Средняя длительность последовательной процедуры

6.3. Средняя длительность последовательной процедуры.

Важнейшей характеристикой последовательной процедуры является ее средняя длительность (математическое ожидание числа шагов процедуры при справедливости гипотез  и ).

При однородной независимой выборке  накопленное к моменту принятия решения значение логарифма отношения правдоподобия  представляет собой сумму одинаково распределенных случайных слагаемых, число которых также случайно. Для математических ожиданий таких сумм справедливо соотношение

или 

,

где

математическое ожидание накопленной к моменту решения статистики;

математическое ожидание числа шагов, затрачиваемых на принятие решения при соответствующей гипотезе;

Рекомендуемые материалы

математическое ожидание при ращения решающей статистики на один шаг (информация Кульбака-Леблера).

В случае близких гипотез, когда перескок статистики за пороги  пренебрежимо мал, можно считать, что в момент принятия решения в пользу  справедливо равенство , соответственно, при принятии решения в пользу  справедливо . Математическое ожидание решающей статистики  при этом может быть представлено в виде суммы пороговых значений, взвешенных по вероятности их достижения:

Таким образом

 (6.4).

В случае, когда перескоком решающей статистики пренебрегать нельзя (случай средних и больших сигналов) формулы для средней длительности последовательной процедуры имеют аналогичную структуру, однако в числитель должно быть введено дополнительное слагаемое, равное математическому ожиданию “перескока”  Для некоторых моделей сигналов эта величина может быть рассчитана аналитически.

При равных вероятностях ложной тревоги  и пропуска  пороги вальдовской процедуры расположены симметрично относительно нуля; выигрыш в среднем объеме выборки, обеспечиваемый последовательным правилом по сравнению с эквивалентным по надежности правилом Неймана-Пирсона, составляет около двух раз.

В задачах радиолокационного обнаружения требования к вероятностям  и  обычно сильно различаются (), вследствие чего расположение  порогов оказывается несимметричным (). Пример: пусть , при этом значения вальдовских порогов . Формулы для мат. ожидания длительности последовательной процедуры при сильно различающихся вероятностях ошибок упрощаются:

         ;  (14.4).

Если среднее приращение решающей статистики имеет при гипотезах  и  одинаковый порядок: . (например, для полностью известного сигнала, сим. Раздел 4), можно записать

; ,

Если Вам понравилась эта лекция, то понравится и эта - 9 Растворы.

т.е.

.

Таким образом, при  средняя длительность последовательной процедуры для гипотезы  оказывается много меньше, чем для ; например, при , величина  примерно в десять раз меньше, чем .

Величину выигрыша вальдовской процедуры относительно процедуры Неймана-Пирсона при несимметричных порогах оценим на примере полностью известного сигнала. Пусть расчетное отношение сигнал/шум , соответственно , (см. формулу 2.5), тогда при : .

Длительность эквивалентной о надежности процедуры Неймана-Пирсона  (см. раздел 5), т.е. выигрыш при гипотезе  составляет около 16 раз, при альтернативе  около  1,7 раз.

Следует отметить, что объем выборки последовательной процедуры, завершающейся правильным обнаружением, примерно равен объему выборки эквивалентного по надежности обнаружителя Неймана-Пирсона, т.е. . Выигрыш во времени принятия решения в этом случае достигается за счет процедур, завершившихся пропуском, поскольку их средняя длительность .