Основные структуры математических моделей рабочих процессов поршневого компрессора

§ 2.3. Основные структуры математических моделей рабочих процессов поршневого компрессора

Изменение параметров газа в контрольных объемах компрессо­ра (см. рис. 9.1 и 9.2) принято описывать с разной степенью при­ближения тремя способами: 1) используя уравнение политропного процесса; 2) применяя систему уравнений (уравнения сохранения энергии и массы, а также уравнение состояния газа) для сосредо­точенных параметров; 3) используя систему уравнений газодина­мики для движения газа внутри контрольного объема, т.е. рас­сматривая контрольный объем как систему с распределенными параметрами.

Модели в зависимости от способа описания различаются своей математической структурой.

Использование уравнения политропного процесса. В схематизациях III (см. рис. 9.4, 6}, IV (см. рис. 9.4, в), V (см. рис. 9.4, г) и VI (см. рис. 9.4, д) предполагается, что процессы сжатия и расшире­ния можно описать политропами с постоянными показателями. Ранее в §3.4 было показано, что при конструкторских (проект­ных) расчетах, когда необходимо определить индикаторную мощ­ность, действительные процессы сжатия и обратного расширения могут быть заменены эквивалентными политропными процессами с постоянными показателями п_с и п_р и даны рекомендации по вы­бору значений этих показателей.

Замену действительных процессов сжатия и обратного расши­рения условными эквивалентными (или конечных параметров) процессами применяют также в схематизации VII (см. рис. 9.4, е) в тех случаях, когда математическую модель используют для изуче­ния работы клапанов (потерь энергии в клапанах, динамики дви­жения пластин и т. д.) и когда к точности моделирования процес­сов сжатия и обратного расширения в цилиндре компрессора не предъявляют высоких требований. В таких случаях моделирование изменения давления в рабочей полости цилиндра в процессах сжатия и обратного расширения необходимо для определения моментов открытия нагнетательных и всасывающих клапанов, т. е. для определения начальных условий при моделировании ди­намики движения пластин клапанов.

Ранее в § 3.3 мы выяснили, что показатели политропы действи­тельных процессов сжатия и обратного расширения (из-за влия­ния тепловой инерции стенок цилиндра на теплообмен между стенками рабочей полости и газом) будут непостоянными. В ре­альном компрессоре на зависимости даатения от объема рабочей полости сказываются и другие факторы (изменение массы газа за счет утечек и протечек через неплотности, подвод теплоты к газу, выделяемой при трении в уплотнении поршня, изменение энер­гии газа за счет протечек и т. д). Поэтому иногда бывает необходи­мо учесть влияние этих факторов на значение постоянного пока­зателя политропных процессов сжатия и обратного расширения.

238

Условный показатель политропы сжатия, связывающий объем и давление газа в цилиндре с учетом неплотностей,

Рекомендуемые материалы

где Т₂` —температура, измеренная в нагнетательном патрубке; T₁ — температура в начале процесса; c— отношение массы газа в конце процесса к массе в начале процесса; р₁ и р₂ — давление в начале и конце процесса.

Следует помнить, что показатель политропы п, вычисляемый по уравнению (9.1), не может быть использован для определения температур через объемы газа.

Для процессов с переменной массой рабочего тела можно ввести понятие вариатропного процесса, т.е. процесса с переменным пока­зателем политропы. По аналогии с политрогтньш процессом для вариатропного процесса можно записать dT/T + (n'—1)(dV/V  - dM/M) = 0 и dT/T + (п'+1)(dT/T- dp/p) = 0 (где n'-показатель вариатропы, переменный в процессе). Из этих уравнений можно найти средний показатель вариатропы за процесс:

Существуют и другие подходы к учету неплотностей при опре­делении условного постоянного показателя политроп сжатия и обратного расширения [9].

Модели объектов с сосредоточенными параметрами. Наиболее часто используют математические модели, в которых предполага­ется, что параметры состояния газа изменяются одинаково во всем контрольном объеме. В этом случае можно рассматривать измене­ние параметров газа в любой точке контрольного объема незави­симо от координат этой точки, а контрольный объем можно рас­сматривать как систему с сосредоточенными параметрами.

Для описания изменения параметров газа в таких контрольных объемах служит система из трех основных уравнений: уравнения сохранения энергии в контрольном объеме, уравнения сохране­ния массы в этом объеме и в качестве замыкающего — уравнения состояния газа. Таким образом, для каждого контрольного объема при трех неизвестных (р, Т и т) имеем три уравнения. Подробнее об этих уравнениях см. § 9.4. Иногда при моделировании процес­сов всасывания в цилиндр добавляют к системе четвертое уравне­ние — уравнение смешения для определения температуры газа в цилиндре, если она значительно отличается от температуры вса­сываемого газа.

Математическое моделирование рабочих процессов в компрес­соре как в объекте с сосредоточенными параметрами позволяет изучать влияние на эти процессы множества геометрических и термодинамических факторов (размеры, быстроходность, интен­сивность теплообмена, неплотности рабочих полостей и т. д.) и оптимизировать их выбор. Накоплено достаточное количество ин­формации для разработки таких моделей, а отсутствующая инфор­мация может быть получена в случае необходимости из дополни­тельного эксперимента. Математические модели, разработанные на этом принципе, основаны на проверенных физических законо­мерностях, относительно просты, их реализация не требует боль­шой специальной математической подготовки и возможна на со­временных ЭВМ, широко применяемых в инженерных расчетах; результаты моделирования дают хорошую сходимость с экспери­ментом. Такие модели пригодны для решения многих задач иссле­дования и оптимизации поршневых компрессоров. Поэтому в последующих параграфах настоящего пособия рассматриваются основные положения разработки моделей этого типа.

Модели объектов с распределенными параметрами. В отличие от объекта с сосредоточенными параметрами в объекте с распреде­ленными параметрами состояние элемента зависит от его про­странственных координат, т. е. от местоположения в контрольном объеме. В применении к цилиндровой полости компрессора это означает, что основные параметры газа (р, Т) в разных точках кон­трольного объема (цилиндра) имеют в один и тот же момент вре­мени разные значения. Применительно к нагнетательному трубо­проводу, в который периодически нагнетается газ из цилиндра, это означает, что необходимо учитывать распространение импуль­са давления вдоль по трубе, т. е. параметры газа в каждый момент времени вдоль по трубе будут неодинаковы. Естественно, что в первом случае (рабочая полость цилиндра) задача определения па­раметров газа (р, Т) должна в принципе решаться в трехмерной постановке, а во втором (трубопровод) — можно решать одномер­ную задачу, т. е. когда в каждой точке давление и температура газа переменны во времени и когда в каждый момент времени эти па­раметры газа переменны вдоль по трубе. Из сказанного очевидно, что моделирование систем с распределенными параметрами мно­го сложнее моделирования систем с сосредоточенными парамет­рами.

Рассмотрим наиболее простую одномерную задачу — задачу описания изменения параметров газа в трубопроводе компрессо­ра. Параметры газа в каждой точке трубопровода зависят от дви­жения волн давления с конечной амплитудой с учетом их распро­странения.

Вам также может быть полезна лекция "7 Управляемый преобразователь".

Из газовой динамики известно, что для решения такой задачи необходимы уравнения: движения, неразрывности и энергии, ко­торые можно записать в виде

где w —скорость потока; t — время; х — текущая координата (вдоль трубы); r— плотность газа; р — давление; l_ТР — коэффициент трения; d—диаметр трубы; f_tp — площадь поперечного сечения трубы; s —удельная энтропия газа в точке; T—температура газа; a_Q — коэффициент теплоотдачи; F_ОХ — удельная площадь поверхности охлаждения; Т_СТ — температура стенки трубы; g— ускорение свобод­ного падения.

Систему уравнений (9.3) следует дополнить четвертым уравне­нием — уравнением состояния, так как к трем неизвестным пара­метрам газа р, Т и r в этом случае добавляется еще одна независи­мая переменная — х.

Решение системы уравнений (9.3) совместно с уравнением со­стояния весьма трудоемко, может быть осуществлено лишь при­ближенными методами и предполагает значение граничных усло­вий, определение которых представляет большие трудности.

Из-за сложности вычислительной работы и трудностей опреде­ления граничных условий моделирование рабочих процессов в компрессорах как системах с распределенными параметрами пока не нашло широкого применения в инженерной практике.