Способы расчета безусловного отношения правдоподобия при наличии неизвестных параметров

3.2. Способы расчета безусловного отношения правдоподобия при наличии неизвестных параметров

В зависимости от условий задачи безусловное отношение правдоподобия может вычисляться различными способами.

Если неизвестен вектор  параметров помехи, по этим параметрам должны усредняться функции правдоподобия, соответствующие обеим гипотезам. При этом отношение правдоподобия

.

Если неизвестен вектор  параметров сигнала, то усреднению подлежит только числитель , однако часто бывает удобно ввести знаменатель под знак интеграла в качестве множителя, не зависящего от переменной интегрирования. При этом усредняется сразу отношение правдоподобия:

 .

Приводимые ниже примеры аналитического расчета безусловных функций правдоподобия, отношения правдоподобия и его логарифма для некоторых моделей априорной неопределенности иллюстрируют, как меняется структура решающей статистики в зависимости от объема наших знаний относительно параметров сигнала.

Рекомендуемые материалы

3.2.1. Сигнал с постоянной амплитудой и постоянной неизвестной фазой.

В качестве исходной примем рассмотренную в разделе 2 модель сигнала с точно известной амплитудой и начальной фазой.

Первая “ступень” неопределенности – сигнал с известной амплитудой, фаза  которого априори неизвестна, но остается постоянной за все время принятия решения (сигнал такого типа относится  к классу квазидетерминированных). Соответствующая этому случаю совместная плотность распределения отсчетов амплитуды  и фазы  (3.1)  должна рассматриваться как условная при некотором значении фазы  и интегрироваться по ее априорному распределению, которое будем считать равномерным в интервале . Итак

 (3.1)

С учетом известной формулы для косинуса  разности запишем   (3.2).

Выражение ( 3.2 ) с помощью обозначений  приводим к виду

.

Соответственно, выражение ( 3.1 )  может быть записано как

           Подинтегральное выражение можно разложить в ряд по бесселевым функциям:

где  - модифицированная функия Бесселя -го порядка.

Поскольку , после интегрирования остается только первое  (содержащее ) слагаемое, следовательно

Таким образом, функция правдоподобия сигнала с неизвестной, но постоянной за время наблюдения фазой имеет вид:

 (3.3).

Функция правдоподобия , соответствующая нулевой гипотезе, от фазы сигала не зависит, поэтому (см. раздел 10)

 (3.4).

Соответственно, отношение правдоподобия  и его логарифм

 (3.5),

 (3.6),

где .

В соответствии с выражением (3.6) оптимальная обработка сигнала с неизвестной постоянной начальной фазой реализуется схемой, содержащей два квадратурных канала. Выходной эффект такой схемы не зависит от значения начальной фазы .

3.2.2 . Сигнал с постоянной амплитудой и случайной фазой.

Следующая модель соответствует сигналу с постоянной амплитудой и независимо флуктуирующей от отсчета к отсчету случайной фазой. Распределение отсчетов фазы считаем равномерным: .

Последовательность операций при выводе формулы  та же самая, что и для сигнала с постоянной фазой, разница лишь в том, что усреднение функций правдоподобия здесь производится  для каждого отсчета независимо. При этом интегрироваться должны одномерные функции правдоподобия огибающей , которые для каждого конкретного значения начальной фазы  рассматриваются как условные (напомним, что для того, чтобы получит условную плотность, необходимо совместную плотность разделить на плотность распределения условия):

 (3.7),  ( 3.8 ).

Полученное распределение огибающей  (3.7) носит название распределения Райса (иногда его называют обобщенным распределением Релея или распределением Релея-Райса). Частный случай этого распределения (3.8), соответствующий отсутствию сигнала () , называют распределением Релея.

Соответствующее плотностям ( 3.7 ) и ( 3.8 ) отношение  правдоподобия и его логарифм имеют вид:

 (3.9),

 (3.10).

Формулы (3.9), (3.10) показывают, что поскольку в рассмотренном случае закон изменения фазы не имеет регулярной  составляющей, информативной является только огибающая .

3.2.3. Сигнал со случайной амплитудой

Рассмотрим теперь сигнал, у которого случайной является не только фаза , но и амплитуда . Здесь также возможны два варианта: амплитуда может быть неизвестной, но постоянной в течение одного цикла принятия решения (“дружно” флуктуирующий сигнал) или меняться по случайному закону от отсчета к отсчету (независимо флуктуирующий сигнал). Флуктуации первого типа могут быть связаны, например, с изменением ракурса цели относительно РЛС, флуктуации второго типа – с вибрациями элементов цели, и т.п.

В случае “дружных” флуктуаций интеграл от многомерной (совместной) плотности огибающей  по распределению , как правило, в явном виде не вычисляется. Один из вариантов расчета отношения правдоподобия такого сигнала с помощью схемы обнаружения – оценивания мы рассмотрим несколько позже.

Случай независимых флуктуаций более прост для анализа, поскольку многомерная функция правдоподобия  факторизуется и усреднению подлежат одномерные функции правдоподобия огибающей . Если принять, что амплитуда  флуктуирует от отсчета к отсчету по закону Релея: , где - отношение мощностей сигнала и шума, то соответствующий интеграл выражается в явном виде:

   (3.11),

Лекция "48 Признак сравнения рядов с неотрицательными членами" также может быть Вам полезна.

 (3.12).

(функция правдоподобия  (3.12), являющаяся частным случаем (3.11) при , совпадает с (3.8).

Мы видим, что распределение отсчетов  как при наличии, так и при отсутствии сигналов является релеевским и отличается только значением энергетического параметра . Оптимальная обработка при этом сводится фактически к оценке мощности наблюдаемых отсчетов, т.е. суммированию квадратов их огибающих (так называемый энергетический приемник):

 (3.13),

 (3.14).

Таким образом, во всех рассмотренных случаях (см. формулы 3.3; 3.6; 3.10; 3.14) логарифм отношения правдоподобия  является одномерной величиной и включает в себя два слагаемых, из которых отрицательное зависит только от величины расчетного сигнала, а положительное представляет собой функцию от произведения  расчетного сигнала и наблюдаемого напряжения (в первом приближении можно считать, что это слагаемое характеризует их взаимную корреляцию). Очевидно, что в отсутствие сигнала среднее приращение решающей статистики отрицательно, поскольку положительное слагаемое мало, при наличии сигнала картина меняется на обратную.