Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений

Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений

Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) встречаются при описании движения системы взаимодействующих материальных носителей (механике, химической  кинетике, электрических цепях, сопротивлении материалов и многих других явлениях жизни).Ряд важнейших задач сводится к задачам с обыкновенными дифференциальными уравнениями, а именно теория автоматического управления базируется на ОДУ, а также и другие курсы специальности АЭП

Простейшим ОДУ является уравнение 1-го порядка:

ОДУ n-го порядка имеет вид:

Однако любое уравнение n-го порядка можно свести к системе из n уравнений 1-го порядка:

                     

Рекомендуемые материалы

или

Таким образом, решение дифференциального уравнения  n-го порядка сводится к решению системы дифференциальных уравнений 1-го порядка (количество дифференциальных уравнений в системе = n).

Если ввести следующие обозначения:

                 ,

то систему дифференциальных уравнений можно переписать в векторно-матричном виде:

                                                       (1)

Известно, что система n-го порядка имеет множество решений,, которые в общем случае зависят от постоянных С, общее количество которых -n. Общее решение системы ОДУ может быть записано в виде:

       ,где       

Для определения значения этих параметров, т.е. выделения единственного решения необходимо учитывать дополнительные условия. В зависимости от выбора дополнительных условий определены следующие типы задач для обыкновенных дифференциальных уравнений:

- задача Коши;

- краевая задача;

- задача на собственные значения.

Задача Коши.

Задача Коши, или задача с начальными условиями, имеет следующие дополнительные условия:

Краевая задача.

Когда дополнительные условия заданы как в точке , так  и в точке .

Задача на собственные значения.

Если функция  зависит от параметров :

,

где     .

Число дополнительных условий должно быть соответственно. Функции где ;  удовлетворяющее всем уравнениям, называются собственными дифференциальными или собственными значениями задачи.

Методы решения ОДУ.

Обыкновенные дифференциальные уравнения могут быть решены следующими методами:

1. аналитическими;
2. численными;
3. графическими;
4. приближенными.

Аналитические методы дают решение в виде аналитического выражения.

Графические методы дают приближенное решение в виде графика.

Численные методы дают частное решение для определенных  в виде таблицы, Численные методы применяются только к корректно поставленным задачам, т.е. к таким, у которых малое изменение начальных значений, приводит к малому изменению интегральных кривых.

Пример.

Пусть дано следующее ОДУ:

.

Необходимо решить задачу Коши для .

Начальные условия имеют вид:

Общее решение имеет вид:

при            решение .

Однако при малом изменении начальных условий:

 решение в точке : . То есть имеет место плохо обусловленная задача.

Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений.

Метод Эйлера.

В основе метода Эйлера (метод ломаных) лежит идея графического построения решения дифференциальных уравнений, однако этот метод дает одновременно и способ нахождения искомой функции в численной (табличной) форме.

Пусть дано дифференциальное уравнение:

с начальными условиями:

.

Выбрав достаточно малый шаг h, строится система равноотстоящих точек .

В методе Эйлера приближенные значения вычисляются последовательно по формулам:

.

При этом искомая интегральная кривая , проходящая через точку, заменяется ломанной  с вершинами ; каждое звено  этой ломаной, называемой ломаной Эйлера, имеет направление, совпадающее с направлением той интегральной кривой уравнения , которая проходит через точку

    y

                                    

                                    

                  

                                                                                  

Пример

Пусть дано дифференциальное уравнение:

с начальными условиями:

.

Решение ОДУ имеет вид:

Особенности метода Эйлера.

Метод очень прост в реализации, но обладает малой точностью, поскольку погрешность каждого нового шага систематически возрастает. Существует модификации метода, повышающие его точность, - методы Эйлера-Коши – первая и вторая улучшенные формулы.

Первая улучшенная формула Эйлера

Пусть дано дифференциальное уравнение:

с начальными условиями:

.

Решение в каждой точке определяется по формуле:

,

где

.

Геометрически это означает, что отрезок ломанная между точками заменяется на два отрезка . Направление первого отрезка совпадает с направлением интегральной кривой в точке

, а направление второго отрезка определяется направлением, интегральной кривой в вспомогательной точке.

Пример.

Пусть дано дифференциальное уравнение:

с начальными условиями:

.

Решение ОДУ имеет вид:

Вторая улучшенная формула Эйлера

Пусть дано дифференциальное уравнение:

с начальными условиями:

.

Решение в каждой точке определяется по формуле:

,

где

Геометрически это означает, что определяется направление интегральной кривой в исходной точке  и во вспомогательной точке ,  а в качестве окончательного направления ломаной берется среднее этих направлений.

Пример.

Пусть дано дифференциальное уравнение:

с начальными условиями:

.

Решение ОДУ имеет вид:

Метод Рунге-Кутта.

Метод Эйлера относится к семейству методов Рунге-Кутта.

Метод Рунге-Кутта -го порядка имеет вид:

,

где при фиксированных значениях некоторых параметров:

 

последовательно вычисляются:

Наибольшее применение на практике получил метод Руте-Кутта 4-го порядка:

,

где

Метод  Рунге-Кутта имеет ряд важнейших достоинств:

1) высокая точность

2) явная схема вычислений  за определенное количество шагов и по определенным формулам.

3) возможен переменный шаг, т.е. можно сменить шаг, где функция быстро меняется.

4)  легко оформляется.

Пусть дано дифференциальное уравнение:

с начальными условиями:

.

Решение ОДУ имеет вид: