Свойства матрицы проводимости

     Лекция 9

     Свойства матрицы проводимости:

     1. При отсутствии в сети трансформаторов с комплексными коэффициен-тами трансформации, матрица является симметричной, то есть выполняется принцип взаимности   Y_ij = Y_ji ;

     2. Матрица является слабозаполненной, так как содержит большое коли-чество нулевых элементов. Причина - если узлы не связаны между собой, то их взаимная проводимость равна нулю (y_ij = 0), а в реальных сетях каждый узел связан с небольшим числом узлов;

         Свойства 1 и 2 используются для компактного хранения матрицы проводимостей в памяти ЭВМ ( хранятся только ненулевые элементы). Коли-чество собственных проводимостей равно количеству узлов в сети, количество взаимных проводимостей равно числу ветвей ( с учетом симметричности мат-рицы).

          3. Матрица проводимостей неособенная, то есть её определитель , следовательно она имеет обратную матрицу.

Пример: Составить матрицу проводимостей для схемы

      Собственные проводимости узлов схемы:

      В памяти ЭВМ запоминается верхняя половина матрицы (её ненулевые элементы).

      Система уравнений (4) – это система уравнений узловых напряжений в форме баланса токов и содержит n уравнений относительно n напряжений в узлах. В таком виде она не может дать искомое решение для всех комплекс-ных напряжений, так как:

       1. Если  является решением ( i= 1 … n ) системы уравнений, то  тоже является решением, так как это соответствует пово-роту всех векторов напряжения на угол . Множитель  входит во все решения и может быть сокращен. Задавая разные значения  можем получить множество решений системы уравнений;

        2. Если в узлах не задать (не зафиксировать) ни од-ного напряжения, то можно получить решение, не имею-щее практического смысла (например, отрицательные напряжения в узлах, либо напряжения не соответствую-щие своему классу напряжений и т. д.). При этом баланс токов в узлах будет соблюдаться.

 Решение этой проблемы: в сети выбирают один (или несколько) узлов, в которых фиксируют модуль и угол напряжения. Это узлы с фиксацией векто-ра напряжения (ФВ). Такие узлы называются  базисными или опорными по напряжению = const. В сети должен быть хотя бы один такой узел. Во всех остальных узлах схемы напряжения рассчитывается относи-тельно опорного. В схеме им соответствуют, как правило шины электростан-ций или мощных подстанций. Как правило опорный узел по напряжению сов-падает с балансирующим по мощности. Для упрощения расчетов часто задают .

  Выделение в схеме сети опорных узлов с ФВ (которые совпадают с ба-лансирующими) приводит к необходимости  исключения из системы (4) урав-нений, соответствующих этим узлам (т.к. уменьшается число неизвестных нап-ряжений).

Пример:

                                                    Запишем для схемы систему уравнений вида (4):

Система уравнений в матричной форме:

      В качестве спорного узла выберем узел 4. Напряжение  в нём задано.  Нужно исключить уравнение, соответствующее данному узлу 4, т.е. четвёртую строку в матрице и в вектор - столбцах.  В матрице выделим столбец и строку, соответствующие опорному узлу – номер 4.

      В  матрице и векторах выделяются блоки и субвектора:

      Y_iОП – вектор – столбец взаимных проводимостей между узлами сети и опорным узлом;

      Y_ОПj – вектор – строка взаимных проводимостей между опорным узлом и другими узлами сети;

       Y – неполная матрица проводимостей, получаемая из полной удалением строк и столбцов соответствующих опорным узлам;

       Y_ОПОП – собственная проводимость опорного узла;

        - заданные напряжения в опорных узлах и токи в них;

        - вектор искомых напряжений в узлах сети;

         - вектор заданных токов в узлах сети.

  С учётом этого в блочной форме система уравнений может быть записана:

                  .

Удаляем элементы (блоки), соответствующие уравнениям опорных узлов - Y_ОПj, Y_ОПОП, I_ОП.  Тогда по правилам умножения блочных матриц получаем:

                                             .

Переносим известные величины в правую часть:

                                            .     

Это система уравнений установившегося режима в матричной форме.

Это уравнения в виде баланса токов.

В результате преобразований можно получить другой вид этой системы урав-нений:

                                              .      

    При задании в узлах сети нелинейных источников тока  (генераторы  или нагрузки с постоянной мощностью), установившийся режим описывается нели-нейными  уравнениями:

   Эти уравнения – нелинейные уравнения установившегося режима в форме баланса тока. При задании в узлах нелинейных источников тока  установив-шийся режим сети можно описать, также, нелинейными уравнениями в форме баланса мощности.

В лекции "11.3. Движение жидкости в безнапорных трубопроводах" также много полезной информации.

В результате преобразований уравнения баланса мощности в матричной форме будут иметь вид:

     Здесь  - диагональная матрица, на главной диагонали которой  рас-

                            положены  сопряженные комплексы напряжений.