Введение

Лекция № 1

Введение

0.1. Определение аэромеханики как науки

         АЭРОМЕХАНИКА, механика  полета -  совокупность  методов   определения действующих  на ЛА  сил  и  моментов, траекторий  полета, летно-технических и  пилотажных характеристик ЛА, его  устойчивости  и  управляемости.

         Фундаментом  аэромеханики является  аэродинамика, основные разделы  механики (динамика  материальной  точки, твердого  тела и теория  упругости).

         АЭРОДИНАМИКА - наука, изучающая  законы  движения  газов  и  их  силовое  воздействие  на поверхность обтекаемых тел.

         В  результате этого  взаимодействия  на  обтекаемые  тела  со  стороны  воздуха (газа) действуют силы, которые  зависят  от  режима  полета (скорости, высоты, пространственного  положения), от  внешней  формы тел и  их  размеров.

         АЭРОДИНАМИКА (от греч. aer - воздух, dynamis - сила)- раздел механики  сплошных  сред, в котором изучаются   закономерности  движения  жидкостей  и  газов, а также  механическое  и тепловое  взаимодействие  между  жидкостью  или  газом  и  движущимися  в  них телами. Эта наука  является  одной  из  древнейших  естественных  наук, которая  возникла  и  развивалась   под  непосредственным  воздействием  запросов  практики. При этом во  все  времена привлекали  две  основные фундаментальные проблемы: проблемы  аэродинамического  сопротивления  и  проблема подъемной силы.

Рекомендуемые материалы

         Изучение дисциплины "Аэромеханика" базируется на знании дисциплин: "Математика", "Физика", "Теоретическая механика", "Термодинамика и теплопередача", "Гидравлика" и обеспечивает изучение дисциплин: "Динамика полета",  "Теория авиационных двигателей", "Конструкция и прочность летательных аппаратов", "Восстановление боевой авиационной техники", "Системы управления летательных аппаратов", "Безопасность полетов", "Техническая эксплуатация летательных аппаратов и авиационных двигателей". При  решении  задач аэромеханики  широко используются  физические  и  математические  модели.

        

0.2. Краткий исторический обзор развития аэромеханики. Значение трудов отечественных ученых Н.Е. Жуковского, К.Э. Циолковского, С.А. Чаплыгина, Б.Н. Юрьева и др. в развитии аэромеханики

         Не  умаляя  заслуг  зарубежных  ученых  в  развитии  аэромеханики, отметим, что в мировой  истории ее развития   ведущую роль  сыграли  работы  русских  ученых.

         В России  уже в  XVIII   веке  появились  работы, направленные  к познанию  законов  движения  воздуха. Одним  из первых  ученых, начавших изучать  физические  свойства  воздуха, был М.В. Ломоносов (1711-1765 гг.). На открытый  им закон  сохранения  материи  опирается  одно  из основных  уравнений  аэродинамики - уравнение  неразрывности  движения.

         Важным  вкладом  в теорию  авиации  явились  труды  членов Российской Академии  Наук  Д. Бернулли (1700-1783 гг.) и Л. Эйлера (1707-1783 гг.).

         Даниилу Бернулли, автору знаменитого труда «Гидродинамика» (1738 г.), принадлежит   обоснование  весьма  важной  теоремы, устанавливающей  связь  между давлением и   скоростью  движущейся  жидкости.  Эта  теорема и по  настоящее  время  является  одной   из  основных  теорем  аэродинамики  и носит название уравнения  Бернулли.

         Бернулли  Даниил (1700-1782 гг.)- швейцарский  ученый  в  области  математики, механики, физиологии,  медицины. Один  из  основоположников  теоретической  гидродинамики.

         В 1755  году в работе «Общие принципы  движения жидкостей» Леонард Эйлер  изложил  свой  метод  исследования  жидкостей  и  привел систему  уравнений  движения невязкой  жидкости. Тем самым он положил  начало  развитию  аэрогидромеханики.

         Значительно  большой  размах  получили  работы  по  аэродинамике  в XIX  веке.  Достаточно  указать, что  с 1870 г. по 1901 г. только  в России  было издано  около  180  работ по вопросам  авиации и  воздухоплавания.

         Изучая научное наследие К.Э. Циолковского было установлено, что великий русский ученый  поддерживал  научные связи  с прогрессивными деятелями русской  науки и техники . Искания и открытия Циолковского были близки   по проблематике  ряду  выдающихся  работ передовой  русской интеллигенции. Рассмотрение работ Циолковского и Менделеева по аэронавтике, опубликованных с 1880 по 1915 г., показывает, что им были хорошо известны  наиболее важные произведения западных  ученых по аэронавтике. Можно отметить. Что работы Д.И. Менделеева и К.Э. Циолковского, а позднее работы Н.Е. Жуковского были источниками, из которых в начале XX в. родилась экспе-

риментальная  аэродинамика в России. К. Э. Циалковский  начал заниматься  проблемой воздухоплавания в 1885 г. в возрасте 28 лет. С этого года он всецело решился отдаться  воздухоплаванию  и теоретически  разработать  металлический управляемый  аэростат.

         К.Э. Циолковский первым в мире  построил вполне удовлетворительные  по точности измерений  аэродинамические весы, а для создания  равномерного поля   в рабочем сечении трубы применил спрямляющую поток решетку (хонейкомб).

         К.Э. Циолковский  не только математически  разработал теорию аэроплана, но и дал  его тип:

1) металлический   материал;

2) закрытий корпус;

3) два гребных винта;

4) ажурные хорошей формы крылья, прикрытие одной поверхностью;

5) органы управления;

6) чуть выдающиеся из корпуса колеса;

7) взрывной (бензиновый) двигатель.

         Даны  чертежи  расчеты, вполне оправдавшиеся  только сейчас.  Дана художественная картина  разбега  аэроплана и его  поднятия.

         Вся жизнь великого русского ученого была отдана проблеме  изучения и  освоения воздухоплавания, К. Э. Циолковский о свое жизни   писал: «Основной мотив моей жизни: сделать что-нибудь  полезное  для людей, не прожить даром жизнь, продвинуть человечество хоть немного вперед. Вот почему  я интересовался тем, что  не давало мне ни хлеба, ни силы, но я надеюсь, что мои работы, может быть, скоро, а  может быть, и в отделенном  будущем, -  дадут обществу горы хлеба и бездну могущества…. Пылкое, страстное до безумия  стремление к истине, к науке, к благу человечества, стремление быть полезным… полное ради  этого пренебрежение средними человеческими обязанностями. На последнее место я ставил благо семьи и близких. Все для высокого». 

         Решающее  влияние  на  развитие  аэродинамики  оказали  работы  русских  ученых  Николая  Егоровича Жуковского  и  Сергея Алексеевича Чаплыгина.

         Н.Е. Жуковскому (1847-1921 гг.), которого  В.И. Ленин  назвал «отцом  русской  авиации», принадлежит  свыше 180  фундаментальных  работ по механике, гидромеханике и  аэродинамике. В своих  первых  работах  по  авиации  «К теории  летания»(1890 г.) и «О парении птиц»(1892 г.) Н.Е. Жуковский  теоретически  обосновал  возможность  осуществления  самых сложных  движений  самолета  в  воздухе, заложив  тем  самым  основы динамики  полета, как  специальной  отрасли  авиационной  науки. С 1905 г.  появляются  работы Н.Е. Жуковского, в  которых  он  впервые  объяснил  природу  возникновения  подъемной  силы. В 1906  г. в  статье «О присоединенных  вихрях» он  доказал    свою  знаменитую  теорему  о  подъемной  силе  крыла. Эта  теорема  до  настоящего  времени  лежит  в  основе  практических  расчетов  крыльев, воздушных  винтов, корабельных  винтов, осевых  компрессоров  и других машин.

         С 1911 г.  им  была  предложена  теоретически разработанная  форма профиля  крыла  и  доказана   целесообразность применения  изогнутых  профилей, а  также даны  простые формулы  для  подсчета  подъемной силы  и определения  центра  давления  крыльев  с  его профилем.

         С 1912 г. начали  выходить  работы  Н.Е. Жуковского   по  вихревой  теории  воздушного  винта. В них  был  дан  метод расчета   винтов  и разработана  наиболее  рациональная  форма. С винтами  спроектированными  по  указаниям Н.Е. Жуковского  и получившими в  честь  его именование  винтов «НЕЖ», русские и иностранные  самолеты  летали  много лет, до  тех пор, пока  на  основе  вихревой  теории  Н.Е. Жуковского  не  были  созданы  еще  более  совершенные  воздушные винты.

         Наряду  с  теоретическими  исследованиями  Н.Е. Жуковский  занимался  и  аэродинамическим  экспериментом. В 1902 г. в Московском  университете  им была  построена аэродинамическая  труба, а  в   1904 г. под Москвой, в Кучино, создан первый  в  мире Аэродинамический  институт.   

         Позднее, в  1909 г., Н.Е. Жуковский  организовал  Аэродинамическую  лабораторию в Московском   высшем  техническом  училище, где  вокруг  него  сплотилась  большая  группа  талантливых  учеников. Многие  из  них стали  впоследствии  крупнейшими  специалистами  в различных  областях  авиационной  науки: академики  А.Н. Туполев, Б.Н. Юрьев, Б.С. Стечкин, профессор  Ветчинкин  и  многие другие.

         В 1918 году по  инициативе  Н.Е. Жуковского, поддержаной  В.И. Лениным, был организован   Центральный  Аэрогидродинамический Институт (ЦАГИ), являющийся и по настоящее  время  основным  центром    развития  аэродинамики  ЛА теперь уже России.

         Наряду  с  ЦАГИ, в 1919 г.  по предложению Н.Е. Жуковского  был организован  Институт  инженеров   воздушного флота, преобразованный  в 1920  году  в  Военно-Воздушную  Инженерную  Академию   имени  профессора  Н.Е. Жуковского.

         Большая роль  в создании  и  развитии  аэродинамики  принадлежит  также   ученику Н.Е. Жуковского, академику  С.А. Чаплыгину. После смерти  Н.Е. Жуковского (в 1921 г.)  советскую  школу аэродинамиков   возглавил  С.А. Чаплыгин. Советские, а ныне российские  ученые, опираясь  на  исследования  Н.Е. Жуковского и С.А. Чаплыгина  и других, не  менее известных и выдающихся ученых ( С.А. Христиановича, М.В. Келдыша, А.И. Некрасова, А.А. Дородницина, Е.А. Красильщиковой, К.И. Бабенко, О.М. Белоцерковского и др.) и продолжая  их, с  выдающимися российскими  авиаконструкторами, создали  и  создают  первоклассную  авиационную технику, некоторые образцы которой остаются непревзойденными в мире  до сих пор.

0.3. Роль аэромеханики в развитии авиации. Основные задачи дисциплины

Методической основой  дисциплины  является  материалистическая  диалектика, взаимообусловленность   содержания  и  формы, единичного  и  общего, единства  и  борьбы  противоположностей, количества и качества.

         Такая методология  обеспечивает:

· научность  определения  дисциплины  и построения  ее курса;

·  установление  правильных  взаимосвязей  между  природой (физической сущностью) изучаемых  аэродинамических процессов и  явлений  и их схематизацией (моделями) и математическим  описанием  их  в теории;

·  органическую  связь между лекциями, групповыми, практическими и лабораторными  занятиями;

· систематичность  и последовательность  при  обучении;

· воспитание  сознательности, активности  и самостоятельности  у  слушателей;

· соединение  индивидуального  поиска  знаний  с  учебной  работой  в  коллективах;

· сочетания  абстрактного мышления  с наглядностью  преподавания;

·  обеспечения  доступности  научных  знаний  и  прочности  их  усвоения;

         !!!   следующие пункты касаются преподавателя:

· творческое  и критическое  отношение  к  отбору  материала  для всех  видов  занятий и учебных  пособий  по дисциплине;

·  привитие  курсантам понимания исторической  обусловленности изучаемых  теорий  и  получаемых на  их    основе результатов  и развитие  у  них   в  связи  с этим интереса  к  научно-техническому  творчеству;

· углубление  у курсантов   уверенности  в  принципиальной  возможности   уточнения  существующих  и  открытие новых  закономерностей, присущих  изучаемым  явлениям  и  процессам  и  повышение   у  них  в  связи  с этим интереса  к  учебе. смелости. инициативы  и  самостоятельности   в  постановке и решении  научно-технических задач.

         Научность  определяется:

-  непрерывным  совершенствованием  дисциплины  посредством  введения  в нее новейших, всесторонне  проверенных   достижений  педагогики, науки и  техники;

-  сочетания преподавания и НИР, позволяющей   углублять  знание  предмета, быть  на  уровне  достижений  передовой  научно-технической  мысли, своевременно  получать   и осваивать новейшую  информацию;

-   последовательным  применением  материалистической  диалектики (философии)  при  объяснении  физических  явлений; пропагандой  приоритета и  достижений  отечественной  науки и  техники;

-  изданием  учебников и  учебных пособий, обобщающих  достижение  науки  и  техники, результаты НИР  кафедры  и методический  опыт  преподавания.

         Систематичность и  последовательность  обучения  достигается:

- логической последовательностью   изложения   материала;

-  рациональным распределением  материала по  видам  обучения;

- логической  увязкой   изучаемого материала  с  предшествующими  и параллельными  изучаемыми  дисциплинами  других  кафедр.

         Воспитание  сознательности, активности  и самостоятельности  достигается:

- выполнением  частных  заданий  при   обработке  лекционного  материала;

- выполнением  заданий  по  изучению и  обработке  рекомендованной  литературы  по  второстепенным  вопросам;

- привития  навыков  измерения  параметров  при  проведении опытов  на лабораторных  занятиях;

- работой  курсантов  в ВНО кафедры;

-  высоким  уровнем  профессионализма  и  увлеченностью  преподавателя  своим предметом, умением его  пробудить у  слушателей  тяги к  знаниям, активной  самостоятельной  работе.

         Сочетания абстрактного  мышления с наглядностью преподавания.

         Необходимость  усвоения  большого объема  сложного   и  разнообразного  материала  требует  поиска  путей    интенсификации  усвоения  учебного процесса, что  достигается  при  изложении дисциплины применением, например, технических  средств обучения и не только.

         Необходимость  развивать  у курсантов абстрактного мышления  при рассмотрении  изучаемых физических  явлений и  их  реализации    в конкретных  элементах, частях и ЛА в целом.

         Обеспечение  доступности  научных  знаний и прочности  их  усвоения  достигается проведением  тщательного отбора  учебного материала, согласование  структурно-логических схем   совокупности  общетехнических  и  специально-технических  дисциплин, рациональный  выбор   соотношений  между  математическими  выводами и обобщениями, трактовкой и  объяснением  физических  явлений  и процессов, протекающих   в  реальных  устройствах  и  системах.

         Закрепление   знаний и контроль  усвоения  осуществляется, как правило на  всех  видах  учебных  занятий  по  данной  дисциплине.

         Хочется  подчеркнуть, что   предметом  дисциплины, на  всех  видах ее учебных  занятий,   является    изучение  объективных, т.е. существующих  в  природе  независимо   от сознания  людей, законов  движения  жидкостей  и газов. Рассматривается  их взаимодействие    с твердыми  телами  с  целью  выявления  и использования  в  инженерной практике  закономерностей, обуславливающих  влияние  различных  факторов  на  аэродинамические  характеристики  ЛА.

         Аэродинамические законы необходимо  рассматривать  на  основе  диалектико-материалистического  понимания  явлений  природы.

         Основой  теоретических  исследований   в области  аэродинамики  являются  схематизация ( моделирование ) изучаемых  явлений и  процессов. Выбор  модели  того или  иного  явления   является  многоступенчатым, диалектическим  процессом.

         Дисциплина имеет цель дать курсантам основные сведения в области теоретической и практической аэромеханики,  необходимые для более глубокого  изучения  аэродинамики пилотируемых летательных аппаратов и динамики их полета,  а также научить методически правильно проводить занятия с летным и инженерно-техническим составом строевых частей.

В результате изучения дисциплины курсанты должны:

иметь представление:

- о современном состоянии науки аэромеханики и её перспективах;

- об особенностях аэродинамической компоновки и аэродинамических характеристик перспективных летательных аппаратов военного назначения;

- о численных методах решения задач аэромеханики;

- об экспериментальных методах исследования аэродинамических характеристик и средствах измерения параметров газового потока;

- о тенденциях расширения сфер применения боевых летательных аппаратов и путях совершенствования их аэродинамической компоновки;

знать:

- основные законы аэромеханики;

- методы расчета аэродинамических характеристик боевых ЛА и их элементов;

- особенности аэродинамической компоновки боевых летательных аппаратов и их отличия от летательных аппаратов гражданской авиации;

- аэродинамическую компоновку и аэродинамические характеристики летательных аппаратов, состоящих на вооружении авиации Вооруженных Сил;

уметь:

- проводить аэродинамический расчёт ЛА, в том числе и с помощью ПЭВМ;

- использовать техническую документацию, расчётные и экспериментальные данные для анализа аэродинамических свойств летательных аппаратов военного назначения;

- проводить занятия с лётным и инженерно-техническим составом по аэродинамике самолётов и вертолётов, состоящих на вооружении авиации Вооруженных Сил.

 Тема 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ АЭРОМЕХАНИКИ

1.1. Основные свойства жидкостей и газов

1.1.1. Гипотеза сплошности среды

         Известно, что  воздух  имеет  молекулярное  строение и  для  определения  силового  воздействия  воздуха на  обтекаемое  тело  необходимо, строго  говоря, изучать   движение отдельных  молекул, используя  для  этого  кинетическую  теорию  газов  и  методы   статистической  физики.

         Однако во  многих задачах аэромеханики, аэродинамики  можно не  учитывать  молекулярное  строение  воздуха  и  рассматривать  его как   сплошную  среду, заполняющую  объем  без  пустот и   межмолекулярных промежутков. Обоснованием  этого служит  тот факт, что  в  1  мм³ воздуха  при  нормальных атмосферных  условиях содержится  2.7*10¹⁶  молекул и,  следовательно, межмолекулярные  промежутки  настолько  малы  по  сравнению  с  размерами  реального  обтекаемого  тела, что  воздух  вполне  можно  считать  однородной сплошной средой. Такое предположение, впервые   введенное Л. Эйлером  в  XVIII веке и получившее  название гипотезы  сплошности, позволяет  применить  аппарат  дифференциального т  интегрального  исчисления. что значительно облегчает  исследование  законов движения  воздуха  и  других  сред.

         Однако, с увеличением  высоты  количество  молекул  в  единице  объема  падает, и на  высотах  порядка  до  80...100 км приходится  учитывать  дискретную  структуру  газов. Критерием, по  которому  судят о  сплошности  среды, является  число Кнудсена, характеризует степень разряженности  газа

                                                         ,                                                     (1.1)

где l_o- длина  свободного  пробега  молекул, под  которой  понимается  среднее расстояние, проходимое  молекулой  между  двумя  соседними  соударениями  с другими  молекулами, L-  длина тела.

         Течение  принято  считать  сплошным, если K_n< 10^-3. Если K_n> 10, то  течение  называется  свободномолекулярным  с  дискретным  воздействием  отдельных  атомов и молекул  на  обтекаемое  тело. Между  указанными  значениями  чисел  Кнудсена  лежит  область  переходных режимов - течений  со  скольжением.

         Во  всех  случаях, когда K_n> 10^-3 и гипотеза  сплошности  неприменима. приходится  для исследования  течения  использовать  подходы, основанные  на  теории  разреженных  газов  с  учетом  их дискретной  структуры.

1.2. Основные  физико-механические     параметры  и  свойства      газового потока

         В  аэродинамике  используются  понятия  жидкости  и газа, под  которыми понимается среда, законы  движения  которой, а также  силы   взаимодействия  ее  с обтекаемым телом  являются предметом познания и  научного  исследования.

         Обычно  словом «жидкость» называют  среду, обладающую  ничтожной  сжимаемостью. Это  может быть  капельная  жидкость, такая  как  вода, керосин, спирт и т.д., а также  воздух  или  любой  газ, если  их  сжимаемость  проявляется  слабо.

         Такое  расширенное  толкование понятия «жидкость» оправдано тем, что  многие  закономерности  движения  капельных  жидкостей  и  газов  являются  общими в  том  же диапазоне  изменения  скоростей, в  котором  не  сказывается  влияние  сжимаемости.

         С другой стороны, понятие «газ» в  аэродинамике  означает  среду  сжимаемую и предполагает  ее  учет  в  научных  исследованиях, если  нет  специальной  оговорки.

         Поэтому основные физико-механические  параметры  и  свойства  газов  аналогичны  рассмотренным  в т.1 по дисциплине « Гидравлика и теория  гидромеханических систем ЛА » для  жидкостей.

         Так газовый  поток  характеризуется  следующими  физико-механическими параметрами:

- статическое давление р_ст - величина  силы  давления  неподвижного  газа, с  которой  он  действует  на  единицу  площади  рассматриваемой  поверхности;

- динамическое давление (скоростной напор) р_дин=q=rV²/2 -давление движущегося  газа;

- массовая плотность r- масса  газа  в  единице  объема;

- температура Т;

- скорость  распространения  звуковых  волн  в  газовой  среде -а;

- коэффициент  динамической  вязкости m;

- коэффициент  кинематической  вязкости   n=m/r.

         К числу  важнейших  свойств газа  относятся  помимо  сплошности - вязкость и сжимаемость.

1.1.3. Вязкость и сжимаемость

         Вязкостью называется  способность  жидкости или  газа  сопротивляться сдвигу  слоев  относительно  друг  друга.

         Из-за  вязкости  газ в тонком  слое  около  обтекаемой  поверхности, называемом  пограничным слоем, постепенно тормозится  по  мере  приближения  к  поверхности. В сплошной  среде  уменьшение  скорости  по нормали  к поверхности  тела  происходит  вплоть  до нуля ( рис.1.1).

         В простейшем случае  ламинарного течения  касательные напряжения  трения  t между   соседними  движущимися  слоями  газа  согласно  гипотезе Ньютона  прямопропорциональны  градиенту  скорости  по нормали  к  обтекаемой  поверхности

                                                        Рис.1.1

                              , Н/м²                                                                                                              (1.2)

где m - коэффициент  динамической  вязкости  H×c/м², V_x- составляющая  скорости  вдоль  координаты Х. Характер  изменения  скорости  в  пограничном  слое (наполнение профиля  скоростей) зависит  от  соотношения  сил  трения  и  сил инерции  движущегося  газа. Чем  меньше  вязкость, тем  меньше торможение  потока и, следовательно, тем более  наполненным будет  профиль  скоростей. Аналогичная  картина  будет. если  при  неизменной  вязкости  увеличить  скорость    набегающего  потока. Критерием, характеризующим  степень  проявления  сил  инерции  по  отношению  к  силам  вязкости  служит  безразмерное  число  Рейнольдса

                                               ,                                                                 (1.3)

 где V -скорость  потока, L - линейный  размер  тела, n -  коэффициент  кинематической  вязкости.

         Во  многих  задачах  аэродинамики, не  связанных  с  расчетом сопротивления  трения, влияние  вязкости  на  величину  аэродинамических  сил  практически  не  сказывается. В этом  случае  газ  можно  рассматривать  как  идеальный, под которым понимается газ, лишенный  вязкости, теоретически  это  означает, что  число  Re  равно бесконечности.

         Сжимаемостью  называют  свойство  среды  изменять  свою  плотность  при  изменении  давления.

         Критерием  сжимаемости  движущейся  Среды   является   число  Маха

                                                        M=V/a,                                                          (1.4)

а неподвижной  среды - скорость  звука  а, так  как  сжимаемость  по  определению  оценивается  производной

                                                        ,                                                    (1.5)

         В теоретических  исследованиях  при  скоростях  потока  много меньше  скорости  звука  (М<< 1) сжимаемость  проявляется  слабо  и  ею  можно  пренебречь. В этих  случаях  считается  r=const , а число  М=0.

1.2. Модели газовой среды

1.2.1. Основные понятия, характеризующие движение газа

         Различают потенциальное  и  вихревое  движения  жидкостей  и  газов, которые  в  свою  очередь могут  быть  установившимся (стационарным) и  неустановившимся (нестационарным).

         Потенциальным  называется  поступательное  движение, при котором  частицы  жидкости (газа) не  вращаются   относительно  своих осей.

         Вихревым  называется  движение  с  вращением  частиц.

         Установившимся  называется движение,  при  котором   параметры  жидкости (газа)  в  каждой  точке  пространства  не  изменяются  с  течением  времени.

         Неустановившимся  называется  такое  движение  жидкости (газа),  при  котором  его  параметры  хотя  бы  в  одной  точке   пространства  изменяются  с  течением  времени.

         Для  получения  выражений  скоростей  и  ускорений  частиц  газа  выделим  в  движущемся  потоке  малую  частицу. которая  в  момент  времени t находилась  в  точке  А   с  координатами x, y,z (рис.1.2). В момент  времени  t+dt частица  оказалась  в точке  A₁ c координатами x+dx, y+dy, z+dz.

Рис.1.2

         Очевидно, что проекции  скорости  движения  частицы  на  оси  выбранной  системы  координат   в  рассматриваемый   промежуток  времени  dt равны

                            V_x=dx/dt ; V_у=dу/dt ; V_z=dz/dt .                                             (1.6)

         В общем  случае  они  являются  функциями  координат  и  времени

V_x= V_x(x,y,z,t); V_y= V_y(x,y,z,t); V_z= V_z(x,y,z,t).                                                   (1.7)

         Ускорения  частицы  вдоль соответствующих  осей  координат равны 

j_x=d V_x/dt;  j_y=d V_y/dt;  j_z=d V_z/dt.                                                                      (1.8)

         C учетом  (1.7) полный  дифференциал  скорости  равен

 dV_x=                                                     (1.9)

         Аналогично  записываются  дифференциалы dV_у и dV_z.

         Поэтому с учетом (1.6) выражения (1.8) принимают  вид

;

;                                                            (1.10)

.

         Аналогичным  образом  определяются  полные  производные  любого  другого  параметра  по времени, например

;

.                                                                       (1.11)

         При   установившемся  движении  в  фиксированных  точках  пространства  частные  производные  параметров  по  времени  равны  нулю

.                                                             (1.12)

         Подход  к  определению  параметров  потока  как  функций  координат и  времени  был  разработан  Л. Эйлером  и  получил  название  метода  Эйлера.

 Линии  тока  и  струйки

         Для  наглядности  представления  картины   течения  жидкости  (газа)  с по    мощью модели  Эйлера помимо   понятия  струйки  пользуются  понятиями  линии  тока, траектории  и  трубки  тока.

         Линией  тока  называется  линия  в  потоке  жидкости (газа), направление  касательной  к  которой   в  данный  момент  времени  в  каждой  точке  совпадает  с   направлением  вектора  скорости  в  данной  точке (рис.1.3).

         Рис.1.3

         Траекторией  движения  частиц  называется  линия, описываемая  в  пространстве  движущейся  частицей  за некоторый  промежуток  времени (рис.1.4).

          Рис.1.4

         При  установившемся  движении  конфигурация  линий  тока  с течением  времени не  изменяется и линии  тока  совпадают  с  траекториями.

         Трубкой  тока называется поверхность, образованная   линиями  тока, проведенными  через  произвольный  замкнутый  контур (1.5).

                                                        Рис.1.5

         Струйкой называется   жидкость (газ), движущийся  внутри  трубки   тока.

         Пользуясь  понятием  струйки, можно  применять  для  нее  различные  законы  сохранения  (массы, энергии и  др.), получая  при  этом  корректные  математические    соотношения  параметров  газа  вдоль  струйки, в том   числе  около  обтекаемого  тела.

Угловые  скорости  вращения. Вихревые  линии и  шнуры

         В общем  случае  движущаяся  частица  перемещается  поступательно,  вращается и  деформируется.  Найдем  угловую  скорость  вращения.

         Пусть  -  вектор  угловой  скорости  вращения, w_x , w_у и  w_z - его  проекции  на  оси  выбранной  системы  координат.

         Рассматривая  движение  и  деформацию  частиц  газа  можно получить  следующие  выражения  для  составляющих    вектора  угловой  скорости

                                                                                      (1.13)

         Для  наглядности  представления  вихревого  движения  жидкости  пользуются  понятиями  вихревых  линии, трубки, шнура, нити и жгута.

         Вихревой  линией  называется  линия  в  потоке,  в  каждой  точке  которой  в  данный  момент  времени   вектор  угловой  скорости  вращения  направлен  по  касательной  к  ней ( рис.1.6).

Рис.1.6

         Вихревой  трубкой  называется  поверхность, образованная  вихревыми  линиями, проведенными  через  произвольный  замкнутый  контур ( рис.1.7).

         Вихревым  шнуром  называется  поток  жидкости  внутри   вихревой  трубки.

         Вихревой  нитью  называется  вихревой  шнур  бесконечно  малого  поперечного  сечения.

         Вихревым  жгутом  называется  совокупность  нескольких  вихревых  шнуров.

Рис.1.7

         На  практике   вихревые  жгуты  имеют  место  позади  боковых поверхностей  фюзеляжа, крыла, оперения  и  других  частей  летательного  аппарата  и  являются      следствием  перетекания   потока    через  концевые участки    указанных  элементов  из  области  повышенного  давления  в  область  разрежения  (рис.1.8).

Рис.1.8

         В теоретической  аэродинамике  вихревой  шнур  или  вихрь  используется   как  математическая  модель, набором  которых  можно   моделировать  обтекание  ЛА произвольной  формы.

1.2.2. Принцип обратимости в аэромеханике

Аэродинамика  при изучении  силового  взаимодействия  газа   с телом  при  их  относительном  движении  опирается  на  один  весьма  важный  постулат, называемым  принципом  обратимости. Согласно  этому  постулату  картину  обтекания, аэродинамические  силы  и  моменты, действующие  на  тело будут   одинаковыми  независимо  от того, движется  ли  тело  в  неподвижной  воздушной  среде или, наоборот, на  неподвижное  тело  набегает  воздушный  поток.

         Принцип  обратимости  значительно  облегчает   физическое и математическое   моделирование  обтекания  тел. В частности  с  использованием  данного  принципа  работают аэродинамические  трубы.

         В аэродинамических  исследованиях   используются   несколько  моделей  обтекания  тела  жидкостью  или  газом (объединяет их всех вариационный метод). Первая их них   была  предложена  Ньютоном. Согласно его  теории  поток  представляется  в  виде отдельных  частиц (корпускул), которые   сталкиваясь  с  обтекаемым  телом, изменяют  свою  скорость на  величину, нормальной  к поверхности  составляющей. Касательная  составляющая  скорости  при  этом  не  изменяется. Импульс  аэродинамической  силы  возникает  как  результат  изменения  количества  движения  частиц.

         Недостатком  модели  Ньютона  является  то, что  взаимодействие  потока  с телом  сводится  к  механическому  удару  о  наветренную  часть  тела  без  учета  процесса  обтекания  всей поверхности. Поэтому  данная  модель  не  нашла  широкого  применения.

         Модель обтекания тела идеальной жидкостью предложил Л. Эйлер. По Эйлеру жидкость, обтекающая тело, представляет собой сплошную среду (континуум) и может быть разбита на бесконечно большое число не смешивающихся между собой струек, взаимодействующих с телом. Вектор скорости на границе между струйками всегда направлен по касательной к ней, а параметры газа при переходе от струйки к струйке и вдоль их меняются непрерывно. Предположение о струйности течения позволяет описывать его дифференциальными уравнениями движения, неразрывности и сохранения энергии. Известными величинами являются исходные параметры невозмущенного потока (плотность , давление , скорость  и т. д.) и форма обтекаемого тела. Однако и модель Эйлера неточно отражает картину обтекания тела реальным газом, поскольку не учитывает вязкостного трения между слоями газа (жидкости).

         Рассмотрим общую картину обтекания тела реальным воздушным потоком (рис. 1.9). Скорость невозмущенного набегающего потока обозначим . В ближайшей окрестности тела местная скорость течения V будет отличаться от . Эти отличия вызываются двумя обстоятельствами. Во-первых, в тонком пристеночном слое, называемом пограничным, происходит торможение потока из-за вязкости воздуха. В сплошной среде () это торможение происходит в пределах толщины пограничного слоя от некоторого значения на его границе , примерно соответствующего скорости невязкого (идеального) газа в данном месте (обычно ), до нулевого значения на поверхности обтекаемого тела.

Рис. 1.9

         Во-вторых, за телом пограничный слой переходит в след, характеризующийся тем, что в нем сохраняется неравномерность скорости, обусловленная вязкостью. По мере удаления от тела скорости в следе, выравниваются, стремясь в конечном итоге к .

         За пределами пограничного слоя и следа скорость вблизи тела будет отличаться от  из-за возмущений, которые вносятся в поток за счет его вытеснения самим телом. Отсюда возникло название возмущенные скорости, которые, однако, по мере удаления от тела и следа в силу естественного затухания возмущений всюду стремятся также к исходному значению . Таким образом, около обтекаемого тела можно выделить три характерные зоны, отмеченные на рис. 1.9 цифрами 1, 2, 3; в двух из них - пограничном слое 1 и следе 2 - существенно влияние вязкости. В третьей зоне вне следа и пограничного слоя вязкость сказывается незначительно.

         Система дифференциальных уравнений движения газа с учетом вязкости была предложена учеными Навье и Стоксом и носят их имя. Уравнения Навье - Стокса наиболее полно отражают взаимосвязь параметров реального газа при его движении, однако их решение в общем случае очень сложно.

         В силу того, что пограничный слой имеет сравнительно небольшую толщину, в ряде задач аэродинамики, не связанных с определением сил трения, пограничным слоем просто пренебрегают.

         Немецкий ученый Прандтль предложил сложную задачу обтекания тела вязким газом разделить на две более простые.

         Вначале решить задачу обтекания тела идеальным газом на базе модели и уравнений движения Эйлера. Затем решить задачу о течении газа в тонком пограничном слое на базе уравнений Навье - Стокса, уровень сложности которых можно снижать выбором того или иного частного случая.

         Физическое моделирование течений газа и его силовое взаимодействие с телами обычно осуществляют в специальных устройствах, называемых аэродинамическими трубами. На рис. 1.10 приведена схема дозвуковой трубы, а на рис. 1.11 - сверхзвуковой, основные элементы которых отмечены цифрами. Поток в аэродинамических трубах создается либо вентилятором 1 (дозвуковые трубы), либо за счет подвода повышенного давления 1 (сверхзвуковые трубы). Модель обтекаемого тела 5 устанавливается в рабочей части трубы 4. Визуализация обтекания и измерение аэродинамических нагрузок производится с помощью специального оборудования. Коллектор (форкамера) 2 служит для выравнивания поля скоростей. Разгон потока перед рабочей частью осуществляется в сопле 3. В сверхзвуковой трубе - в сопле Лаваля. За рабочей частью кинетическая энергия потока гасится в диффузоре 6.

         Чтобы перенос результатов эксперимента в аэродинамической трубе на натурный объект был корректным, необходимо обеспечить подобие физических процессов. Для этого необходимо выполнить ряд условий.

         Во-первых, модель должна быть геометрически подобна натурному объекту и одинаково ориентирована относительно набегающего потока.

Рис. 1.11

         Во-вторых, должно быть одинаковым соотношение сил вязкости и сил инерции при взаимодействии газа с телом, что обеспечивается равенством чисел Рейнольдса.

         Третьим условием является равенство чисел М, обеспечивающее подобие по влиянию сжимаемости газа.

         Наконец, еще одно условие - это подобие упругих свойств модели и натурного объекта. При нагружении аэродинамическими силами модель должна деформироваться подобно натуре. Как видим, физическое моделирование далеко не просто и требует как значительных материальных затрат на создание аэродинамических труб и моделей, так и энергетических для получения потока воздуха с необходимой скоростью.

         Результаты физического эксперимента обычно представляют в виде безразмерных коэффициентов аэродинамических сил и моментов, которые вводятся по формулам:

;         

где , М - соответственно аэродинамическая сила и аэродинамический момент;  - скоростной напор невозмущенного потока; S - характерная площадь обтекаемого тела; L - характерный линейный размер тела.

         Указанные коэффициенты обладают тем универсальным свойством, что при выполнении вышеупомянутых условий подобия эти коэффициенты будут одинаковыми для обтекаемых тел с различными абсолютными размерами и параметрами воздушного потока. Они являются аэродинамическими характеристиками тел и, поскольку являются безразмерными, зависят от безразмерных же параметров потока (чисел М и Re) и формы тела.

1.2.3. Моделирование в аэромеханике

         Потенциалом  скорости j    называется  функция, обладающая   следующим   свойством:   ее  производные по  соответствующим  координатам  равны  соответствующим  составляющим  скорости

                                                                  (1.14)

         Если  потенциал  скорости  существует, то  поток  является  потенциальным.

         Допустим, что  поток  потенциальный. Согласно  (1.13)  определим  угловые  скорости  вращения  частицы

                                         (1.15)

.

         Таким   образом, потенциальное  течение  является  безвихревым.

         Применение  понятия  потенциала  скорости  упрощает  решение  задачи  потенциального  обтекания  тела,  так  как   вместо  трех  неизвестных V_x, V_y и V_z   необходимо  определять  потенциал

j .

         Для  оценки интенсивности  вихревого  движения  используется  понятие   напряжения  вихревой  нити  или  шнура   Г.

         Напряжение  вихревой  нити   определяется  выражением

                                       ,                                                          (1.16)

где w_n- угловая  скорость  вращения, ds - площадь  поперечного  сечения  вихревой  нити  в плоскости, перпендикулярной  ее  оси (рис.1.12).

Рис.1.12

         Напряжение  вихревого  шнура  определяется  по напряжению  вихревых  нитий  в нем

                            .                                                                          (1.17)

         Интенсивность  вихревого  движения  может  оцениваться  также  величиной   циркуляции   скорости I.

         Для  введения  понятия  циркуляции  скорости   выделим  в  потоке  произвольный  замкнутый  контур  длиной l    и  зададим  положительной  направление  его  обхода (рис.1.13).  Возьмем  любой  элемент  этого  контура  dl  и  проекцию  скорости  на  направление  касательной  к  этому  элементу V_l.

Рис.1.13

         Произведение  касательной  составляющей  на  длину  элементарного  контура  называется элементарной  циркуляцией  скорости  на  данном  элементе

                                                         .                                                        (1.18)

         Циркуляцией  скорости  по замкнутому  контуру  называется  интеграл   вида

                                                          .                                                (1.19)

         В проекциях на оси прямоугольной  системы  координат  будем   иметь

                                      .                                          (1.20)

         Знак  циркуляции  скорости  положителен, если  проекция  скорости V_l    совпадает  с  направлением  обхода  контура.

         Вихревое  движение  обладает   рядом  свойств  и  закономерностей, которые  могут  быть  сформулированы  в  виде  теорем  и  строго  доказаны.

В  аэродинамике  для  математического  решения  задачи  обтекания  тела  потоком  зачастую  пользуются  рядом  газодинамических  особенностей, под  которыми  понимают  некоторые  математические  абстракции, наделенные  способностью   создавать  в  окружающем  пространстве  поле  скоростей  по  определенным, присущим  им, закономерностям.

         Такими  газодинамическими  особенностями, используемыми в  аэромеханике, является  вихрь, источник, сток и  диполь.

         В  рамках  учебной  дисциплины  рассматривается  только вихрь, получить же понятие об  источнике, стоке и диполе  при  необходимости   можно  в  специальной  литературе.

          В качестве  физического  аналога  вихрь можно  представить  в  виде бесконечно   тонкой  нити    с  вращающейся  вокруг  нее  массой  жидкости  или  газа.

         При  этом  окружная  скорость U, индуцируемая  прямолинейным  вихревым  отрезком  в  точке  пространства  на  расстоянии  r  от  оси   вихря  (рис.1.14), связана  с  его  напряжением Г формулой  Био-Савара

                                      ,                                      (1.21)

Планирование и модели проведения рекламных кампаний - лекция, которая пользуется популярностью у тех, кто читал эту лекцию.

где a₁ и  a₂ - углы, образованные   продольной  осью вихревого  отрезка  и  прямыми, соединяющими  концы  отрезка  с  точкой, в  которой  определяется скорость U.

 

Для  полубесконечного  или  бесконечного  прямолинейных  вихрей  выражения  для U  получаются  принятием  в формуле (1.21)  одного из углов (полубесконечный  вихрь)  или обеих  сразу ( бесконечный  вихрь) равными  нулю.

         Если  вихрь  конечной  толщины  с  радиусом r_o, то  соотношение (1.21) справедливо  лишь  при r³ r_o. Внутри  вихря, т.е.  при r<r_o, окружная  скорость  изменяется  по  линейному  закону (рис.1.11)

                                               .                                                (1.22)