Сопротивление и его составляющие

Лекция №7

Тема 2. Аэродинамические  тел различной формы

2.2.7. Сопротивление и его составляющие

Сопротивлением тела называют составляющую его полной аэродинамической силы, направленную по касательной к направленно невозмущенного потока. Оно характеризуется силой лобового сопротивления  и ее коэффициентом .

Общее сопротивление состоит из двух составляющих:

- безиндуктивное сопротивление (сопротивление при нулевой подъемной силе), создаваемое формой крыла и силами трения о его поверхность, которое характеризуется величинами  и ;

- индуктивное сопротивление, обусловленное наличием подъемной силы, которое характеризуется величинами  и .

Таким образом

Рекомендуемые материалы

;   .                                (2.19)

2.2.7.1. Безиндуктивное сопротивление

Коэффициент сопротивления при нулевой подъемной силе  не зависит от величины подъемной силы.

Из рис. 2.15 имеем

,                     (2.20)

где     - текущий по размаху коэффициент профильного сопротивления крыла;

 - текущее по размаху значение длины хорды крыла.

Отсюда

.                   (2.21)

Рис.  2.15

Следовательно

.                                        (2.22)

Профильное сопротивление в свою очередь обусловлено двумя факторами:

- трением в пограничном слое ();

- разностью давлений на передней и задней частях профиля ()

Тогда

,                                       (2.23)

где  - удвоенный коэффициент трения профиля как плоской пластины, зависящий от числа Re

                                              (2.24)

Здесь  - коэффициент, учитывающий влияние на сопротивление трения толщины профиля.

Как видно из рис. 2.15, при малой толщине профилей основную долю профильного сопротивления составляет сопротивление трения.

Рис. 2.16

2.2.7.2. Индуктивное сопротивление

Взаимодействие крыла конечного размаха с потоком приводит к тому, что крыло придает вектору скорости вертикальную составляющую V_y (риc. 2.17).

Рис. 2.17

Наложение V_y на скорость невозмущенного потока вызывает отклонение последнего на угол  (угол скоса потока)

.                                                 (2.25)

Истинный угол атаки сечений крыла () определится в виде

.                                                     (2.26)

Соответственно подъемная сила профиля будет перпендикулярна вектору результирующей скорости . Проекция подъемной силы профиля крыла на продольную ось скоростной системы координат и даст величину индуктивного сопротивления, обусловленного наличием подъемной силы

                                               (2.27)

Для всего крыла коэффициент индуктивного сопротивления определяется аналогичным образом

                                                 (2.28)

где  - осредненное по площади крыла значение угла скоса потока (рис. 2.18).

Рис. 2.18

Неравномерность угла скоса потока по размаху крыла обусловлена наличием перетекания потока через боковые кромки.

Угол скоса потока за крылом пропорционален коэффициенту

.                                            (2.29)

Поэтому в целом коэффициент индуктивного сопротивления определяется выражением

.                                            (2.30)

где A=const при данном числе М (рис. 2.19).

Рис. 2.19

При М < М_кр коэффициент А равен

.                                                    (2.31)

Вывод: таким образом, полный коэффициент лобового сопротивления крыла конечного размаха пропорционален силам трения о его поверхность и квадрату его подъемной силы

.                             (2.32)

Зависимость коэффициента лобового сопротивления и его составляющих от угла атаки крыла показана на рис. 2.20.

Рис. 2.20

2.2.7.3.  Подсасывающая сила

При движении крыла в дозвуковом потоке при  с его увеличением  растет пик разрежения в районе передней кромки (рис.2.21).

Рис. 2.21

В результате проекция сил давления на ось ОХ изменяется по сравнению со случаем с_ya =0 и при больших a коэффициент продольной силы с_x может стать отрицательным (только в случае скругленной передней кромки).

Определение:   подсасывающей называется сила давления Т, образующаяся на передней скругленной кромке за счет значительного поджатия и разгона струй на ее поверхности и равная разности между силой лобового сопротивления при с_ya = 0 и продольной силы при заданном значении с_ya (заданном угле атаки). Коэффициент подсасывающей силы с_Т (рис. 2.22) определяется выражением

              (2.33)

Рис. 2.22

Для крыльев со скругленной передней кромкой на дозвуковых скоростях полета зависимости с_x(a) и с_xa(a) имеют вид, представленный на рис. 2.23.

Рис. 2.23

Замечание:        как и коэффициент индуктивного сопротивления коэффициент подсасывающей сил пропорционален квадрату коэффициента подъемной силы крыла

                                              (2.34)

где D - коэффициент пропорциональности (обычно определяется экспериментально).

2. 2.8. Поляра и аэродинамическое качество крыла

Различаются поляры первого и второго рода.

Определение:     полярой первого рода называется график, связывающий коэффициенты подъемной силы и лобового сопротивления при изменении угла атаки на данном числе М полета.

В пределах линейной зависимости коэффициента С_ya от угла атаки поляра первого рода описывается уравнением

                                      (2.35)

На поляре можно выделить ряд характерных точек (рис. 2.24):

Рис. 2.23

1 - с_ya=0, с_xa=с_xo, ;

2 - (с_ya/с_xa)_макс, с_ya=с_yaнв, ;

3 - с_ya=с_yaнс, ;

4 - с_ya=с_yaмакс, .

Замечание:        поляра первого рода представляет собой годограф полной аэродинамической силы R_A при изменении углов атаки.

Аэродинамическое совершенство обтекаемого тела оценивается в основном величиной аэродинамического качества.

Определение:     аэродинамическим качеством К называется отношение подъемной силы к силе лобового сопротивления тела

                                                  (2.36)

Таким образом, аэродинамическое качество показывает, во сколько раз подъемная сила тела при данном угле атаки больше силы лобового сопротивления.

Выражение для аэродинамического качества можно представить в виде, показывающем его зависимость от угла атаки (рис. 2.24):

                                                                              (2.37)

Рис. 2.24

К_макс можно найти по поляре. Оно равно тангенсу угла наклона касательной к поляре, проведенной из начала координат.

Значения К_макс, С_уанв и  можно найти аналитически непосредственно из выражения для качества

Получаем с_хо=Ас²_уанв.   Отсюда

                                      (2.38)

         Вывод: максимальное аэродинамическое качество обратно пропорционально величине коэффициентов c_хо и А, зависящих от формы тела и числа М потока.

         Определение: полярой второго рода называется график, связывающий коэффициенты нормальной силы крыла c_у и продольной силы c_х.

         Аналитически данная зависимость определится из формулы

c_х=c_хо - c_т                                                                                         (2.39)

где c_т= Dc²_уа..

         При допущении, что С_уа=С_у, получаем уравнение поляры второго     рода

С_х=С_хо - DС²_у

Это уравнение справедливо при _нс.. Графическое представление поляры второго  рода показано на рис.2.25.

         Замечание: причиной такого протекания поляры второго рода является рост подсасывающей силы. Если же подсасывающая сила не реализуется, то уравнение поляры второго рода имеет вид

С_х=С_хо..

Рис.2.25

2.2.9. Теорема  Н.Е. Жуковского о подъемной силе крыла

2.2.9.1. Теорема  Н.Е. Жуковского для крыла бесконечного размаха

         Теорема Н.Е. Жуковского о подъемной силе крыла установлена им и доложена Московскому математическому обществу в 1905 году, а опубликована впервые в 1906 году в статье "О присоединенных вихрях крыла". Доказав эту теорему Н.Е.Жуковский впервые дал разъяснение механизма образования подъемной силы.

         Допущения:

         1.На крыле отсутствует перетекание с нижней поверхности на верхнюю в районе концевых сечений (крыло бесконечного размаха). Это допущение вводится в связи с тем, что в силу разности давлений на верхней и нижней поверхностях крыла наблюдается перетекание масс воздуха через концы крыла, что изменяет характеристики концевых сечений. Поэтому, даже если крыло набрано из одинаковых профилей, аэродинамические характеристики сечений будут различными.

         2.Поток несжимаемый(=const).

         3.Поток безвихревой, плоскопараллельный, установившийся.

         4.Профиль крыла непроницаем (V_ув.=V_ун.=0).

         Теорема: подъемная сила , приходящаяся на единицу размаха крыла , в установившемся плоскопараллельном потоке идеальной жидкости или газа равна произведению плотности  на скорость V   невозмущенного потока и на циркуляцию скорости J по контуру, охватывающему сечение крыла

         Доказательство:

         При сделанных допущениях имеем

Рис.2.26

         На основании линеаризованного уравнения Бернулли можно записать

где V_хн и V_хв.- скорости возмущенного движения вдоль продольной оси

 ,

         Производя подстановку получим

Известно, что

         поэтому

что и требовалось доказать.

         Замечание: 1. в выражении теоремы отсутствует l , так как она сформулирована для единицы размаха;

                                 2. циркуляцию J можно заменить напряжением вихревых шнуров, охватываемых контуром l_к (согласно теоремы Стокса), т.е. Y=Г;

                                  3. наличие подъемной силы делает обтекание крыла циркуляционным.

         Вывод: по теореме Стокса крыло может быть заменено вихрем или системой вихрей, дающих такую же циркуляцию по замкнутому контуру, какую дает крыло, поставленное под определенным углом атаки.

2.2.9.2. Теорема    Н.Е. Жуковского в    применении к  крылу  произвольной формы

         Доказанная в предыдущем пункте теорема называется теоремой Н.Е.Жуковского "в малом", так как она сформулирована для элемента крыла. Однако она позволяет определить подъемную силу крыла любой формы в плане по известному значению циркуляции в каждом его сечении.

         Рассмотрим крыло произвольной формы в плане

Рис.2.27

         Любой его элемент с размахом  создает элементарную подъемную силу

где - напряжение присоединенных вихрей на рассматриваемом элементе.

         Подъемная сила всего крыла определится следующим выражением

где k - количество полос, на которые разбито полукрыло,

       n - количество элементов на j-й полосе,

        2 - учитывает второе полукрыло.

         Теорема Н.Е. Жуковского играет существенную роль в современных исследованиях аэродинамики, так как она дает возможность просто определять аэродинамические нагрузки.

2.2.10. Понятие  о численном методе  решения задачи обтекания  крыла несжимаемым потоком

В основе метода лежит положение о том, что на основании теоремы Стокса крыло может быть заменено системой вихрей, дающих такую же циркуляцию, как и крыло, поставленное под данным углом атаки. Эти вихри Н.Е. Жуковский назвал присоединенными. Задача сводится к отысканию интенсивности этих вихрей, по которой, используя теорему Н.Е. Жуковского о подъемной силе, можно рассчитать аэродинамические характеристики крыла.

При этом задаются рядом допущений (граничных условий):

1. На бесконечном удалении от крыла возмущения в потоке отсутствуют. Параметры потока при этом _¥, p _¥, V_¥ .

2. Крыло "непротекаемо", т.е. обтекание крыла  безотрывное, скорость течения на нем направлена по касательной к поверхности, нормальная составляющая скорости в любой точке поверхности /_n=0

3. На задней кромке крыла выполняется гипотеза Чаплыгина-Жуковского о конечности скоростей, согласно которой на задней кромке давления сверху и снизу равны, а поток сходит непосредственно с задней кромки. Для тонкой пластины эта гипотеза сводится к условию

где  - вертикальная составляющая скорости, создаваемая крылом (скорость скоса потока).

ПОРЯДОК РАСЧЕТА:

1. Крыло разбивается на ряд полос примерно одинаковой ширины (обычно 6...10 полос на полукрыле).

2. Каждая полоса разбивается на ряд участков по хорде (обычно 5...10 участков на полосе).

3. На каждом участке размещается присоединенный вихрь и контрольная (расчетная) точка, в которой выполняется условие "непротекания". О порядке размещения вихрей и контрольных точек будет сказано далее. Вихри являются подковообразными, представляющие собой присоединенные к крылу поперечные отрезки, с концов которых сходят полубесконечные вихревые нити, образующие вихревую пелену (для выполнения теоремы Гельмгольца).

Рис. 2.28

4. Составляется система линейных алгебраических уравнений для определения напряженностей вихрей вида

,

где        - результирующая вертикальная составляющая скорости потока, индуцируемая в рассматриваемой контрольной точке всеми вихрями крыла,

n       - номер расчетной точки на полосе,

k        - номер полосы,

n       - количество вихрей на полосе,

N       - количество полос на полу крыле,

    - напряженность вихря с номером m на полосе с номером k,

    - коэффициент, учитывающий вертикальную скорость, индуцируемую в рассматриваемой точке с номером n вихрем с номером m правой половины крыла и симметричным ему вихрем левой половины. Учет симметрии крыла позволяет в два раза сократить порядок системы уравнений. Коэффициент а  получается на основании выражений для определения поля скоростей вихря и представляет собой величину

,

где  - расстояние от середины присоединенного отрезка вихря с номером m полосы с номером k до рассматриваемой контрольной точки,  - соответствующее расстояние от симметричного данному вихрю левой половины крыла.

5. Решается система уравнений и получаются значения напряженностей Г.

6. По найденным значениям Г, используя теорему Н.Е. Жуковского, находим силы и моменты, действующие на крыло и их коэффициенты.

Пример: для плоского профиля при бесконечном числе разбиений (точное решение) получаются следующие характеристики:

,  ,  .

Следует заметить, что существует несколько схем размещения середин присоединенных отрезков вихрей и контрольных точек по хорде, проходящей по середине полосы.

Схема "1/4" - вихри располагаются на 1/4 длины каждого отрезка от его начала, а контрольные точки - на 3/4 длины отрезка от начала (рис. 2.29).

Рис. 2.29

Данная схема разбиения позволяет в большей степени, чем следующая, выявить особенности обтекания передней кромки, так как первый вихрь лежит вблизи ее. Однако, для удовлетворения гипотезы Чаплыгина-Жуковского на задней кромке необходимо число разбиений n брать как можно большим.

Схема "1/2" - вихри располагаются на середине каждого отрезка, контрольные точки - на его концах (рис. 2.30).

Если Вам понравилась эта лекция, то понравится и эта - Аномалии развития внутренних половых органов.

Рис. 2.30

Данная схема позволяет выполнять условие Чаплыгина-Жуковского на задней кромке и при малом числе вихрей, кроме того, она приемлема при решении некоторых специфических задач, например, если из задней кромки производится выдув струи сжатого газа (струйная механизация). Однако. данная схема в меньшей степени выявляет особенности обтекания передней кромки, что важно при расчете подсасывающей силы. Кроме того, данная схема, как и предыдущая, требует для повышения точности расчета большого числа разбиений, что приводит к увеличению времени расчета на ЭВМ.

Схема "COS" - для контрольных точек угол y изменяется от 0 до p через Dy, а для вихрей - через Dy/2  (рис. 2.31).

Рис. 2.31

Данная схема позволяет при небольшом числе вихрей и контрольных точек (что сокращает время расчета) выявлять особенности обтекания передней и задней кромок. Однако, данная схема плохо работает при решении задач неустановившегося движения.