Идентификация параметров математической модели силы резания токарной операции

3.4. Идентификация параметров математической модели силы резания токарной операции

Построим математическую модель силы резания при обработке круглой детали на токарном станке (Рис. 3.6).

Сила резания Р описывается математической моделью в виде позинома

P = C S^a V^b t^g,                                                      (3.4)

где S – продольная подача; V – скорость резания; t – глубина резания; С, a, b, g – неизвестные параметры.

Формула (3.4) является справочной. Для определения неизвестных параметров воспользуемся методом наименьших квадратов.

Пусть проведено n экспериментов, результаты которых сведены в таблицу 3.2.

Таблица 3.2

Для упрощения решения поставленной задачи прологарифмируем выражение (3.4):

.

Введем обозначения  

Тогда формула (3.4) преобразуется к линейному виду:

.                                                    (3.5)

Метод наименьших квадратов сведется к минимизации функции

,

где  – логарифмы экспериментальных значений силы резания, взятых из табл. 3.2;  
 – логарифмы силы резания, предсказанные с помощью математической модели (3.5),  – логарифмы экспериментальных значений подачи, скорости и глубины резания, взятых из той же табл. (3.2),  – логарифм неизвестного параметра С.

Возьмем производные от функции G по  и приравняем их к нулю:

Разделим обе части уравнений на –2; вынесем , a, b, g  за знак суммы; перенесем члены, не зависящие от  , a, b, g,  в правую часть:

                            (3.6)

Получили систему линейных алгебраических уравнений четвертого порядка, коэффициентами которой являются суммы произведений логарифмов экспериментальных данных. Решив полученную систему, найдем искомые значения коэффициентов , a, b, g  линейной модели (3.5).

Для определения параметров исходной модели (3.4) необходимо для коэффициента С (только для него) проделать операцию, обратную логарифмированию – потенцирование: С = . Коэффициенты a, b, g  получаются непосредственно из решения системы (3.6).

Если в распоряжении исследователя имеются экспериментальные данные, для проверки адекватности математической модели действительности можно использовать методы математической статистики. Рассматриваемый ниже метод пригоден при изучении любых математических моделей. Однако конкретный анализ проводится на примере построенной  модели силы резания при точении с помощью критерия согласия c², предложенного Пирсоном.

Гипотеза Н₀ формулируется как предположение о том, что отклонение e экспериментальных данных от значений, предсказанных моделью (3.4), с вероятностью р (доверительная вероятность) укладываются в некоторый толерантный интервал ±e*. Если это предположение правильно, то в толерантный интервал (Р ± e*) должно укладываться np отклонений e_i = |Р_i – Р_mi|. Вне толерантного интервала должно оказаться (1– p)n отклонений. Для ограниченной случайной выборки из n наблюдений эти события будут наблюдаться с частотой n₁ и n₂ , лишь приближенно  совпадающие с соответствующими вероятностями:

n₁ » pn;  n₂ » (1– p)n;  n₁ + n₂  = n.

Необходимо  установить, можно ли объяснить эти отклонения случайными причинами (в этом случае можно принять гипотезу Н₀) или же они не случайны – статистически значимы (в этом случае нужно принять альтернативную гипотезу Н₁).

Для этого вычисляется некоторая величина U, называемая статистикой:

.

Эту величину нужно сравнить с пороговым значением c²-критерия (c²_1,a) при принятом уровне риска a. Если U £ c²_1,a , наблюдаемые отклонения частот от соответствующих вероятностей можно объяснить случайностью и нет оснований для отказа от нуль-гипотезы Н₀. Если U > c²_1,a , то или произошло маловероятное событие (1– р), или наблюдаемые отклонения не случайны. В этом случае принимается гипотеза Н₁.

Контрольные вопросы к лекции 9

1. Приведите общий вид математической модели силы резания при точении.

2. Как привести модель, заданную в виде позинома, к линейному виду?

В лекции "14 Искусство Северного Возрождения" также много полезной информации.

3. Каким методом найдены параметры линейной модели?

4. В чем заключается этот метод?

5. Как перейти от линейной модели к позиному?

6. Сформулируйте нуль-гипотезу проверки построенной модели на адекватность.

7. Что такое доверительная вероятность?

8. Как вычисляется статистика критерия c² и что с ней делать?