Устойчивость и качество систем автоматического регулирования

ГЛАВА 3

Устойчивость и качество систем автоматического регулирования

3.1. Определение устойчивости

Основным назначением САР является поддержание регулируемой величины на заданном уровне при наличии воздействия на систему внешних возмущений. Поэтому систему автоматического регулирования называют устойчивой, если, будучи выведенной из состояния равновесия и предоставленной самой себе, она с течением времени будет стремиться вернуться к равновесному состоянию.

Устойчивость системы определяется характером свободного движения, которое, как известно, описывается однородным дифференциальным уравнением (без правой части). Поэтому форма правой части уравнения, описывающего динамику системы, не оказывает влияния на устойчивость.

В общем случае свободное движение системы можно описать однородным дифференциальным уравнением вида:

,                                         (72)

где                 у — регулируемая величина;

Рекомендуемые материалы

       а₀, а₁ ... а_п — постоянные коэффициенты, определяемые параметрами системы.

Согласно определению система будет устойчивой, если

                                                                (73)

Решение уравнения (72) можно представить в следующем виде:

,                                                        (74)

где       С_i      —     постоянные интегрирования, определяемые из начальных условий,

            p_i — корни характеристического уравнения (75), соответствующего дифференциальному уравнению (72):

.                                   (75)

Условие (73) может быть выполнено в том случае, если все составляющие решения (74) с течением времени будут стремиться к нулю. Так как все коэффициенты С_i — величины постоянные, то характер каждой составляющей  зависит только от p_i.

Если p_i будет положительной вещественной величиной, то  будет с течением времени увеличиваться до бесконечности. Если p_i будет отрицательной вещественной величиной, то  будет с течением времени стремиться к нулю. В том случае, если  — комплексная величина, то

 —

переходный процесс колебательный, амплитуда А которого будет возрастать или убывать в зависимости от знака вещественной части комплексного корня. При этом, если вещественная часть комплексного корня будет положительной величиной, то переходный процесс будет колебательным с нарастающим значением амплитуды колебаний, т. е. будет расходящимся; если же вещественная часть комплексно-сопряженного корня будет отрицательной величиной, амплитуда колебаний с течением времени будет стремиться к нулю.

Так как вещественные корни представляют собой частный случай комплексных (при β=0), то на основании приведенных соображений вытекает следующее условие устойчивости линейных систем. Для того чтобы линейная САР была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы вещественные части всех корней характеристического уравнения САР были отрицательными.

Рис. 41. Распределение корней характеристического уравнения

на комплексной плоскости:

а — устойчивая система; б — неустойчивая система

Если корни характеристического уравнения расположить на комплексной плоскости, то для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы все корни лежали слева от мнимой оси. Если пара комплексных корней лежит на мнимой оси, а остальные — слева от нее, то система находится на границе устойчивости. На рис. 41 показано распределение корней характеристического уравнения 5-го порядка. Таким образом, исследование устойчивости сводится к определению знаков вещественной части корней характеристического уравнения.

3.2. Критерий устойчивости Гурвица

Пусть характеристическое уравнение системы имеет вид:

.                                 (76)

По Гурвицу для того, чтобы САР была устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы определитель Гурвица, составленный из коэффициентов характеристического уравнения (76), а также все диагональные миноры этого определителя были положительны, при этом также должен быть положительным а₀. Для составления определителя Гурвица необходимо руководствоваться следующим.

1. Выписывают по главной диагонали все коэффициенты уравнения (76), начиная от a₁ до а_п в порядке возрастания индексами.

2. Дополняют все столбцы определителя от диагонали вверх коэффициентами с возрастающими, вниз — с убывающими индексами.

3. На место коэффициентов, индексы которых больше п и меньше 0, ставят нули.

Для уравнения (76) определитель будет иметь вид:

Для уравнения 3-го порядка условие устойчивости по Гурвицу будет:

.                                                     (78)

3.3. Критерий устойчивости Михайлова

Рассмотрим характеристическое уравнение, соответствующее дифференциальному уравнению замкнутой системы регулирования

.                                (79)

и запишем его в комплексной форме, для чего вместо р подставим мнимое число iw. Тогда уравнение (79) преобразуется в следующее:

.                 (80)

Отделив в уравнении (80) вещественную часть от мнимой, можно представить его в следующем виде:

.                                                 (81)

Изменяя значение w от 0 до ∞, построим на комплексной плоскости р(w), Q(w) вектор или годограф L(iw).

Условие устойчивости для замкнутой системы по Михайлову формулируется следующим образом: система автоматического регулирования будет устойчивой, если при изменении w от 0 до ∞ вектор L(iw), начав движение из точки, лежащей на положительной вещественной полуоси плоскости, вращаясь против часовой стрелки, нигде не обращаясь в нуль, обходит последовательно п квадрантов (т. е. I, II, III, IV, I, II и т. д.), где п — степень характеристического уравнения.

Рис. 42. Годографы Михайлова:

а —устойчивые системы; б, в — неустойчивые системы

Примерные годографы Михайлова для устойчивых систем разного порядка показаны на рис. 42,а, а неустойчивых — на рис. 42, б и в.

3.4. Качество регулирования

Характеристикой качества процесса регулирования являются следующие показатели:

¾ статическая ошибка — отклонение регулируемой величины от заданного значения в установившемся режиме, т. е. по окончании переходного процесса;

¾ динамическая ошибка, под которой понимают максимальное отклонение регулируемой величины в течение переходного процесса от значения для установившегося режима;

¾ быстродействие системы, под которым понимают продолжительность переходного процесса;

¾ колебательность процесса. При наличии двух и более перерегулирований процесс считают колебательным.

                                                        а)

Рис. 43. К определению качества переходных процессов:

а — апериодические процессы; б — колебательные процессы

Качество переходного процесса можно оценить по расположению корней характеристического уравнения на комплексной плоскости, по частотным характеристикам, а также с помощью интегральных критериев. На рис. 43, а, б изображены два графика переходных процессов. Переходный процесс будет тем лучше, чем меньше будет заштрихованная площадь, охваченная новым значением регулируемой величины и кривой переходного процесса. Эта площадь может быть определена как

,                                                   (82)

где  — новое установившееся значение регулируемой величины;

Информация в лекции "1. Введение. Этапы развития" поможет Вам.

  — текущее значение ее.

Этот интегральный критерий пригоден только для неколебательного переходного процесса. Для колебательных переходных процессов применяют другой критерий, в который отклонение регулируемой величины входит в квадрате и поэтому всегда будет положительной величиной:

,                                                  (83)

Этот критерий пригоден для оценки качества как колебательных, так и неколебательных процессов.

Вопросы для самоконтроля:

1. Чем необходимо руководствоваться для составления определителя Гурвица.
2. Каковы условия устойчивости для замкнутой системы по Михайлову?
3. Какие показатели являются характерными для качества процесса регулирования?

Литература [1, 5, 6].