Построение и решение оптимизационной задачи принятия решения
4.3. Построение и решение оптимизационной задачи принятия решения
(Задача о баке)
Пусть требуется выбрать геометрические размеры цилиндрического бака объемом V из условия минимального расхода материала на его изготовление.
Для построения математической модели введем в рассмотрение вектор проектных решений Х = (r, h), где 2r, h – диаметр и высота бака (Рис. 4.3).
Если предположить, что бак изготавливается сваркой из трех деталей, то расход материала при произвольном векторе решений Х будет равен площади поверхности бака:
. (4.8)
Согласно условиям задачи выражение (4.8) является целевой функцией (критерий оптимальности проектных решений).
Условие того, что бак должен иметь объем заданного значения V, представим в виде:
pr2h = V. (4.9)
На компоненты вектора решений X необходимо наложить дополнительные условия:
r > 0, h > 0. (4.10)
Рекомендуемые материалы
Выражения (4.8) – (4.10) описывают нелинейную однокритериальную модель формирования оптимальных решений, при n = 2, m = 1.
Пусть бак должен иметь минимальную трудоемкость его изготовления. Если считать трудоемкости изготовления крышки, дна и боковой стенки достаточно малыми величинами, то затраты времени на изготовление бака будут пропорциональны длине свариваемых швов:
, (4.11)
где с – затраты времени на сварку единицы длины.
Выражения (4.8), (4.11), (4.9), (4.10) описывают двухкритериальную нелинейную модель формирования оптимальных решений.
При построении математической модели в этой задаче принятия решений были использованы известные геометрические закономерности.
Используем этот метод условной оптимизации для решения однокритериальной задачи (4.11), (4.9) (без учета (4.8), (4.10)).
Функция Лагранжа имеет вид:
.
Система уравнений (4.17) относительно переменных r, h, l:
Имеем систему алгебраических уравнений, решая которую, получим значения неизвестных r, h (l находить необязательно):
; 
.
Таким образом, оптимальные размеры бака, найденные с помощью аналитического метода условной оптимизации, не зависят от затрат времени с на сварку единицы длины, но зависят от требуемого объема бака V. Требование (4.11) при этих значениях r и h выполняется, то есть трудоемкость будет минимальной.
Контрольные вопросы к лекции 11
1. Что включает в себя простейшая схема принятия решений?
2. Что такое цель?
3. Что такое критерий оптимальности?
4. Что такое однокритериальная ЗПР?
5. Что такое многокритериальная ЗПР?
6. Возможно ли получение единственного оптимального решения в многокритериальных задачах?
Выявление различий в уровне исследуемого признака - лекция, которая пользуется популярностью у тех, кто читал эту лекцию.
7. Напишите общий вид математической модели формирования оптимальных решений.
8. Сформулируйте задачу принятия решений.
9. Запишите критерий минимального расхода материала для задачи о баке.
10. Запишите критерий минимальной трудоемкости для задачи о баке.
11. Запишите общий вид функции Лагранжа.
12. Перечислите недостатки аналитического метода условной оптимизации.
