Свойства передаточной функции
Лекция № 6
Свойства передаточной функции.
Поскольку передаточная функция получается в результате решения алгебраических уравнений для операторной схемы, то она представляет из себя дробно-рациональную функцию:
Поскольку 
это означает, что корни знаменателя – это корни характеристического уравнения. Значения p, при которых передаточная функция = 0, называются нулями функции: 
Значения передаточной функции, при котором она превращается в ∞, называются полюсами: 
Нули функции – корни числителя, полюса – корни знаменателя. Если m > n, то кроме корней знаменателя есть полюс бесконечности.
Если m < n – то в ∞ числителя 0.
Коэффициенты числителя и знаменателя состоят из элементов схемы R, L, C и параметров управляемых источников, т.е. являются действительными числами. Отсюда вывод: нули и полюса либо действительные числа, либо, если они комплексные, то они комплексно сопряжённые. Поскольку полюса являются корнями характеристического уравнения, то корни знаменателя, если действительные, то отрицательные; если комплексные, то имеют отрицательную действительную часть. Из этого следует, что все коэффициенты знаменателя имеют один и тот же знак.
Приведём 
к следующему виду:
Рекомендуемые материалы
Представление передаточной функции с помощью нулей и полюсов более информативно. И обычно пользуются этим представлением.
Иногда говорят, что полюса лежат в левой плоскости (к ней относится и мнимая ось)
Х – полюса
Нули могут быть как в левой, так и в правой полуплоскости Если нули находятся только в левой полуплоскости, то такая цепь называется минимально-фазовой.
Если хотя бы один из нулей находится в правой полуплоскости, то такая цепь называется неминимально-фазовой.
Получение частотных характеристик по расположению нулей и полюсов на комплексной плоскости.
Для того, чтобы получить значения АЧХ и ФЧХ для заданной частоты, нужно из всех нулей и полюсов провести вектора в эту частоту, найти 
и 
Пр.:
|
|
|
|
|
|
|
| 0 | 0 | 2 | 3,2 | 3,2 | 0 |
| 2 | 2 | 2,8 | 1,4 | 5,1 | 1,6 |
| 3 | 3 | 3,6 | 1 | 6,1 | 3,5 |
| 4 | 4 | 4,5 | 1,4 | 7 | 3,8 |
| ∞ | ∞ | ∞ | ∞ | ∞ | 2 |
|
|
|
|
|
|
|
| 0 | 90° | 0 | -70° | 70° | 90° |
| 2 | 90 | 45 | -45 | 78 | 102 |
| 3 | 90 | 55 | 0 | 80 | 65 |
| 4 | 90 | 62 | 45 | 81 | 26 |
| ∞ | 90 | 90 | 90 | 90 | 0 |
Задача (может быть при защите к.р.)
Чем ближе полюс к оси, тем больше добротность. Вводят понятие полюсная добротность: 
Если 
Пусть мы имеем следующее расположение нулей и полюсов:
- частотная характеристика для магнитофона.
Связь между АЧХ и ФЧХ.
Для минимально-фазовой цепи существует связь между АЧХ и ФЧХ, для неминимально-фазовой не существует.
Каждая может соответствовать бесконечное число возможных ФЧХ.
Рассмотрим минимально-фазовую цепь:
можно изменить, если переместить нули и полюса. Но при таком перемещении автоматически перемещаются углы.
Можно добавить нули и полюса, но и слагаемые в фазовой характеристике тоже прибавляются. Т.е. нельзя изменить АЧХ без изменения ФЧХ.
Рассмотрим неминимально-фазовую цепь:
Добавим дополнительный ноль и полюс:
Тогда:
не изменится
Ещё посмотрите лекцию "2 Двигательные нарушения" по этой теме.
- изменится
Есть цепи, которые имеют только нули и полюса симметричные относительно мнимой оси:
Такие схемы называются фазовые корректоры
Например, задано 
Получение: 
