Интерполяция функций.

Первый этап работы любого вычисления - числа, приближения, погрешность.

Второй этап работы - функция, вычисления функции, её приближения. В краце о интерполяции. Интерполяция в простейшем случае заключается в следующем:

Существует какая-то функция, на ней заданы точки (называемые узлами интерполяции), требуется построить (интерполированную) функцию, которая принимала бы в указанных узлах те же значения.

Постановка задачи.

На отрезке  заданы n значений аргумента x и соответствующие им значения функции f(x₀)=y₀; f(x₁)=y₁; …; f(x_n)=y_n.

Требуется построить функцию F(x), которая бы принимала в точках x те же значения, что и f(x):

F (x₀)=y₀; F (x₁)=y₁… F (x_n)=y_n

Рекомендуемые материалы

Для чего?

Для того, чтобы:

1. Задача интерполяции. Суметь по полученной функции вычислить значения F(z), где   z,

zx_i при i=0,n

2. Задача экстраполяции. Суметь по полученной функции вычислить F(z), где   z.

Все существующие интерполяционные формулы содержат в себе конечные разности различных порядков.

Введём понятие конечных разностей.

Конечные разности различных порядков.

Пусть:            y =f(x) - заданная функция

            - фиксированная величина приращения аргумента

Тогда  - называется первой конечной разностью функции y, или конечной разностью первого порядка.

Вторая конечная разность, или конечная разность второго порядка.

Третья конечная разность, или конечная разность третьего порядка.

Т.о., в общем виде:

Конечная разность n-го порядка.

Пример:                     

Конечные разности различных порядков удобно располагать в форме таблиц двух видов: горизонтальной и диагональной таблиц разностей

Диагональная таблица разностей.

Пример:         горизонтальная таблица функции  y = f(x) = x² при

, x₀ = 0 начальное значение, x₆=5 конечное значение

Диагональная таблица

При составлении таблиц возможные ошибки вычисляются и диагональная таблица наглядно показывает нам, как отразится ошибка  в значении y_n.

Следует заметить, что максимальная ошибка  – в той же горизонтальной строке, где и табличная величина y_n.

Пример: исправить ошибку в таблице (неверные цифры взяты в скобки).

Как видно из таблицы, ход вторых разностей нарушается при x=19. Ошибка распространяется на 3 строки. Находим среднее арифметическое значение второй разности для средней из 3 точек:

=, =

Внося исправление в табличное значение y для x=19, получим верное значение функции:

_n=(y_n+ )- =16.792-(-0.004)=16.796.

Первая интерполяционная формула Ньютона.

Пусть для функции y=f(x) заданы значения y_i=f(x_i) для равноотстоящих значений независимой переменной  x_i=x₀+i*h (i=0,n) , где h - шаг интерполяции.

Требуется подобрать полином P_n(x) степени не выше n, принимающий в точках x_i значения P_n(x_i)=y_i (i=0,n)

Ньютон решил поставленную задачу:

P_n(x)=y₀+qy++y₀,

где q=.

Эта формула называется первой интерполяционной формулой Нью-тона.

Каков физический смысл имеет переменная q в первой интерполяционной формулой Ньютона.

q=,

где k - число шагов, необходимых для достижения точки x , исходя из точки x₀.

Рассмотрим частные случаи n=1 или n=2:

n=1     P₁(x)=y₀+qy₀ – линейное интерполирование

n=2     P₂(x)=y₀+qy₀+²y₀–параболическое (квадратичное) интерполирование

Пример: необходимо построить интерполяционный полином Ньютона для функции y= на отрезке  c h=1

Горизонтальная таблица разностей.

Т.о., при наличии 5 точек максимальный порядок существующей конечной разности =4, максимальная степень полинома =4.

P₄(x)=y₀+qy₀++y₀+

Как пользоваться формулой?

Допустим, необходимо определить значение в точке x=4.4

Узловые точки x₀=4, h=1,тогда q=

Точное значение =0.22727.

Вторая интерполяционная формула Ньютона.

Первая интерполяционная формула Ньютона практически неудобна для интерполирования значений вблизи конца таблицы. В этом случае обычно применяется вторая интерполяционная формула Ньютона.

P_n(x)=y_n+qy_n-1++y₀,

Пример:                                   y= sin x        x , h=5

Горизонтальная таблица разностей.

Пример: Отыщем sin(51 ^o), x_n=51, x=50^o, q=0.2

Как первая, так и вторая формула Ньютона может быть использована для экстраполирования функции, т.е. для нахождения значений функции y для значений аргументов x, лежащих вне пределов таблицы.

Если  x<x₀, то лучше применять первую интерполяционную функцию Ньютона.

Если  x>x_0, то лучше применять вторую интерполяционную функцию Ньютона.

Т.е., 1ИФН используется для интерполирования вперёд и экстраполирования назад.

2 ИФН используется для интерполирования назад и экстраполирования вперёд.

Как видно из формул 1 и 2 , при интерполяции используется разности: в 1ИФН ⁿy₀ , во 2ИФН ^ky_{k+_} .

Но существуют формулы, называемые формулы с центральными разностями, к ним относятся:

- ИФ Гаусса

- ИФ Стерлинга

- ИФ Бесселя,

которые используют разности, расположенные в горизонтальной строке диагональной таблицы, соответствует начальным значениям x_k, y_k или в строках близлежащих.

Но все эти формулы работают только для постоянного шага.

Необходимо отметить следующее:

при построении интерполяционных формул Ньютона в качестве начального значения  выбирается первый  или последний узел интерполирования; для центральных формул начальный узел является средним.

При  применяют формулу Стирлинга, а при  - Бесселя.

1ИФН и 2ИФН применяют тогда, когда интерполирование производится в начале или в конце таблицы и нужных центральных разностей не хватает.

Общая характеристика интерполяционных

формул с постоянным шагом.

Может быть представлена в виде диагональной таблицы разностей:

Мы рассмотрели интерполяционные формулы для равностоящих узлов интерполирования.

Рассмотрим формулы для произвольно заданных узлов интерполирования.

Наиболее часто используется формула Лагранжа.

Интерполяционная формула Лагранжа.

Пусть на отрезке [a;b] даны  n+1 различных значений аргумента x:  x₀, x₁,…, x_n  и известны соответствующие их значению функции y=f(x) : f(x₀)=y₀, f(x₁)=y₁, f(x_n)=y_n. Требуется построить полином  степени не выше , имеющий в заданных узлах  те же значения, что и функция , т.е. L_n(x_i)=y_i при i=1,n

;

,

где L_i⁽ⁿ⁾- коэффициенты Лагранжа.

Следует отметить, если узлы равностоящие, то интерполяционный полином Лагранжа совпадает с интерполяционной формулой Ньютона.

Примечательно то, что формула Лагранжа зависит лишь от y_i, а не от разностей.

Частные случаи.

n=1

При n=1 имеем 2 точки: (x₀;y₀) и (x₁;y₁).

прямая, проходящая через эти точки-

n=2   (x₀;y₀), (x₁;y₁), (x₂;y₂)

Пример:

 

          L₃(x)=x³+x²-x+2

Для вычисления лагранжевых подмножеств удобно составлять следующую таблицу разности:

Обозначим произведение элементов i-ой строки через D_i , а произведение главной диагонали П_n+1(x). Отсюда следует, что:

П_n+1(x)=(x-x₀)(x-x₁)…(x-x_n)

 при i=1,n

Для упрощения вычислений можно использовать инвариантность (при равноотстоящих точках лагранжевых коэффициентов),если

x= at+b

x_j= at_j+b при j=0,n

то   L_i⁽ⁿ⁾(x)= L_i⁽ⁿ⁾(t)

Схема Эйткена

Чаще всего требуется найти не общее выражение L_n(x) , а значение его при конкретных x , тогда будет удобно пользоваться интерполяционной схемой Эйткена:

Последовательно вычисляются многочлены:

и т.д.

Вычисления по схеме Эйткена удобно расположить в таблице:

Вычисления по схеме Эйткена обычно ведутся до тех пор, пока последовательные значения L_01…n(x) и L_01…n(n+1) не совпадут по заданной точности.

Т.е. процедура является итерационной, легко реализуется и этим обеспечивает возможность автоматического контроля точности вычислений.

Пример:                              x=27, =0,1

Лекция "60 Внутришлифовальный станок модели за252" также может быть Вам полезна.