Определение нечеткого множества

Определение нечеткого множества

Рассмотрим снова формулу (6.3) определяющую характеристическую функции . Профессор Lotfi Zadeh в 1965 году опубликовал статью, которая называлась «Fuzzy sets», которой он расширил двузначную логику до ограниченной многозначной оценки. Выше 0 и ниже 1, то есть в интервал [0,1] и впервые вел понятие нечеткое множество. Здесь вместо термина характеристическая функция использовал функция принадлежности. Нечеткое множество в универсуме U определяется через функцию принадлежности следующим образом:

Величина  означает субъективную оценку степени принадлежности x множеству A. Заранее не постулируется, какого вида эта оценка. Четкое множество является частным случаем нечеткого множества.

Заметим, что нечеткое множество строго определяется с помощью функции принадлежности, таким образом, логика определения понятия нечеткого множества не содержит какой-либо нечеткости.

Определение 6.1. Нечетким множеством A на универсуме U будем называть совокупность упорядоченных пар  (6.5) , составленных из элементов x универсума U и соответствующей степеней принадлежности .

Пример:

Обычно нечеткое  множество отождествляется с его функцией .

Рекомендуемые материалы

Замечание: Определение нечеткого множества с помощью определения 6.1 является одним из возможных подходов формализации нечеткости. Функция может принимать не значение из интервала, а целый интервал из интервала.

 6.2.3 Основным характеристики нечетких множеств

Определение 6.2. Носителем нечеткого множества А называется обычное подмножество таких точек из универсума U, для которых величина  . Носитель обозначается:  .

  (6.6)

Определение 6.3. Высотой нечеткого множества A называется величина    (6.7)

Определение 6.4.  Нечеткое множество А называется нормальным, если его высота = 1, в противном случае оно называется субнормальным.

Замечание 6.2. Иногда субнормальное нечеткое множество нормализуют на величину H(A).

Определение 6.5.  Нечеткое множество A называется пустым, если .

Определение 6.6. Множеством α - уровня (альфа - срезом, альфа - сечением) нечеткого множества A называется обычное, то есть четкое подмножество универсума U, определяемого формулой:     (6.8)

Множества строго α - уровня определяются формулой:     (6.9)

Носитель нечеткого множества является частным случаем множества строго α - уровня, то есть    (6.10)

Определение 6.7.  Элементы множества U, для которых степень принадлежности   называются точками перехода.

Определение 6.8. Нечеткое множество А в универсуме U ()  называется выпуклым нечетким множеством тогда и только тогда, когда его функция принадлежности выпукла, то есть для каждой пары точек  выполняется условие:    (6.11)

 6.2.4 Операции над нечеткими множествами

Пусть А,В нечеткие множества на универсуме U.

Определение 6.9. Равенство: говорят, что А и В равны и пишут А=В, если    (6.12)

Определение 6.10. Операция включения: говорят А содержится в В, или нечеткое множество А является нечетким подмножеством нечеткого множества В и пишут     (6.13)

Строгое включение или строгое подмножество имеет место, когда хотя бы одно из неравенств (6.13) является строгим.

Когда А является подмножеством В, т.е. , говорят что В доминирует А.

"7 - Опорно-двигательная система клетки" - тут тоже много полезного для Вас.

Определение 6.11. Дополнением нечеткого множества А в U называют нечеткое множество  с функцией принадлежности:    (6.14)

Определение 6.12. Объединение нечетких множеств А и В в U, т.е.  называют наименьшее нечеткое множество, включающее как А, так и В с функцией принадлежности вида:  (6.15)

Определение 6.13. Пересечением нечетких множеств А и В в U, т.е.  называют наибольшее нечеткое множество, содержащееся одновременно в А и в В:   (6.16)

Есть и другие определения различных операции.

В теории нечетких множеств много разделов посвящено теории нечетких чисел.