Передаточные функции и частотные характеристики

ГЛАВА 2

Передаточные функции и частотные характеристики

2.1. Передаточная функция

Помимо дифференциального уравнения, динамические свойства звена могут быть описаны также при помощи передаточной функции, которая представляет собой отношение операторного полинома воздействия к собственному операторному полиному, т.е. в общем виде передаточная функция звена определяется выражением

,                                                          (39)

а передаточная функция объекта, динамика которого описывается уравнением (13), выражением

.                                                       (40)

Рекомендуемые материалы

2.2. Частотная характеристика

В ряде случаев системы автоматического регулирования и входящие в состав их звенья работают под воздействием периодических и, в частности, гармонических возмущений. В связи с этим возникает необходимость исследовать работу систем также в режиме вынужденных колебаний с помощью, так называемого частотного метода. Отличительной особенностью частотного метода является также возможность применения его для экспериментального исследования динамических свойств реальных систем, аналитическое исследование которых невозможно.

Если на вход линейного звена подать гармоническое возмущение с амплитудой A₁ и частотой w, при этом , то по прошествии некоторого времени выходная координата также будет изменяться по гармоническому закону с той же частотой w, но с другой амплитудой А₂ и сдвигом колебаний по фазе j. Графически это показано на рис. 25.

Частотной характеристикой звена или амплитудно-фазовой частотной характеристикой называется зависимость амплитуды и фазы вынужденных гармонических колебаний от амплитуды и частоты входного возмущения.

Рис. 25. Вынужденные колебания САР

Для получения частотной функции, называемой также комплексной передаточной функцией, необходимо в выражение передаточной функции вместо р подставить iw, где , а w — круговая частота, т.е.

.                                                         (41)

Рис. 26. Амплитудно-фазовая характеристика

Последнее выражение в общем виде можно представить в прямоугольной системе координат:

,                                             (42)

либо в полярной системе в виде показательной функции:

                                          (43)

где  — модуль, определяющий амплитуду колебаний;

                    — фаза.

Если изобразить частотную функцию (43) в виде вектора в комплексной плоскости , то при изменении частоты w от 0 до ∞ конец вектора опишет кривую, называемую амплитудно-фазовой характеристикой. Пример такой кривой приведен на рис. 26. Амплитудно-фазовые характеристики широко используются при исследовании динамических свойств систем.

2.3. Типовые динамические звенья

Несмотря на то, что звенья, входящие в состав различных САР, отличаются во многих случаях друг от друга как по конструктивному выполнению, так и по функциональному назначению, представляется возможным свести их к сравнительно небольшой группе звеньев, отличающихся одинаковыми динамическими свойствами. При такой классификации по динамическим свойствам звенья, переходные процессы в которых описываются одинаковыми уравнениями, относят к одному типу динамического эвена.

В теории автоматического регулирования принято различать следующие основные динамические звенья: пропорциональное или безынерционное, апериодическое или инерционное, колебательное, дифференцирующее, интегрирующее, с чистым запаздыванием.

Динамические свойства пропорционального или безынерционного звена описываются уравнением вида:

,                                                                  (44)

а переходный процесс имеет вид, изображенный на рис. 27.

Рис. 27. Переходный процесс безынерционного звена

Передаточная и частотная функции этого звена описываются следующими выражениями:

;                                                               (45)

.                                                             (46)

Динамика апериодического звена описывается уравнением

.                                                         (47)

При ступенчатом возмущении и нулевых начальных условиях переходная функция имеет вид (см. рис. 22):

.                                                   (48)

Передаточная и частотная функции этого звена имеют следующие выражения:

;

(49)

.

Амплитудно-фазовая характеристика этого звена представлена на рис. 28.

Рис. 28. Амплитудно-фазовая характеристика

апериодического звена 1-го порядка

Динамика колебательного звена описывается уравнением

.                                                (50)

При ступенчатом возмущении и нулевых начальных условиях переходная функция имеет вид (рис. 29):

,                                (51)

где  — постоянная времени огибающей экспоненты;

.

Передаточная и частотная функции колебательного звена будут иметь выражения:

;                                                    (52)

.                                                 (53)

Рис. 29. График переходного процесса колебательного звена

Амплитудно-фазовая характеристика колебательного звена представлена на рис. 26.

В том случае, если в уравнении будет иметь место неравенство , то звено превращается в апериодическое 2-го порядка с переходной функцией

,                                (54)

где

;                           

Переходный процесс в этом случае будет иметь вид, представленный на рис. 30.

Рис. 30. График переходного процесса

апериодического звена 2-го порядка

Идеальным дифференцирующим называется звено, динамика которого описывается уравнением вида:

.                                                              (55)

График переходной функции этого звена показан на рис. 31 и представляет собой мгновенный импульс, который возникает только в момент подачи ступенчатого входного возмущения. Передаточная и частотная функции идеального дифференцирующего звена:

;                 .                                   (56)

Рис. 31. Переходный процесс идеального

дифференцирующего звена

Большинство реальных систем обладают определенной инерционностью. Динамика инерционного дифференцирующего звена может быть описана уравнением вида:

.                                                         (57)

Рис. 32. Переходный процесс идеального интегрирующего звена

Динамика идеального интегрирующего звена описывается уравнением вида

                                                              (58)

или

,                                                                (59)

а в операторной форме

.                                                               (60)

Из уравнения (58) следует, что если на вход интегрирующего звена подать ступенчатое возмущение, то выходная величина будет со временем беспрерывно увеличиваться.

Графики переходного процесса такого звена показаны на рис. 32. Передаточная и частотная функции определяются по уравнениям:

                                                         (61)

Уравнение динамики реального интегрирующего звена будет:

.                                                    (62)

Дифференцируя обе части уравнения, можно получить другое выражение:

.                                                       (63)

В ряде случаев изменение выходной величины начинается не одновременно с изменением входной, а спустя некоторый промежуток времени, называемый запаздыванием.

Различают звенья с чистым или транспортным запаздыванием, примером которого может служить ленточный питатель (рис. 33). Если входной координатой считать положение шибера на питающем бункере 1 (х), а выходной координатой — количество материала, поступающего в бункер (Q), то переходная характеристика этого звена может быть описана уравнением

,                                                    (64)

где    t — время;

       — время чистого или транспортного запаздывания.

Рис. 33. Схема звена с чистым запаздыванием:

1, 3 – бункера; 2 - шибер

В общем случае любое звено с запаздыванием можно рассматривать состоящим из обыкновенного звена без запаздывания и идеального звена с чистым запаздыванием. Передаточная функция звена с запаздыванием в общем случае будет иметь выражение

,                                                  (65)

где W₀(p) — передаточная функция звена без запаздывания.

Рис. 34. Переходные процессы:

а – идеальное звено с чистым запаздыванием;

    б – инерционное звено с чистым запаздыванием

Переходные процессы для идеального звена с запаздыванием и для инерционного звена при наличии чистого запаздывания приведены на рис. 34.

2.4. Соединение звеньев, алгебра передаточных функций

Выше была рассмотрена динамика отдельных звеньев, которые входят в состав САР и взаимодействуют между собой. В реальных САР встречаются разнообразные схемы соединения звеньев, которые можно свести к последовательному и параллельному соединению, а также их комбинации. В свою очередь при параллельном соединении может иметь место одинаковое направление входа и выхода либо противоположное. Рассмотрим выражения передаточных функций комплекса элементарных звеньев при различных способах их включения.

Рис. 35. Схема последовательного соединения звеньев

Последовательное соединение. Рассмотрим цепочку, состоящую из трех последовательно соединенных звеньев (рис. 35). На вход первого звена поступает величина х, а на выход последнего — у. Результирующая передаточная функция при последовательном соединении звеньев равна произведению передаточных функций отдельных звеньев:

.                                             (66)

Параллельное соединение. Случай одинакового направления входа и выхода представлен на рис. 36.

Рис. 36. Схема параллельного соединения звеньев

Передаточная функция параллельно соединенных звеньев равна сумме передаточных функций отдельных звеньев:

.                                               (67)

Случай противоположного направления сигналов (охват звена обратной связью) представлен на рис. 37. При включении обратной связи входной сигнал х алгебраически суммируется с сигналом, прошедшим через звено обратной связи, и при отрицательной обратной связи он равен:

.

В этом случае передаточная функция будет иметь вид:

.                                                    (68)

Рис. 37. Схема охвата звена обратной связью

При комбинированном соединении звеньев в САР необходимо контур разбить на отдельные цепи, в которых будут четко выражены последовательное и параллельное соединения, составить передаточные функции для этих цепей, а затем и для всего контура в целом. Таким образом, используя указанные зависимости, можно составить передаточную функцию сложной схемы, из которой при необходимости можно получить дифференциальное уравнение динамики системы.

Из выражения (68) для передаточной функции звена, охваченного обратной связью, принимая , можно легко получить выражение для передаточной функции замкнутой системы, схема которой показана на рис. 38.

Рис. 38. Схема замыкания звена

Передаточная функция замкнутой системы может быть представлена следующим образом:

,                                                      (69)

где  — передаточная функция разомкнутой системы.

2.5. Уравнение динамики замкнутой системы

Система автоматического регулирования состоит из ряда звеньев, динамика которых в общем случае описывается дифференциальными уравнениями. Так как элементы САР находятся во взаимодействии друг с другом, а сама система является замкнутой, то математическим описанием САР будет являться система дифференциальных уравнений динамики звеньев, входящих в систему и их связей. Путем исключения промежуточных координат систему дифференциальных уравнений можно привести к одному дифференциальному уравнению, которое включает в себя только входные воздействия и выходную, регулируемую величину.

В качестве примера рассмотрим систему автоматического регулирования частоты вращения вала теплового двигателя, принципиальная схема которой приведена на рис. 39.

Структурная схема этой САР изображена на рис. 40. Динамику звеньев, входящих в состав системы, запишем в операторной форме: 

объект —                                                    ;

чувствительный элемент —                                 ;                      (70)

сервопривод —                                                     ,

где     у — регулируемая величина;

        x₂ — положение топливорегулирующего органа.

Рис. 39. Схемы САР частоты вращения вала дизель-генератора:

а — принципиальная; б — функциональная:

1 — золотник; 2 — поршень сервомотора; 3 — рычаг; 4 — грузы;

5 — муфта; 6 — вал регулятора;

СУ — корректирующее устройство; ЧЭ — чувствительный элемент;

ЗУ — задающее устройство; УС — устройство сравнения;

УУ — усилительное устройство; ИМ — исполнительный механизм;

f(t) — возмущающее воздействие; g(t) — управляющее воздействие

Решая систему (70), получим уравнение динамики замкнутой системы в операторной форме:

.                                      (71)

Для этой же САР составим дифференциальное уравнение по передаточным функциям звеньев.

Рис. 40. Структурная схема САР частоты вращения

вала дизель-генератора

Для случая, когда возмущение приложено к объекту, передаточная функция замкнутой САР будет иметь выражение

,

где (для нашего случая)  — передаточная функция объекта регулирования;

 — передаточная функция регулятора.

Тогда

.

"Поиск творческой идеи" - тут тоже много полезного для Вас.

Отсюда уравнение динамики замкнутой системы

аналогично уравнению (71).

Вопросы для самоконтроля:

1. Дать понятие о передаточной функции и частотной характеристики.
2. Что представляет собой мгновенный импульс?
3. Уравнение динамики замкнутой системы.

Литература [2, 5, 6].