Стохастические краевые задачи динамики конструкций
1.5. Стохастические краевые задачи динамики конструкций
Динамическое поведение конструкции описывается операторным уравнением вида:
, (1.104)
где A,B,C – соответственно инерционный, диссипативный и жесткостный операторы.
Если внешнее воздействие является случайной функцией времени t и координаты r, f(t,
), то есть заданы ее статистические характеристики (для стационарного эргодического поля, это среднее <f(t,r)>, дисперсия <<f(t,r)>> и корреляционная функция 
), тогда исследование динамического поведения конструкции сводится к отысканию случайного поля u(r,t), удовлетворяющего уравнению (1.104) и краевым условиям. Операторная форма уравнения (1.104) может иметь следующий вид
L 
– эквивалентно уравнению (1.104), (1.105)
где L – детерминированный оператор, f(r,t) – случайное поле внешних перегрузок, u(r,t) – случайное, подлежащее определению, поле.
Таким образом, имеем стохастическую краевую задачу динамики.
Рассмотрим основные методы решения задач такого вида.
1.5.1. Получение решения в моментных функциях (метод моментных функций)
Рекомендуемые материалы
Применим операцию осреднения к стохастическому дифференциальному уравнению
L, (1.105)
, (1.106)
где uk и fk – реализации случайных полей u и f.
Если L( ) – является линейным оператором, то
L
=lim
, (1.107)
то есть
L
, (1.108)
полученное таким образом сравнение является уже детерминированным уравнением относительно средних значений полей u(r,t) и f(r,t).
Подобную процедуру можно выполнить для вариационных функций
Rf
=
(1.109)
по определению, но с другой стороны для реакций fk справедливо операторное уравнение (1.106), тогда
. (1.110)
Если L( ) – линейный оператор, то справедливо представление следующего вида:
(1.111)
или окончательно
(1.112)
– детерминированное операторное уравнение относительно ковариационной функции.
Решая полученное уравнение, относительно неизвестной функции Ru
получим ковариационную функцию искомого поля. Если при этом положить 
и 
, то получим поле дисперсий или флуктуаций случайного поля. Исходная стохастическая задача, таким образом, сводится к решению детерминированных краевых задач, а само решение получается в виде набора детерминированных его моментных функций (от термина «статистический момент»).
1.5.2. Использование функций Грина при построении решения статистической задачи динамики в моментных функциях
Использование функций Грина при построении решения статистической задачи динамики в моментных функциях. Попробуем разрешить уравнение (1.104) относительно 
:
. (1.113)
Для получения оператора Н, необходимо построить функцию Грина, решая вспомогательную краевую задачу для уравнения вида
, (1.114)
где 
– функция Грина. Вспомогательная задача является детерминированной и может быть решена обычными методами анализа, тогда уравнение (1.106) примет вид
. (1.115)
Полученное уравнение справедливо для любых функций 
, в том числе и случайных. Тогда, применяя операторы осреднения к 
, можно получить любые интересующие моментные функции. В прикладных расчетах обычно ограничиваются анализом среднего и дисперсии.
В том случае, когда и 
являются тензорными случайными полями, то решение может быть представлено при помощи тензора Грина 
в виде
. (1.116)
1.5.3. Метод спектрального разложения
Метод основан на свойствах случайных полей, допускающих каноническое разложение вида:
, (1.117)
где Fn – случайные величины, 
– детерминированные функции.
В этом случае решение статистической задачи динамики можно разыскивать в подобном виде
, (1.118)
где Fn – случайные величины, 
– некоторые независимые детерминированные функции.
Подстановка представлений (1.118) в исходное уравнение (1.115) позволяет получить для отыскания yn приведением выражений при одинаковых случайных коэффициентах Fn следующие соотношения
, n = 1,2... , (1.119)
таким образом, статистическая краевая задача сводится к последовательности решения детерминированных задач.
1.5.4. Разложение по собственным формам
Разложение поля u по собственным формам дает представление в виде
, (1.120)
где 
– собственная форма колебаний, un(t) – случайная функция.
Подставляя ряд в уравнение (1.115) и используя процедуру метода Галеркина и свойство ортогональности собственных форм, получим набор стохастических обыкновенных дифференциальных уравнений
, n=1,2... (1.121)
где 
- собственные частоты, 
- коэффициент диссипации, Fn(t) – случайные функции времени.
Решение каждого из уравнений можно получить, например, используя методы моментных функций.
1.5.5. Численные методы решения статистических задач динамики
Численные методы решения статистических задач динамики в основе своей содержат метод реакций (метод Монте-Карло).
Так, в соответствии с методом реакций
(1.122)
, (1.123)
где uk – реализации случайной величины u, определяемые численно, используя для этого процедуру метода конечного элемента
, (1.124)
где 
– реализация вектора внешних случайных воздействий на механическую систему.
Блок - схема метода Монте-Карло имеет вид:
(1) - методы скользящего суммирования;
Ещё посмотрите лекцию "24 Задачи и методы криминалистики" по этой теме.
(2) - метод конечного элемента;
(3) - эргодичный процесс - по одной реализации (А);
- неэргодичный - по большому числу разных реализаций (Б) (рис.1.10).
Рис. 1.10.
