осуществления интегрирования произведения одного из этих сигналов и сдвинутой и отраженной копии второго сигнала:

,

где через  обозначена операция свертки. Так выходной сигнал любой линейной динамической системы получается в результате свертки входного сигнала с импульсной переходной функцией этой системы.

В дальнейшем операция свертки сигналов будет встречаться очень часто, поэтому рассмотрим подробно механизм образования Фурье – образа результата свертки сигналов.

Пусть имеют место преобразования Фурье:

.

Тогда для Фурье – образа сигнала z(t) имеем:

.

Теперь изменим порядок интегрирования:

.

Внутренний интеграл представляет собой образ сигнала y(t), задержанного на время , поэтому он равен . Вынося  за границы внешнего интеграла, получаем окончательно:

                  

Следовательно, операция свертки сигналов во временной области эквивалентна операции умножения их образов в частотной области. Справедливо и обратное утверждение: свертка спектров сигналов эквивалентна перемножению самих сигналов, то есть спектральная функция результата перемножения сигналов равна свертке спектральных функций этих сигналов:

ж) Умножение сигнала на гармоническое колебание

Пусть опять сигнал x(t) имеет спектральную функцию X(ω). Образуем новый сигнал путем умножения данного сигнала на простое гармоническое колебание

и вычислим его спектральную функцию:

.

Заменим косинус по формулам Эйлера на половину суммы двух комплексных экспонент:

.

Вынося постоянные множители за знак интеграла, получим окончательно:

Спектр сигнала раздвоился, распался на две составляющие, сдвинутые на  вправо и влево от начала координат. Каждое колебание получило множитель, учитывающий начальную фазу колебания.

2.6 Фурье – анализ неинтегрируемых сигналов.

При введении понятия преобразования Фурье были оговорены условия его применимости:

- выполняются условия Дирихле,

- абсолютная интегрируемость сигнала.

Но в некоторых случаях преобразование Фурье можно применить и к некоторым сигналам, не отвечающим этим условиям, но нашедшим широкое распространение в информационно – измерительной технике.

а) Дельта – импульс Дирака .

Спектральная функция дельта – импульса по определению составляет:

.

Спектр дельта – импульса является вещественным и постоянным в бесконечной полосе частот. Здесь четко проявляется известное соотношение между шириной импульса и шириной его спектра: чем короче импульс, тем шире занимаемая им полоса частот и, наоборот, чем шире импульс, тем уже занимаемая им полоса частот. В настоящем примере проявился экстремальный случай этого положения – бесконечно короткому импульсу соответствует бесконечно широкая полоса частот.

Обратное преобразование Фурье дает интересное интегральное выражение для дельта – импульса:

Этим выражением нам придется часто пользоваться в дальнейшем.

б) Постоянный сигнал .

Исходя из дуальности преобразования Фурье, можно сразу же сказать, что спектром постоянного сигнала будет дельта – импульс в частотной области. Действительно:

.

Здесь вновь проявилось известное правило: спектр бесконечно широкого сигнала получается бесконечно узким.

в) Функция включения .

Функция включения получается путем интегрирования дельта – функции. Поэтому в соответствии с правилами получения спектра сигнала после его интегрирования спектр функции включения должен составлять:

.

Следует запомнить общее правило: наличие постоянной составляющей в исходном сигнале всегда сопровождается появлением дельта – импульса на нулевой частоте в спектре сигнала.

г) Гармонический сигнал .

Найдем спектральную функцию гармонического сигнала:

Спектр гармонического колебания – это два дельта – импульса на частотах  и . Множители перед дельта – импульсами содержат в себе сведения об амплитуде и фазе колебания, то есть об его комплексной амплитуде:

 - спектр косинусоиды вещественный и состоит из двух положительных дельта – импульсов,

 - спектр синусоиды мнимый и состоит из двух разнополярных дельта – импульсов.

Появление в спектре сигнала дельта – образного импульса на не нулевой частоте всегда свидетельствует о том, что сигнал содержит гармоническую составляющую на частоте этого импульса.

д) Комплексная экспонента .

Это – первый случай появления комплексного сигнала. Его спектр не должен обладать ни свойством четности, ни свойством нечетности. Его спектральная функция:

.

е) Периодический сигнал с периодом Т.

Такой сигнал может быть представлен рядом Фурье

.

Это – вещественный сигнал, хотя и представляет собой линейную комбинацию комплексных экспонент. Но в таком случае спектральная функция периодического сигнала должна представлять собой линейную комбинацию дельта – импульсов на частотах . Действительно

,

то есть спектральная функция периодического сигнала равна сумме дельта – импульсов на частотах, кратных основной частоте, взвешенных в соответствии со своими спектральными коэффициентами.

2.7 Быстрое преобразование Фурье

При вычислении спектральной функции в системах компьютерной математики возникают трудности, связанные с необходимостью проведения численного интегрирования в бесконечных пределах. Символьное интегрирование вообще невозможно, поскольку сигналы не задаются аналитически, а возникают в процессе измерения.

В большинстве случаев эти трудности можно преодолеть, поскольку, во-первых, сигнал существует всегда лишь на определенных интервалах времени, и, во-вторых, абсолютно интегрируемые сигналы имеют форму затухающих функций времени и, следовательно, всегда можно поставить предел времени их существования.

Поэтому будем считать, что сигнал  задан на определенном промежутке времени  и равен нулю за его пределами. Тогда спектральную функцию можно вычислить как:

.

При проведении численных вычислений сигнал следует равномерно дискретизировать, то есть взять его отсчеты через равные промежутки времени  (интервал дискретизации). Отсчеты значений сигнала обозначим как , причем ,  - число отсчетов сигнала, так что . При больших числах отсчетов единицу в этих выражениях можно убрать, и тогда получаем .

Теперь в формуле для вычисления спектральной функции можно перейти от интеграла к сумме. В результате получится некоторая оценка (приблизительное значение) спектральной функции:

.

Но значения спектральной функции можно вычислить тоже только для отдельных значений частоты. Наименьшее значение частоты определяется продолжительностью существования сигнала  и составляет , а наибольшее значение частоты зависит от интервала дискретизации - . Вот тот диапазон частот, в котором могут быть определены значения оценок спектральной функции. Промежуточные значения (отсчеты) частоты следует определять как . Поэтому в результате дискретного преобразования Фурье получаются оценки значений спектральной функции:

.

Если число требуемых отсчетов значений спектральной функции тоже равно , то для их вычисления требуется произвести  операций комплексного умножения и сложения. Это требует весьма значительных вычислительных ресурсов – возникает проблема «проклятия размерности».

Выход из такого положения был найден в 1965 году, когда Кули и Тьюки (J.W. Cooly, J.W. Tukey) опубликовали алгоритм быстрого преобразования Фурье. Последовательное проведение этого алгоритма требует всего лишь Nlog₂N операций комплексного умножения и сложения, то есть число необходимых операций уменьшается в  раз. Так при  это отношение составляет 100.343.

При реализации алгоритма быстрого преобразования Фурье (БПФ или FFT – Fast Fourier Transform) число  отсчетов сигнала должно быть равным целой степени двойки . Если этого сделать не возможно, то остающемуся числу отсчетов следует просто приписать нулевые значения. В системах компьютерной математики (MahtCad, MathLab) имеются следующие встроенные функции для проведения прямого и обратного преобразования Фурье.

►  -выполняет прямое БПФ последовательности дискретных отсчетов сигнала , образующих вектор  с числом составляющих , где  - целое число. Функция  возвращает вектор коэффициентов

,

которые соответствуют частотам

.

Вектор найденных коэффициентов  связан с вектором оценок спектральной функции  простым соотношением .

►  - выполняет обратное БПФ вектора коэффициентов  или , число компонентов которого должно составлять . В результате получается исходный вектор  отсчетов исходного сигнала:

.

►  - функции, аналогичные двум предыдущим и отличающиеся от них только нормировкой. При их использовании отпадает необходимость вводить в формулы значения .

►  - функции, аналогичные предыдущим, но используемые для БПФ исходного вектора  с комплексными компонентами.

Пример.

На рис. 2.20 представлен листинг MathCad, иллюстрирующий процедуру построения сигнала . Сигнал существует на интервале времени , однако затухает практически до нуля уже при . Поэтому для вычисления спектральной функции (рис. 2.20) можно использовать конечные пределы интегрирования. Однако даже при таких пределах процесс интегрирова
ния на компьютере длится несколько минут.

На рис. 2.21 представлен листинг MathCad для процедуры дискретизации сигнала и тот же сигнал после его дискретизации на промежутке времени  с числом отсчетов . Здесь же проводится дискретизация по частоте и выполняется прямое быстрое преобразование Фурье, в результате которого стоится дискретизированный амплитудный спектр сигнала как модуль спектральной функции.

Значения самой спектральной функции представлены вектором Х с числом комплексных компонентов, равным . Эти значения позволяют получить и фазовый спектр сигнала. Обратное БПФ дает возможность восстановить отсчеты исходного сигнала абсолютно точно.

На рис. 2.22 представлены изображения в MathCad векторов с полосами прокрутки для:

Информация в лекции "Примерная тематика контрольных работ студентов" поможет Вам.

- дискретизированных значений времени (256 компонентов с номерами от 0 до 257),

- дискретизированных значений сигнала (256 компонентов с номерами от 0 до 257),

- дискретизированных значений частоты (129 компонентов с номерами от 0 до 128),

- дискретизированных комплексных значений спектральной функции (129 компонентов с номерами от 0 до 128).

Полосы прокрутки позволяют увидеть все компоненты векторов.

Практически спектры сигналов определяются с помощью специальных электроизмерительных приборов – анализаторов спектра.