Расчет отношения правдоподобия для простых гипотез

2.3. Расчет отношения правдоподобия для простых гипотез.

Проведем расчет отношения правдоподобия при простых гипотезах, когда соответствующие функции правдоподобия ;  не содержат неизвестных параметров. Рассмотрим случай обнаружения сигнала с известной амплитудой  и начальной фазой . (Для радиолокации этот случай является идеализированным, т.к. соответствует обнаружению цели с известной ЭПР, находящейся на известной дальности и обладающей известной радиальной скоростью. Однако такая модель сигнала наиболее наглядна, а также служит исходной для других, более сложных моделей, рассматриваемых ниже.)

           В качестве помехи, присутствующей на выходе оптимального приемника будем рассматривать узкополосный гауссовский шум, среднеквадратическое отклонение которого s также считается известным. Для удобства будем рассматривать амплитуды принятого и расчетного сигналов, нормированные относительно с.к.о.  шума: ; .

Известно, что оптимальный фильтр такого сигнала представляет собой коррелятор, на опорный вход которого подается полная (с точностью до начальной фазы ) копия ожидаемого сигнала. Напряжение на выходе коррелятора описывается совокупностью отсчетов его огибающей  и фазы  относительно  опорного гармонического колебания, синфазного с сигналом.

Соответствующие гипотезам  и  совместные плотности распределения отсчетов огибающей и фазы для выборки, содержащей пар отсчетов, можно записать в виде:

 (2.1)

                     (2.2).

Соответственно, отношение правдоподобия и его логарифм

, .

Рекомендуемые материалы

Последнее выражение определяет функциональное преобразование, которому должны подвергаться отсчеты амплитуды и фазы на выходе согласованного фильтра при расчете логарифма отношения правдоподобия выборки  ().

На практике для удобства в качестве выходного эффекта оптимального фильтра обычно рассматривают напряжение на выходе амплитудно-фазового детектора .

Очевидно, что в этом случае

.              (3.3)

Ещё посмотрите лекцию "33 Серебряный век русской культуры" по этой теме.

Рассчитаем математическое ожидание статистики (2.3), т.е. ее среднее приращение  (информацию Кульбака-Леблера), приходящееся на один отсчет .

Используя известную формулу плотности вероятности произведения двух случайных величин, нетрудно убедиться, что при наличии сигнала величина  имеет нормальное распределение:

                    (2.4)

мат. ожидание которого , а дисперсия . При нулевой гипотезе () мат. ожидание , дисперсия не меняется. Поскольку преобразование (2.3) линейно относительно  можно утверждать, что распределение решающей статистики  также нормально с параметрами:

; ;                             (2.5)

Таким образом, для полностью известного сигнала абсолютная величина информации Кульбака-Леблера при гипотезе и альтернативе одинакова и равна квадрату эффективного значения .