Математическая модель в виде обыкновенных дифференциальных уравнений

2.5. Математическая модель в виде обыкновенных дифференциальных уравнений

Математическая модель в виде одного или нескольких обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) широко используются при изучении переходных процессов в системах автоматического регулирования (САР), при описании баллистики летательных аппаратов, а также при описании процессов движения (потоки, частицы, механические элементы).

В простейшем случае модель может иметь вид линейного дифференциального уравнения n-го порядка:

или системы дифференциальных уравнений 1-го порядка

Часто встречаются смешанные задачи, а также нелинейные ОДУ.

Модель, заданная в виде дифференциальных уравнений, должна включать в себя необходимый набор начальных условий:

Рекомендуемые материалы

или                           x₁(0) = C₁,   x₂(0) = C₂,…,   x_n(0) = C_n .

Исследование моделей, заданных в виде обыкновенных дифференциальных уравнений, осуществляется аналитическими и численными методами. Наиболее полными являются аналитические решения, обеспечивающие всесторонний анализ полученных результатов. Но такие решения получены лишь для ограниченного числа дифференциальных уравнений. Численные методы решения позволяют найти лишь конкретные значения изучаемой функции при заданной комбинации исходных данных. Для анализа модели можно использовать некоторую совокупность решений. Однако, очевидно, что результаты анализа в этом случае могут зависеть от выбора этой совокупности.

В качестве простейшего примера математической модели механической системы может быть рассмотрена модель движения груза массой m, закрепленного на вертикальной стенке с помощью пружины жесткостью С и совершающего колебательное движение вдоль оси х в среде с вязкостью n (Рис. 2.10).

Возмущающая сила, вызывающая колебания, зависит от времени f(t). Наряду с возмущающей силой f(t) на груз действует сила инерции , сила вязкого трения , усилие пружины . Все эти силы тормозят движение груза.

Согласно принципу Даламбера сумма всех сил, действующих на груз должна равняться нулю:

.                                        (2.18)

Начальные условия характеризуют начальное положение и начальную скорость груза:

x(0) = x₀;  .                                                      (2.19)

Уравнение (2.18) совместно с начальными условиями (2.19) представляет собой математическую модель рассматриваемой механической системы.

2.6. Модели, заданные в виде уравнений в частных производных

Ряд задач, связанных с использованием физических полей, приводит к моделям в виде дифференциальных уравнений в частных производных.

Особенностью таких задач является то, что изучаемые параметры изменяются не только во времени, но и зависят от координат x, y, z рассматриваемого пространства. Такие модели называются нестационарными. Модели, в которых параметры не зависят от времени, называются стационарными.

К таким моделям сводятся описания полей температур в элементах конструкции двигателя и полей скоростей при течении жидкости (газа). Уравнениями в частных производных описываются колебания элементов конструкции и поля напряжений, возникающих при работе этих элементов.

Линейное дифференциальное уравнение в частных производных имеет вид

.

Математическая модель, описанная дифференциальными уравнениями в частных производных, должна включать в себя необходимые для решения задачи краевые условия:

1. Должна быть задана область D, ограниченная поверхностью (на плоскости – кривой) G , в которой определяется решение.

2. Должны быть заданы условия на границе G  этой области.

В случае нестационарного поля эти граничные условия, так же как и сама область могут меняться во времени.

Граничные условия могут быть 1-го, 2-го и 3-го рода:

а) Граничные условия 1-го рода предусматривают задание на границе величины искомой функции:

 – для стационарного поля;

 – для нестационарного поля.

б) Граничные условия 2-го рода – предусматривают задание производной искомой функции:

 – для стационарного поля;

 – для нестационарного поля.

в) Граничные условия 3-го рода – предусматривают комбинации функции и ее производной:

 – для стационарного поля;

 – для нестационарного поля.

3. Для нестационарных полей должны быть заданы одно или два начальных условия, характеризующих состояние поля в начальный момент времени:

  (i = 1, 2, 3).

Здесь x_i – координаты пространства.

Совокупность уравнений и краевых (и начальных) условий полностью определяет модель и позволяет провести ее исследование.

Решение часто задается в виде семейств изолиний F = const (Рис. 2.11).

В качестве примера рассмотрим хорошо изолированный металлический пруток, нагреваемый с одной стороны. С другой стороны помещен измеритель температуры (Рис. 2.12). Величина подогрева x(t) в момент времени t является входным сигналом, а измеряемая на другом конце температура y(t) – выходным сигналом.

Обозначим через x расстояние  от измерителя до точки прутка. Температура в этой точке z будет описываться функцией вида

z = z(t, x).

Уравнение теплопроводности для одномерного случая для определения функции z будет иметь вид:

,

где K – коэффициент теплопроводности.

Начальным условием в данном случае является начальное распределение температуры (при t = 0) по прутку: z(0, x) = j(x).

Граничные условия определяются двумя условиями:

а) Нагрев прутка на правом конце

.

б) На левом конце подвод тепла отсутствует

.

в) Показания на измерителе температур (x = 0) в момент времени t определяется следующим выражением

.

Таким образом, для вычисления температуры на расстоянии L от измерителя по формуле для y(t) необходимо проинтегрировать дифференциальное уравнение с учетом начальных и граничных условий, т.е. получить функцию z(t,x). Затем следует проградуировать измеритель температуры, т.е. определить соответствие между x(t) и y(t), задавая различные значения x(t) и вычисляя .

Контрольные вопросы к лекции 5

1. Где используются математические модели в виде обыкновенных дифференциальных уравнений?

2. Что должна включать в себя математическая модель в виде обыкновенных дифференциальных уравнений?

3. Какими методами осуществляется исследование моделей, заданных в виде обыкновенных дифференциальных уравнений?

4. Запишите математическую модель движения груза массой m, закрепленного на вертикальной стенке с помощью пружины жесткостью С и совершающего колебательное движение вдоль оси х в среде с вязкостью n.

5. Какой принцип используется при построении этой модели?

Кадровое, информационное, техническое и правовое обеспечение системы управления персоналом - лекция, которая пользуется популярностью у тех, кто читал эту лекцию.

6. К какому типу относится эта модель?

7. Где используются математические модели в виде дифференциальных уравнений в частных производных?

8. Что является особенностью математических моделей в виде дифференциальных уравнений в частных производных?

9. Что должна включать в себя математическая модель в виде дифференциальных уравнений в частных производных?

10. Какого типа бывают граничные условия?

11. Приведите математическую модель распределения температурного поля в металлическом прутке, нагреваемом с одной стороны.