Последовательные правила обнаружения

6.Последовательные правила обнаружения.

6.1. Общие положения. Последовательный критерий отношения правдоподобия.

Рассмотренное правило Неймана-Пирсона предполагает, что задача проверки статистических гипотез решается однократно, после получения выборки заранее заданного объёма . Как уже упоминалось, существует другой подход к решению этой задачи, при котором возможность принятия решения в пользу гипотезы  или   проверяется многократно, по мере получения каждого нового элемента выборки или группы таких элементов, т.е. процедура проверки гипотез носит последовательный характер.

"История и архивы Западной Европы раннего Нового времени" - тут тоже много полезного для Вас.

При последовательном различении статистических гипотез для каждого  шага, на котором делается попытка вынести решение, должны быть определены три области выборочных значений: область  принятия гипотезы , область  принятия гипотезы  и область неопределённости, которой соответствует решение о продолжении наблюдения, поскольку информации содержащейся в полученной выборке недостаточно для принятия решения с заданными вероятностями ошибок  и . Возможность продолжения или прекращения наблюдения в зависимости от результатов наблюдения, являющихся случайными, приводит к тому, что длительность последовательной процедуры также является случайной величиной.

Описанная общая идея последовательной проверки гипотез может быть реализована в виде различных решающих правил. Наиболее широко известно и хорошо изучено решающее правило, предложенное А.Вальдом и названное им “последовательным критерием отношения вероятностей (отношения правдоподобия)”. Это правило предписывает сравнение отношения правдоподобия , полученного на каждом  шаге, с двумя постоянными порогами  и . В зависимости  от результатов этого сравнения выносятся следующие решения:

     (6.1)

где  - решение о продолжении наблюдения.

Таким образом, в пространстве решающей статистики  область значений  соответствует гипотезе , область  - гипотезе , а область  является областью неопределенности (продолжения наблюдения).

Вальд совместно с Вольфовитцем доказал теорему, согласно которой описпнное правило является оптимальным в том смысле, что требует минимального (в среднем) объема выборки по сравнению с любым другим решающим правилом, обеспечивающим те же вероятности ложной тревоги и правильного обнаружения. При доказательстве теореме Вальда-Вольфовитца предполагалось, что различаемые гипотезы являются простыми, выборка  - однородной и независимой, “перескок” статистики за порог в момент принятия решения может считаться пренебрежимо малым. (Напомним, что однородной называется выборка, распределение которой не зависит от времени). При более широких условиях оптимальные свойства вальдовского правила могут утрачиваться, однако во многих случаях оно является квазиоптимальным. Доказано также, что с вероятностью равной единице, вальдовская последовательная процедура завершается за конечное время.