Дифференциальное уравнение теплопроводности

1.3. Дифференциальное уравнение теплопроводности.

Решение задач теплопроводности  для тел различной конфигурации с различными характеристиками  материалов (плотность, теплоемкость) , начальными (начальное температурное поле t=t (x,y,z, t=0) и  граничными  условиями  (условия на границе тел-

температура  t_гр=t (x_гр,y_гр,z_гр, t)  или тепловой поток q_гр=q (x_гр,y_гр,z_гр, t)   ) , проводится в следующей последовательности:

1. Задается начальное  распределение температур в теле t=t (x,y,z, t_о)  при  t_о=0.
2. Выражается интенсивность (удельная мощность) внутренних источников тепла q=q (x,y,z, t) .
3. Задаются условия теплообмена на границе области- граничные условия  t_гр=t (x_гр,y_гр,z_гр, t)  .
4. Решается в общем виде дифференциальное уравнение теплопроводности t=t (x,y,z, t)  .
5. Находится частное решение при заданных начальных и граничных условиях.  t=t (x,y,z, t).

Дифференциальное уравнения теплопроводности     в декартовых  x, y, z координатах  имеет вид :

                                         1.3.   ,

в цилиндрических координатах r,z, j   -

Рекомендуемые материалы

                       1.4.

Где: x,y,z, - декартовы координаты, м;   r,j,z- цилиндрические координаты;   r,j,y  -  сферические координаты;  t- время, сек; q_v – интенсивность теплового источника  (тепловыделений Вт/м³), с- теплоемкость материала , Дж/кг,град; r- плотность материала, кг/м³.).

При решении  задач теплопроводности рассматривается  четыре рода граничных условий:

1-го рода  - на граничной поверхности заданы температуры на границе тела

t_гр=t(x_гр,y_гр,z _гр)

2-го рода  - на граничной поверхности заданы тепловые потоки  на границе тела

q_гр=q(x_гр,y_гр,z _гр);

3-го рода  - на граничной поверхности задается связь между тепловым потоком от теплоносителя и в теле на его  границе.

q=a(t₁ –t_1cт)=-l

4-го рода  - на граничных поверхностях соприкасающихся слоев 1 и 2 многослойной стенки задается равенство тепловых потоков (контактная задача).

Приведение  математической формулировки краевой задачи теплопроводности  к безразмерному виду.

Дифференциальное уравнение энергии 1.3. для движущегося потока  учитывает зависимость температуры от движения среды, в которой происходит теплообмен. Полная проиводная температуры по времени в движущемся потоке примет вид:

    (1.4)

При принятых условиях поля температур и скоростей можно описать дифференциальными уравнениями  вблизи пластины (в пограничном слое). Учтем дополнительно подъемную силу rgb , считая ее соизмеримой с вязкостным членом (=t_ж-t_ст).

m (). При  to=const,     t=

Уравнение энергии:

                             (1.5)

Уравнение движения:

                   (1.6)

Уравнение сплошности:

                                                         (1.7)

Граничные условия для рассматриваемой задачи примут вид:

1) Вдали от тела (y=¥),

v=v_o=0 ;   w_x =w_o ,  w_y=0                           ( 1.8)

2) На поверхности тела:

 (y=¥), 0£ х £ l_o,  - ¥£  z  £+ ¥

v=v_c=t_c-t_o =const;   w_x =w_e =w_z=0               (1.9)

В уравнениях и условиях  однозначности можно выделить три вида величин:

• независимые   переменные — это координаты х, у.
• зависимые переменные — это v , w_x и w_v; зависимые пере­менные однозначно определяются значениями независимых переменных, если заданы величины, входящие в условия однозначности;
• постоянные величины —это w_o, t_o, l_o, v_c g, a, g, b и др.; они задаются условиями однозначности и для определенной задачи являют­ся постоянными, не зависящими от других переменных; от задачи к за­даче они могут меняться; постоянными эти величины называют потому, что они не являются функцией независимых переменных.

Таким образом, искомые зависимые переменные v, w_x  и w_у зависят от большого числа величин: они являются функцией независимых пере­менных и постоянных величин, входящих в условия однозначности.

Величины, содержащиеся в уравнениях и условиях однозначности, можно сгруппировать в комплексы. Число безразмерных комплексов бу­дет меньше числа размерных величин.

Для приведения к безразмерному виду выбираются  масштабы приведе­ния. В качестве масштабов удобно принять постоянные величины, вхо­дящие в условия однозначности. Для линейных величин выберем какой-либо характерный размер, например длину поверхности теплообмена l₀, для скорости w_o, для температуры v_c

Обозначим  безразмерные величины:

Тогда

После использования введенных зависимостей  в выражении энергии , приведем его к безразмерному виду :

             (1.10)

Аналогично преобразуем и уравнение движения. После подстановки выражений переменных в уравнение движения, умножив его на l_o/ g w_o.

После преобразования в правой части  последнего члена уравнения

Окончательно получено:

           (1.11)

Уравнение неразрывности (сплошности) в безразмерном виде:

           ( 1.12)

Граничные условия:

при  Y=¥   -                                         (1.13)

На поверхности тела –                    (1.14)

Система уравнений 1.5-1.7 описывает большое количество процессов теплопередачи, которые отличаются условиями однозначности (граничными условиями)  1.8-1.9,  значениями постоянных величин.. (В безразмерном виде 1.10-1.14.)

При решении  системы уравнений для конкретных граничных условий получается выражение температурного поля для решаемой задачи:  t=t(x.y)

Коэффициент теплоотдачи для полученного решения  равен:

a= -   и в безразмерном виде   = -      (1.15)

При одинаковых значениях безразмерных комплексов :

Рекомендуем посмотреть лекцию "30 Изменение общества".

  , ,     (1.16)

Значения

      (1.17),

 в которые входит искомая величина коэффициента теплоотдачи a , будут одинаковы.

Величины  входящие в выражения   , ,  могут быть различны по значению, необходимо только чтобы сами безразмерные комплексы 1.15   были одинаковы для разных задач. Поэтому конкретное решение по теплообмену  может распространяться  (в безразмерном виде ) на другие задачи, для которых  значения комплексов 1.15  одинаково. Процессы  и решения в искомом виде 1.16 будут подобны при условии равенства критериев (условия) подобия 1.15.

На этом базируется одна из теорем подобия.