Напряжения и деформации
3 Конспект лекций
Раздел 1 Напряжения и деформации
Тема 1 Напряжения и деформации (2 часа)
План лекции
1. Современная трактовка физического и технического смысла важнейших механических свойств.
2. Напряжения.
3. Нормальные и касательные напряжения.
4. Тензор напряжений.
5. Деформация.
Рекомендуемые материалы
6. Тензор деформации.
Основные понятия
Деформация – изменение взаимного расположения частиц тела, как правило, вызывающее изменение его размеров и формы.
Упругость – свойство тел деформироваться под нагрузкой и затем, после устранения сил восстанавливать свое первоначальное состояние. Часть деформации, которая исчезает после снятия нагрузки, называется упругой, а та часть, которая остается – остаточной (пластической) деформацией.
Пластичность – свойство материалов под действием внешних нагрузок изменять, не разрушаясь, свою форму и размеры и сохранять остаточные деформации после снятия этих нагрузок.
Прочность – способность материала противостоять нагрузке, не разрушаясь.
Твердость – способность материала противостоять внедрению в него другого материала.
Жесткость – способность материала не гнуться под воздействием приложенной нагрузки.
Вязкость – свойство материалов необратимо поглощать энергию при их пластическом деформировании.
Хрупкость – способность твердых тел разрушаться при механических воздействиях без заметной пластической деформации.
Дислокации – линейные искажения типа обрыва или сдвига атомных слоев, нарушающие правильность их чередования в решетке. Бывают краевые и винтовые дислокации.
Статическая нагрузка – это однократно приложенная нагрузка, плавно и относительно медленно возрастающая от нуля до своей максимальной точки.
Динамическая нагрузка – это однократно приложенная нагрузка, действующая на материал резко, и с большой скоростью возрастающая от нуля до своей максимальной величины.
Повторно-переменная нагрузка – это нагрузка, многократно прикладываемая к материалу, причем скорости возрастания и убывания нагрузки могут быть различные.
Напряжения. Тензор напряжений
Большинство механических свойств выражается через величину напряжений.
Понятие «напряжение» введено для оценки величины нагрузки, не зависящей от размеров деформируемого тела. Напряжение является, таким образом, удельной величиной и определяется как соотношение
,
где S – напряжение на площадке F, перпендикулярной оси образца, вдоль которой действует сила Р (рисунок 1, а).
Для определения величины напряжений в каком-то сечении тела последнее рассекают на две части, затем одну часть тела мысленно отбрасывают, а ее действие на оставшуюся часть заменяют внутренними силами (рисунок 1, б).
В системе СИ напряжения выражаются в ньютонах на квадратный метр (Н/м2, МН/м2). На практике часто используют размерность напряжений кгс/мм2 (1 кгс/мм2=9,8·106 Н/м2).
В общем случае сила не перпендикулярна плоскости площадки, на которую она действует. Тогда ее можно разложить на две составляющие: нормальную (перпендикулярную к площадке), создающую нормальное напряжение, и касательную, действующую в плоскости площадки и вызывающую касательные напряжения (рисунок 1, в). В механических испытаниях определяют именно эти напряжения. Их же используют и в расчетах на прочность. Одни процессы при деформировании и разрушении определяются касательными напряжениями (пластическая деформация, срез), другие – нормальными (разрыв).
 |
а б
Рисунок 1 – Схемы к определению напряжений
Нормальные напряжения делят на растягивающие (положительные) и сжимающие (отрицательные).
При решении реальных задач необходимо иметь возможность оценить напряжения, действующие в любом сечении тела. Для этого используют представление о тензоре напряжений.
Внутри тела, находящегося под действием напряжений, всегда можно выделить бесконечно малый по размерам параллелепипед, ребра которого параллельны произвольно выбранным осям координат (рисунок 2). В общем случае на три его непараллельные грани действуют взаимно уравновешенные векторы напряжений, которые можно разложить на нормальные и касательные. В результате параллелепипед находится под действием девяти напряжений – трех нормальных (Sx, Sy, Sz) и шести касательных (txy, txz, tyx, tyz, tzy, tzx). Совокупность этих напряжений и есть тензор напряжений, который записывается в такой форме:
.
Чтобы выбранный нами параллелепипед находился в равновесии и не вращался, необходимо равенство моментов относительно координатных осей. Поэтому txy=tyx, tzy=tyz, txz=tzx (закон парности касательных напряжений). Следовательно, тензор напряжений содержит фактически не девять, а шесть независимых напряжений. С их помощью можно охарактеризовать любое сложное напряженное состояние. Тензор позволяет определять величину нормальных и касательных напряжений в любой площадке, проходящей через данную точку тела, если известны ее направляющие косинусы (косинус угла между площадкой и соответствующей осью координат) относительно выбранных осей координат.
 |
Рисунок 2 – Взаимно уравновешенные напряжения,
действующие на грани параллелепипеда
Главные площадки – площадки, на которых действуют только нормальные напряжения, касательные напряжения равны нулю.
При механических испытаниях главные направления напряжений обычно заранее известны, и их можно выбрать в качестве координатных осей. Тогда тензор напряжений упрощается и принимает вид:
,
где S1, S2, S3 – наибольшее, среднее и наименьшее главное нормальное напряжение соответственно.
При любом напряженном состоянии максимальные касательные напряжения τmax действуют на площадках, расположенных под углом 450 к главным осям, а их величина равна полуразности соответствующих главных нормальных напряжений:
.
Деформация. Тензор деформации
Под действием напряжений все материалы деформируются, то есть изменяют форму и размеры. По результатам механических испытаний оценивают различные характеристики упругой, а чаще остаточной деформации. Наиболее широко используются следующие характеристики деформации: удлинение (укорочение), сдвиг и сужение (уширение) образцов.
Увеличение длины образца в результате деформации обычно характеризуют относительным удлинением:
,
где lк – конечная длина;
l0 – начальная длина;
Δl – абсолютное удлинение (рисунок 3, а).
Величина δ является условной характеристикой, поскольку деформация с самого начала развивается на непрерывно изменяющейся длине l и отношение Δl/l0 лишено физического смысла.
Истинное относительное удлинение
.
Удлинение и укорочение образца обычно происходит под действием нормальных напряжений. Касательные напряжения вызывают сдвиговые деформации, которые оценивают по углу сдвига α (в радианах) или по величине относительного сдвига g=tgα (рисунок 3, б).
а б
Рисунок 3 – Удлинение (а) и сдвиг (б) при деформации
Относительные удлинения и сдвиги (е и g) – фундаментальные характеристики деформации, которые используются в теориях пластичности и упругости. Совокупность удлинений и сдвигов – тензор деформации – по аналогии с тензором напряжений характеризует любое деформированное состояние в данной точке и позволяет определять е в любом направлении и g в любой плоскости. В случае если три главных направления деформации (в которых сдвиги равны нулю) заранее известны и их можно совместить с осями координат, тензор деформации характеризуется совокупностью трех удлинений:
,
где е1, е2, е3 – наибольшее, среднее и наименьшее по величине удлинение соответственно.
Третьей широко используемой характеристикой деформации является относительное сужение ψ:
,
где F0 и Fк – начальная и конечная площадь поперечного сечения образца соответственно.
Между е, δ и ψ существует функциональная связь в области равномерных деформаций, то есть пока величина относительных изменений формы и размеров во всех точках рабочей части образца одинакова. Эта связь следует из условия постоянства объема при пластической деформации.
е=ln(lк/l0)=ln(F0/Fк)=ln(1/1-ψ)=ln(1+δ).
Помимо этих трех характеристик деформации, используют и другие, частные. Например, величину деформации при испытании на изгиб можно оценивать по стреле прогиба, а на кручение – по углу скручивания.
Рекомендуемая литература
1. Золотаревский В.С. Механические свойства металлов. – М.: Металлургия, 1998. – 306 с.
2. Бернштейн М.Л., Займовский В.А. Механические свойства металлов. – М.: Металлургия, 1979. – 496 с.
3. Костин П.П. Физико-механические испытания металлов, сплавов и неметаллических материалов. – М.: Машиностроение, 1990. – 296 с.
4. Шарая О.А., Куликов В.Ю., Шарый В.И. Учебное пособие по курсу Механические свойства материалов», КарГТУ, 2004.
Бесплатная лекция: "68 Смысл ментальности" также доступна.
Контрольные задания для СРС (тема 1) [1], [2], [3], [9]
1. Истинное и условное удлинение.
2. Функциональная связь между различными характеристиками деформации.
3. Схемы напряженного состояния.
4. Примеры реализации схем напряженного состояния.
5. Условия подобия механических испытаний.
