Пространства функций

3.  пространства функций [1,3,11,16,29].

            Пространства функций можно считать обобщением пространства N-мерных сигналов – векторов на аналоговые сигналы, как бесконечномерные векторы, с некоторыми чисто практическими уточнениями.

            Нормирование метрических параметров. Норма функций в пространстве L²[a, b] определяется выражением:

||s(t)|| =.

            Нетрудно заключить, что чем больше интервал [a, b] в этой формуле, тем больше (при прочих равных условиях) будет значение нормы. При анализе и сравнении сигналов (как аналоговых, так и многомерных дискретных) такое понятие не всегда удобно, и вместо него очень часто используют понятие нормы, нормированной относительно длины интервала[a, b]. Для символьного обозначения нормирования будем применять знак ^Ñ:

||s(t)||^Ñ =,    ||s_n||^Ñ =.

            Метрика сигналов (расстояние между сигналами) при аналогичном нормировании:

d^Ñ(s(t), v(t)) =,   d^Ñ(s_n, v_n) =

            Эти выражения применяются для вычисления среднеквадратического расхождения сигналов или среднеквадратической погрешности выполнения какой-либо операции при сравнении ее результата с теоретически ожидаемым или априорно известным.

Рекомендуемые материалы

            Нормированное скалярное произведение сигналов:

ás(t), v(t)ñ^Ñ = s(t)v(t) dt = ||s(t)||^Ñ ||v(t)||^Ñ cos j.

ás_n, v_nñ^Ñ =(1/N)s_n v_n = ||s_n||^Ñ ||s_n||^Ñ cos j.

            Косинус угла (коэффициент корреляции) между сигналами – функциями не изменяет своих значений при вычислении как по нормированным, так и по ненормированным значениям скалярного произведения и нормы сигналов (значения нормировки в числителе и знаменателе выражения (2.1.8) сокращаются). Взаимная перпендикулярность функций определяется аналогично взаимной перпендикулярности векторов условием нулевого значения скалярного произведения.

            Норма, метрика и скалярное произведение периодических функций обычно нормируются на длину главного периода Т.

Ортогональные сигналы. Два сигнала называются ортогональными (orthogonal), если имеют нулевое скалярное произведение:

áu(t), v(t)ñ =u(t)v(t) dt = 0.

Соответственно, два таких сигнала в своем функциональном пространстве являются взаимно перпендикулярными (угол между сигналами равен j = 90^о), полностью независимыми друг от друга (некоррелированными, r = cos j = 0), и имеют нулевую энергию взаимодействия (E_uv = 0).

На рисунке 2.3.1 приведены примеры взаимно ортогональных сигналов. Нулевое скалярное произведение двух левых сигналов обеспечивается их формой (равна нулю сумма положительных и отрицательных значений произведения сигналов), а двух правых - взаимным расположением (ненулевые значения сигналов не имеют общих координат).

Рис. 2.3.1. Ортогональные сигналы.

Попутно заметим, что энергия и мощность суммы ортогональных сигналов обладают свойством аддитивности, т.к. имеют нулевое значение скалярного произведения и, соответственно, энергии взаимодействия.

Ортонормированный базис пространства. Множество сигналов – векторов {v_k, k = 1, 2, …, N} в N-мерном декартовом пространстве при единичной норме и выполнении условий взаимной ортогональности:

áv_m, v_nñ =                                                                (2.3.1)

могут быть приняты в качестве ортонормированного базиса данного пространства. Выражение (2.3.1) обычно записывается в следующей форме:

     áv_m, v_nñ = d_mn,                                                         (2.3.1')

где d_mn – импульс Кронекера, равный правой части выражения (2.3.1).

            С использованием ортонормированного базиса любой произвольный сигнал можно представить в виде линейной комбинации взвешенных базисных векторов:

s = c₁v₁ + c₂v₂ + … + c_Nv_N,

где весовое значение с_k определяется проекцией вектора s на соответствующее координатное направление:

c_k = ás, v_kñ.

При распространении данных положений на функциональное пространство L²[a, b] в качестве координатного базиса пространства мы должны использовать совокупность функций {u₀(t), u₁(t), u₂(t), …}, в пределе - бесконечную, которая должна быть системой ортогональных функций {u_k(t), k=0, 1, 2, …}, т.е. все функции на этом отрезке должны быть взаимно ортогональны:

áu_m(t), u_n(t)ñ =u_m(t) u_n(t) dt = 0,   m = 1, 2, ... ;   n = 1, 2, ... ;  m ¹ n.

Система ортогональных функций на интервале [a, b] будет ортонормированной (orthonormal functions), если все функции системы при  m=n имеют единичную норму, т.е. выполняются условия:

áu_m(t), u_m(t)ñ = ||u_m(t)||² =(u_m(t))² dt = 1,    ||u_m(t)|| = 1,        m = 1, 2, ....

            Эти условия можно записать в следующей обобщенной форме:

u_m(t)·u_n^*(t) dt = d_m,n.

            Система ортогональных функций всегда может быть превращена в ортонормированную путем нормировки, т.е. деления всех функций на их норму.

Разложение сигнала в ряд.  Произвольный сигнал s(t) Î H (пространство Гильберта), заданный на интервале [a, b], может быть разложен в ряд по упорядоченной системе ортонормированных базисных функций u_k(t):

         s(t) =c_ku_k(t).                                      (2.3.2)

Для нахождения значений коэффициентов с_k умножим обе части данного выражения на базисную функцию u_m(t) с произвольным номером m и проинтегрируем результаты по переменной t, при этом получим:

s(t)u_m(t) dt =c_k u_mu_k dt.

            С учетом ортонормированности функций u_i(t), в правой части этого равенства остается только один член суммы с номером m = k при u_ku_k dt =1, который, по левой части уравнения, представляет собой скалярное произведение сигнала и соответствующего m = k базисного вектора, т.е. проекцию сигнала на соответствующее базисное направление:

      c_k =s(t)u_k(t) dt.                                      (2.3.2)

            Таким образом, в геометрической интерпретации коэффициенты с_k представляют собой проекции вектор - сигнала s(t) на соответствующие базисные направления u_k(t), т.е. координаты вектора s(t) по координатному базису, образованному системой ортогональных функций u(t), в пределе - бесконечномерной. При практическом использовании количество членов ряда (2.3.2) ограничивается определенным значением N, при этом для любого значения N совокупность коэффициентов c_k обеспечивают наименьшее по средней квадратической погрешности приближение к заданному сигналу.

            Соответственно, энергия взаимодействия двух сигналов x(t) и y(t) может вычисляться по скалярному произведению их координатных проекций, которое, с учетом взаимной ортогональности всех проекций, будет равно:

áx(t), y(t)ñ =x(t)y(t) dt =[a_nu_n(t)] [b_mu_m(t)] dt =a_n×b_n.      (2.3.3)

            Косинус угла между векторами x(t) и y(t) с использованием выражения (2.3.3):

cos j =a_n×b_n /(||x(t)||×||y(t)||).

Возможность разложения непрерывных сигналов и функций в обобщенные ряды по системам ортогональных функций имеет огромное принципиальное значение, так как позволяет вместо изучения несчетного множества точек сигнала ограничиться счетной системой коэффициентов ряда.

К системам базисных функций, которые используются при разложении сигналов, предъявляют следующие основные требования:

            - для любого сигнала ряды разложения должны сходиться;

            - при ограничении ряда по уровню остаточной погрешности расхождения с заданным сигналом количество членов ряда должно быть минимальным;

            - функции должны иметь достаточно простую аналитическую форму;

            - коэффициенты разложения должны вычисляться относительно просто.

            Согласно теореме Дирехле, любой сигнал s(t), имеющий конечное число точек нарушения непрерывности первого рода и конечный по энергии на интервале [a, b], может быть разложен по системе ортонормальных функций, если существуют интегралы модуля сигнала и модуля его первой производной, т.е.:

|s(t)| dt < ¥,    |s'(t)| dt < ¥ .

Ортонормированные системы функций хорошо известны в математике. Это полиномы Эрмита, Лежандра, Чебышева, функции Бесселя, Лагерра и целый ряд других. Выбор типа функций в качестве координатного базиса сигнального пространства, как и координатных осей для обычного трехмерного пространства (декартовы, цилиндрические, сферические и пр.), определяется удобством и простотой последующего использования при математической обработке сигналов. При спектральном анализе сигналов используются, в основном, два вида ортонормированных функций: гармонические функции и функции Уолша.

На интервале [-p, p] рассмотрим систему следующих гармонических функций:

{1, sin t, sin 2t, …, sin kt},     k = 1, 2, 3, …               (2.3.4)

            Вычислим нормированные на интервал скалярные произведения системы:

á1, sin ktñ =(1/2p)sin kt dt = (1/2kp) [cos kp - cos(-kp)] = 0,    k = 1, 2, 3, …

ásin mt, sin ntñ =(1/2p)sin mt sin nt dt =(1/4p){cos (m+n)t – cos (m-n)t} dt =

=  = 0,    при m ¹ n.

            Следовательно, система (2.3.4) является системой взаимно ортогональных функций. Норма функций:

||sin kt||²=(1/2p)sin² kt dt= (1/4p)(1-cos 2kt) dt==1/2.

||sin kt|| = 1/,   k = 1, 2, 3, …

Соответственно, для превращения системы (2.3.4) в ортонормированную следует разделить все функции системы на значение нормы (рис. 2.3.2):

{1, u_k(t) =sin kt},     k = 1, 2, 3, …                       (2.3.4')

Рис. 2.3.2. Ортонормированный базис гармонических функций.

            Аналогичным образом можно убедиться в ортонормированности косинусной системы гармонических функций:

{1, u_k(t) =cos kt},     k = 1, 2, 3, …,                      (2.3.5)

и объединенной синус-косинусной системы:

{1, u_k(t) =sin kt, u_k(t) =cos kt},     k = 1, 2, 3, …       (2.3.6)

Наибольшее распространение в качестве базисных функций частотного разложения нашли комплексные экспоненциальные функции exp(pt) при p = jf (преобразование Фурье) и p =  s+jf (преобразование Лапласа), от которых с использованием формул Эйлера

exp(jwt) = cos(wt) + j sin(wt),        exp(-jwt) = cos(wt) - j sin(wt),

cos(wt) = [ехр(jwt)+exp(-jwt)]/2,      sin(wt) = [ехр(jwt)-exp(-jwt)]/2j

всегда можно перейти к синус-косинусным функциям. Термин "частотного" обязан своим происхождением независимой переменной частотного представления сигналов, которая измеряется в единицах, обратных единицам времени, т.е. в единицах частоты f = 1/|t|. Однако понятие частотного преобразования не следует связывать только с временным представлением сигналов, т.к. математический аппарат преобразования не зависит от физического смысла переменных. Так, например, при переменной "х", как единице длины, значение f будет представлять собой пространственную частоту - число периодических изменений сигнала на единице длины с размерностью 1/|х|.

Ортонормированная система функций Уолша, по существу, является предельной модификацией системы периодических функций с кратными частотами, при этом функции принимают значения только ±1. Пример четырех первых функций Уолша на интервале Т от –0,5 до 0,5 приведен на рис. 2.3.3. Ортогональность и нормированность функций следует из принципа их построения. Стандартное математическое обозначение функций Уолша:  wal(k,х), где k = 0,1,2, … – порядковый номер функции, х = t/T – безразмерная координата (нормированная на интервал Т независимая переменная).

Наряду с функциями Уолша применяются также две связанные с ними системы: четные и нечетные функции cal(n,х) = wal(2n,х),  – аналогичные косинусам, и sal(n,х) = wal (2n-1,х), – аналогичные синусам.

Рис. 2.3.3. Функции Уолша.

При разложении сигналов форма спектров Уолша практически тождественна спектрам гармонических функций.

Разложение энергии сигнала. Допустим, что сигнал s(t) разложен в обобщенный ряд Фурье (2.3.2). Вычислим энергию сигнала непосредственной подстановкой выражения (2.3.2) в выражение (2.2.2):

E_s =s²(t) dt =c_mc_nu_mu_n dt =c_mc_n u_mu_n dt.                (2.3.7)

В этом выражении в силу ортонормированности базисной системы отличны от нуля только члены с номерами m = n. Отсюда:

E_s =s²(t) dt =c_n²,                                     (2.3.8)

т.е. при корректном разложении сигнала в обобщенный ряд Фурье энергия сигнала не изменяется, и равна сумме энергии всех составляющих ряда. Это соотношение называют равенством Парсеваля.

4.  Функции  корреляции  сигналов [1, 25, 29].

Функции корреляции сигналов применяются для интегральных количественных оценок формы сигналов и степени их сходства друг с другом.

Автокорреляционные функции (АКФ) сигналов (correlation function, CF). Применительно к детерминированным сигналам с конечной энергией АКФ является количественной интегральной характеристикой формы сигнала, и представляет собой интеграл от произведения двух копий сигнала s(t), сдвинутых относительно друг друга на время t:

B_s(t) = s(t) s(t+t) dt.                                    (2.4.1)

            Как следует из этого выражения, АКФ является скалярным произведением сигнала и его копии в функциональной зависимости от переменной величины значения сдвига t. Соответственно, АКФ имеет физическую размерность энергии, а при t = 0 значение АКФ непосредственно равно энергии сигнала и является максимально возможным (косинус угла взаимодействия сигнала с самим собой равен 1):

B_s(0) =s(t)² dt = E_s.

Функция АКФ является непрерывной и четной. В последнем нетрудно убедиться заменой переменной t = t-t в выражении (2.4.1):

B_s(t) =s(t) s(t-t) dt =s(t-t) s(t) dt = B_s(-t).

            С учетом четности, графическое представление АКФ обычно производится только для положительных значений t. Знак +t в выражении (2.4.1) означает, что при увеличении значений t от нуля копия сигнала s(t+t) сдвигается влево по оси t. На практике сигналы обычно также задаются на интервале положительных значений аргументов от 0-Т, что дает возможность продления интервала нулевыми значениями, если это необходимо для математических операций. В этих границах вычислений более удобным является сдвиг копии сигнала влево по оси аргументов, т.е. применение в выражении (2.4.1) функции s(t-t):

B_s(t) = s(t) s(t-t) dt.                                   (2.4.1')

По мере увеличения значения величины сдвига t для финитных сигналов временное перекрытие сигнала с его копией уменьшается, а, соответственно, косинус угла взаимодействия и скалярное произведение в целом стремятся к нулю:

 = 0.

Пример.   На интервале (0,Т) задан прямоугольный импульс с амплитудным значением, равным А. Вычислить автокорреляционную функцию импульса.

При сдвиге копии импульса по оси t вправо, при 0≤t≤T сигналы перекрываются на интервале от t до Т. Скалярное произведение:

B_s(t) =A² dt = A²(T-t).

При сдвиге копии импульса влево, при -T≤t<0 сигналы перекрываются на интервале от 0 до Т-t. Скалярное произведение:   

B_s(t) = A² dt = A²(T+t).

            При |t| > T сигнал и его копия не имеют точек пересечения и скалярное произведение сигналов равно нулю (сигнал и его сдвинутая копия становятся ортогональными).

            Обобщая вычисления, можем записать:

B_s(t) =.

            В случае периодических сигналов АКФ вычисляется по одному периоду Т, с усреднением скалярного произведения и его сдвинутой копии в пределах этого периода:

B_s(t) = (1/Т)s(t) s(t-t) dt.

            При t=0 значение АКФ в этом случае равно не энергии, а средней мощности сигналов в пределах интервала Т.  АКФ периодических сигналов при этом также является периодической функцией с тем же периодом Т.  Так, для сигнала s(t) = A cos(w₀t+j₀) при T=2p/w₀ имеем:

B_s(t) = A cos(w₀t+j₀) A cos(w₀(t-t)+j₀) = (A²/2) cos(w₀t).

            Отметим, что полученный результат не зависит от начальной фазы гармонического сигнала, что характерно для любых периодических сигналов и является одним из свойств КФ.

            Для сигналов, заданных на определенном интервале [a, b], вычисление АКФ также производится с нормировкой на длину интервала [a, b]:

B_s(t) =s(t) s(t+t) dt.                               (2.4.2)

            В пределе, для непериодических сигналов с измерением АКФ на интервале Т:

      B_s(t) =.                            (2.4.2')

            Автокорреляция сигнала может оцениваться и коэффициентом автокорреляции, вычисление которого производится по формуле (по центрированным сигналам):

 r_s(t) = cos j(t) = ás(t), s(t+t)ñ /||s(t)||².

            Взаимная корреляционная функция (ВКФ) сигналов (cross-correlation function, CCF) показывает степень сходства сдвинутых экземпляров двух разных сигналов и их взаимное расположение по координате (независимой переменной), для чего используется та же формула (2.4.1), что и для АКФ, но под интегралом стоит произведение двух разных сигналов, один из которых сдвинут на время t:

B₁₂(t) = s₁(t) s₂(t+t) dt.                              (2.4.3)

При замене переменной t = t-t в формуле (2.4.3), получаем:

B₁₂(t) =s₁(t-t) s₂(t) dt = s₂(t) s₁(t-t) dt = B₂₁(-t)

Отсюда следует, что для ВКФ не выполняется условие четности, а значения ВКФ не обязаны иметь максимум при t = 0. Это можно наглядно видеть на рис. 2.4.1, где заданы два одинаковых сигнала с центрами на точках 0.5 и 1.5. Вычисление по формуле (2.4.3) с постепенным увеличением значений t означает последовательные сдвиги сигнала s2(t) влево по оси времени (для каждого значения s1(t) для подынтегрального умножения берутся значения s2(t+t)).

При t=0 сигналы ортогональны и значение B₁₂(t)=0. Максимум В₁₂(t) будет наблюдаться при сдвиге сигнала s2(t) влево на значение t=1, при котором происходит полное совмещение сигналов s1(t) и s2(t+t). При вычислении значений B₂₁(-t) аналогичный процесс выполняется последовательным сдвигом сигнала s1(t) вправо по временной оси с постепенным увеличением отрицательных значений t, а соответственно значения B₂₁(-t) являются зеркальным (относительно оси t=0) отображением значений B₁₂(t), и наоборот. На рис. 2.4.2 это можно видеть наглядно.

Таким образом, для вычисления полной формы ВКФ числовая ось t должна включать отрицательные значения, а изменение знака t в формуле  (2.4.3) равносильно перестановке сигналов.

            Для периодических сигналов понятие ВКФ обычно не применяется, за исключением сигналов с одинаковым периодом, например, сигналов входа и выхода систем при изучении характеристик систем.

            Коэффициент взаимной корреляции двух сигналов вычисляется по формуле (по центрированным сигналам):

        r_sv(t) = cos j(t) = ás(t), v(t+t)ñ /||s(t)|| ||v(t)||.                 (2.4.4)

            Значение коэффициента взаимной корреляции может изменяться от -1 до 1.

1. математическое описание шумов и помех [1, 30].

Шумы и помехи (noise). При детектировании сигналов в сумме с основным информационным сигналом одновременно регистрируются и мешающие сигналы - шумы и помехи самой различной природы. К помехам относят также искажения информационных сигналов при влиянии различных дестабилизирующих факторов на процессы измерений, как, например, влияние микрокаверн в стенках скважины на измерения в рентгенорадиометрических методах каротажа, грозовых разрядов на электроразведочные методы измерений и т.п. Выделение информационных составляющих из зарегистрированных сигналов или максимальное подавление шумов и помех в информационном сигнале при сохранении его полезных составляющих является одной из основных задач первичной обработки сигналов (результатов наблюдений).

Если помехи известны и регулярны, как например, фон переменного тока, то борьба с ними особых затруднений не представляет. Наибольшие трудности представляет борьба со случайными (непредсказуемыми) помехами. В общей форме влияние помех на регистрируемый сигнал записывается в следующем виде:

y(t) = V(s(t), q(t)),                                             (2.5.1)

где s(t) – информационная (полезная) часть сигнала, q(t) – помеха.

            Помеха называется аддитивной, и обычно именуется шумом, если выражение (2.5.1) представляет собой простую сумму сигнала и помехи:

y(t) = s(t) + q(t).                                               (2.5.2)

            Если случайный процесс v(t), оказывающий влияние на сигнал, является неотрицательным, а его влияние выражается в форме:

y(t) = v(t)·s(t),                                                 (2.5.3)

то помеху v(t) называют мультипликативной.

В общем случае в сигнале могут присутствовать оба вида помех:

y(t) = v(t) s(t) + q(t).                                             (2.5.4)

            Природа помех. Как правило, случайные шумовые помехи (аддитивные) порождаются различного рода физическими флюктуациями – случайными отклонениями тех или иных физических величин от своих средних значений. Природа флюктуаций обычно определяется статистической природой физических процессов. Многие физические величины представляют собой результаты усреднения определенных параметров физических процессов, дискретных и случайных по своей природе. Так, например, тепловой шум регистрируемого напряжения на резисторах электрических цепей обуславливается флюктуациями теплового движения носителей зарядов - случайностью процесса дрейфа отдельных электронов по резистору, по суммарной интенсивности движения которых и формируется падение напряжения на резисторе. Дискретной является природа электромагнитных видов излучения – дискретный квант энергии излучения (фотон) определен значением hn, где h – постоянная Планка, n - частота. Флюктуации физических величин, дискретных и случайных по своей природе, принципиально неустранимы, и речь может идти только о том, чтобы уменьшать их относительную величину имеющимися в нашем распоряжении средствами.

            Природа мультипликативных помех обычно связана с изменениями условий измерений, параметров каналов передачи данных и систем их обработки, т.е. когда случайные помехи накладываются не на сам сигнал непосредственно, а на системы, в которых этот сигнал формируется и обращается, вызывая опосредствованные искажения сигнала, как линейные, так и нелинейные.

            Характеристики помех. В математическом описании помехи представляются случайными функциями времени. Случайную функцию непрерывного времени обычно называют случайным процессом, ее дискретный аналог – случайной последовательностью. Как правило, помехи относятся к классу стационарных случайных процессов, и характеризуются своими распределениями и моментами распределений, как их числовыми параметрами. Основное распределение большинства шумовых сигналов – нормальное (гауссов процесс). Это объясняется тем, что распределение сумм независимых случайных величин, из которых складываются случайные помехи, сходится к нормальному, вне зависимости от характера распределения слагаемых (теорема Ляпунова).

            Момент первого порядка выражает среднее значение (постоянную составляющую) случайного процесса. Теоретическое значение и оценка момента (по интервалу [a, b]):

M{q} =  =q·p(q) dq.                                         (2.5.5)

где p(q) – плотность вероятностей значений q.

Центральный момент второго порядка определяет дисперсию процесса:

D{q} = s² =(q-)²·p(q) dq = - ².       (2.5.6)

            Дисперсия выражает мощность переменной составляющей процесса. Корень квадратный из значения дисперсии, т.е. значение s, является средним квадратическим значением разброса случайных значений q относительно среднего значения .

            Смешанный момент второго порядка называется функцией автокорреляции случайного процесса q(t):

M{q(t)q(t+t)} =x₁x₂·p(x₁,x₂) dx₁ dx₂ = B(t).                 (2.5.7)

            Величина B(t) при t = 0 равна общей мощности случайного процесса q(t).

            На практике большинство случайных процессов обладают свойством эргодичности. Оно заключается в том, что средние значения по множеству реализаций (математические ожидания, вычисляемые по плотностям распределений (2.5.5-7)) совпадают со средними значениями по времени Т одной реализации процесса при Т Þ ¥. Это позволяет производить оценку числовых значений параметров помех непосредственно по произвольным интервалам [a, b] задания сигналов:

=  » q(t) dt.                             (2.5.8)

s²= (q(t)-)² dt » (q(t)-)² dt.                   (2.5.9)

B(t) = q(t)q(t+t) dt » q(t)q(t+t) dt.               (2.5.10)

            Спектральная плотность мощности случайного процесса (распределение мощности помех и шумов по частоте) связано с функцией автокорреляции преобразованием Фурье. В одностороннем (физическом) представлении спектра:

B(f) = 4B(t) cos 2pft dt.                                 (2.5.11)

B(t) =B(f) cos 2pft dt.                                    (2.5.12)

            Аддитивную помеху с равномерным спектром

B(f) = B₀ = const

называют белым шумом. Мощность белого шума в полосе частот 0-F пропорциональна ширине полосы:

W_F =B(f) df = B_oF.

            При белом шуме полоса частот всегда полагается конечной, т.к. в противном случае мы получим бесконечную мощность шумов.

            Сигнал с аддитивной помехой обычно характеризуют не абсолютной мощностью помехи, а отношением средних мощностей сигнала и помехи, которое кратко называют отношением сигнал/помеха:

r = W_c/W_q.

            Значения случайных процессов являются некоррелированными только при неограниченной полосе частот. Любое ограничение частотной полосы вносит определенную корреляцию в процесс и независимыми друг от друга можно считать только значения процесса, отстоящие друг от друга как минимум на интервал корреляции t_o:

t_o = (2/W_F)B(t) dt = 1/2F.

литература

1. Баскаков С.И.  Радиотехнические цепи и сигналы: Учебник для вузов. - М.: Высшая школа, 1988.

Вам также может быть полезна лекция "23 Факторы питания как пример биотических факторов".

3. Васильев Д.В. Радиотехнические цепи и сигналы: Учебное пособие для вузов. - М.: Радио и связь, 1982. - 528 с.

11. Зиновьев А.Л., Филиппов Л.И. Введение в теорию сигналов и цепей: Учебное пособие для вузов. - М.: Высшая школа, 1975. - 264 с.

16. Макс Ж.  Методы и техника обработки сигналов при физических измерениях: В 2-х томах.- М.: Мир, 1983.

                25. Сергиенко А.Б. Цифровая обработка сигналов. / Учебник для вузов. – СПб.: Питер, 203. – 608 с.

29.  Сато Ю. Обработка сигналов. Первое знакомство. – Изд.: ДОДЭКА, 2002.

30. Харкевич А.А. Борьба с помехами. – М.: Наука, 1965.