Понятие математической модели
§1.1. Понятие математической модели
Модель. Термины «модель», «моделирование», «математическая модель» и «математическое моделирование» используют очень часто, но при этом в них вкладывают различные понятия.
В применении к поршневым компрессорам наиболее подходящим является определение, предложенное В. А. Штоффом: «Под моделью понимается такая мысленно представляемая или материально реализованная система, которая, отображая и воспроизводя объект исследования, способна заменить его так, что ее изучение дает нам новую информацию об этом объекте»*.
Виды моделей. Все модели могут быть разделены на несколько видов (рис. 8.1). Прежде всего различают модели материальные и мысленные.
Материальные модели — реально существующие предметы, изготовленные из реальных материалов. Они представляют собой вещественное воспроизведение исследуемого объекта.
Первый вид материальных моделей —геометрически подобные модели. Примером таких моделей может служить макет поршневого компрессора, выполняемый в уменьшенном масштабе для того, чтобы правильно расположить в пространстве воздушные и водяные коммуникации (трубопроводы, вентили, задвижки и т.д.), вспомогательное оборудование (межступенчатые охладители, влагомаслоотделители, буферные емкости и т. д.).
Второй вид материальных моделей —физически подобные м о д е л и. Их создают в целях воспроизведения исследуемых процессов, изучения динамики процессов, различного вида связей, закономерностей и зависимостей. Так, для изучения обтекания автомобиля исследование проводят в аэродинамической трубе, подвергая продувке модель этого автомобиля, выполненную в определенном масштабе. В этом случае самым важным является физическое подобие процессов обтекания модели и натурного образца.
Третий вид материальных моделей — математически подобные модели. Примером таких моделей могут служить аналоговые модели, построенные на основе электрогидравлической аналогии и электроакустической аналогии*. Так как движение пульсирующего потока газа в трубопроводах поршневых компрессоров и колебательный процесс, сопровождающий протекание электрического тока в линии, описываются одинаковыми дифференциальными уравнениями, то сложные процессы, протекающие при транспортировании газов по трубопроводам, достаточно просто воспроизводятся на электрической модели.
Рекомендуемые материалы
Мысленные модели не являются реально существующими предметами; они ни вещественно, ни материально не воспроизводят исследуемый объект. Они существуют в уме исследователя в виде каких-то мысленно представляемых образов, на бумаге в виде формул, знаков, графиков, схем и т. д. Можно выделить два основных вида мысленных моделей — образные и знаковые — и один вид — производный из основных (образно-знаковый).
Образные (иногда их называют иконическими) модели построены из чувственно-наглядных элементов (упругие шары, рычаги, потоки идеальной жидкости, вихри, движение тел по определенной траектории и т.д.). Примером такого вида моделей может служить часто используемая в физике мысленная модель идеального газа, когда молекулы газа представляют в виде упругих шаров. Для образных моделей важно определенное сходство с реальным исследуемым объектом.
Знаковые модели отличаются полным отсутствием сходства между их элементами и соответствующими элементами исследуемой системы или объекта. Вспомните решение задачи о встрече двух поездов: «Из города А в город В вышел поезд ...». Эту задачу можно изобразить на бумаге в виде точек А и Б и линии между ними. У точек А и Б, конечно, нет никакого сходства с городами, а прямая линия, изображающая путь из города в город, не имеет никакого сходства с реальной железной дорогой.
Математическая модель. Одним из подвидов знаковых мысленных моделей являются математические модели. При расчетах и исследованиях поршневых компрессоров разрабатывают математические модели процессов, протекающих в рабочих полостях и рабочих органах. Процесс есть последовательная во времени смена состояний системы (например, в термодинамическом процессе — последовательная смена состояний газа). В каждый момент времени система может быть описана набором чисел Z1 Z2, Z3,..., Zn-1 ,Zn. При этом считается, что этот набор чисел достаточно полно отображает все основные свойства системы в данный момент времени. Так, состояние газа в рабочей полости цилиндра компрессора может быть описано набором из трех чисел (численные значения давления, температуры и удельного объема). Однако в течение процесса числа Zi изменяются во времени t, т. е. Z1t =f1(t), Z2t =f2(t)…; есть характеристики состояния системы во времени. Запись Zit =f (t) следует понимать просто как зависимость Zit, от времени, а не как выражение Zit в виде явной функции от t. Для газа в рабочей полости цилиндра в соответствии с этим имеем р=f(t), T=f(t), и v =f(t).
После введения понятия характеристики состояния системы во времени можно сформулировать определение термина «математическая модель» следующим образом: математическая модель процесса есть совокупность соотношений, связывающих характеристики состояний системы с параметрами системы, исходной информацией, начальными и граничными условиями при наличии ограничений, накладываемых на функционирование системы; причем эта совокупность соотношений образует математический объект, находящийся в определенном соответствии с реальной системой и способный заменить эту реальную систему, с тем чтобы изучение его давало новую информацию о процессах, протекающих в реальной системе, или о всей реальной системе в целом. Сказанное, однако, не означает, что математическая модель обязательно состоит из соотношений, выражающих характеристики состояния процесса как явные функции параметров, начальных условий и исходной информации. В общем случае этого может и не быть. Сущность математической модели заключается в том, что при совместном рассмотрении всех составляющих ее соотношений все характеристики состояний системы должны однозначно определяться через названные выше параметры, начальные и граничные условия, исходную информацию.
Приведенное определение математической модели на первый взгляд кажется сложным и недостаточно ясным, так как оно дано в терминах, редко применяемых в традиционных расчетных методиках. В настоящем учебном пособии уже использовались простые математические модели рабочих процессов, протекающих в рабочих полостях поршневого компрессора. Для уяснения смысла данного выше определения понятия математического моделирования рассмотрим это определение в приложении к одной из уже известных нам математических моделей.
Пояснение определения понятия математической модели. Определение понятия «математическая модель» становится более понятным, если для одной из уже известных простых математических моделей ответить на следующие вопросы: Что является характеристиками состояния системы? Что является параметрами системы? Что является исходной информацией? Что является начальными условиями и откуда они получены? Что является граничными условиями? Какие уравнения образуют совокупность соотношений между характеристиками состояния системы и перечисленными элементами математической модели? Как мы заменяли действительный процесс математической моделью и какую информацию мы получили?
Ответим на эти вопросы применительно к уже использованной нами в § 6.4 простой математической модели для определения потерь давления при всасывании газа в рабочую полость цилиндра через клапан.
При решении этой задачи нас интересовала одна характеристика системы — потеря давления при течении газа во время процесса всасывания DPвс = рвс — р, где р — текущее давление газа в рабочей полости цилиндра в процессе всасывания. Далее эта характеристика состояния системы используется во всех соотношениях в виде безразмерной величины — относительной потери давления Хвс [см. уравнение (6.21)].
В лекции "62 Договор мены" также много полезной информации.
Параметрами системы являлись: площадь поршня FП ,радиус кривошипа r, отношение lR = r/LШ, относительная величина мертвого объема ам, площадь прохода в щели клапана fщ, давление всасывания Рвс, угловая скорость вращения коленчатого вала w, показатель адиабаты газа k, газовая постоянная R.
К исходной информации в рассматриваемой математической
модели следует отнести данные, заимствованные из эксперимента: коэффициент расхода aщ; коэффициент С в уравнении (6.5), из которого было получено уравнение (6.31), использованное в модели; показатель политропы процесса обратного расширения mр, необходимый нам для нахождения начальных условий по уравнению (6.51), которые определяют пределы интегрирования при определении безразмерной потери энергии iвс по уравнению (6.53). Начальное условие: SВС находится по уравнению (6.51); начальное cвс определяется по уравнению (6.34) при SВС.
При определении cвс = f (j) предполагалось, что нет теплообмена между стенками каналов клапана и протекающим газом и что процесс обратного расширения протекает по политропе с показателем nр. В этих допущениях скрыты граничные условия. При отсутствии этих допущений граничные условия необходимо было бы задавать в явном виде, так как тогда следовало бы определять характеристики теплообмена между газом и стенками рабочей полости цилиндра (см. § 2.4). Расчет теплообмена между газом и стенками рабочей полости цилиндра возможен только в случае задания граничных условий в виде поля температур стенок рабочей полости цилиндра.
В рассматриваемом конкретном случае совокупность соотношений между характеристикой состояния системы cвс, параметрами системы и исходной информацией может быть выражена одним уравнением (6.33) или (6.34). Эти уравнения представляют собой запись зависимости cвс от j в неявном виде.
В § 6.7 потери мощности во всасывающих клапанах действительного компрессора определяют следующим образом. Действительный процесс всасывания заменяют математической моделью, воспользовавшись которой, по уравнению (6.53) получают безразмерную потерю энергии в клапане iвс. Далее осуществляют переход от результата, полученного на математической модели, т. е. от iвс к потере мощности в клапанах действительного компрессора, используя зависимость (6.58). Таким образом, используя математическую модель процесса вместо действительного процесса, получили информацию о потере мощности в процессе всасывания для действительного компрессора.
