- Примеры плоских течений

10.2. Примеры плоских течений

1. Однородный равномерный поток

Рассмотрим плоское прямолинейное и равномерное установившееся течение несжимаемой жидкости с одинаковой во всём потоке скоростью v_x, параллельной оси ox. В этом случае

 .

Отсюда

.

       Линии равных потенциалов  j=const представляют собой прямые, параллельные оси ординат.

          Можно положить j_o= 0 и k = 0, тогда

Рекомендуемые материалы

 .

          Функцию тока найдём из условия

.

          Сетка такого плоского течения изображается семейством ортогональных прямых, параллельных осям координат, а комплексный потенциал равен

 .

          Для прямолинейного течения несжимаемой невязкой жидкости со скоростью v, наклонённой к оси абсцисс под углом a, будем иметь

.

          Откуда

и

,

.

          Комплексный потенциал такого течения будет иметь вид

2. Источник и сток

В качестве следующего примера рассмотрим течения, которые носят название источника и стока.

          Пусть невязкая несжимаемая жидкость непрерывно возникает в некоторой точке Р и вытекает в неограниченное пространство с постоянным расходом Q и с одинаковой интенсивностью во всех направлениях ( рис. 59 ). Линии тока этого воображаемого источника будут представлять собой прямые, расходящиеся из точки Р. Это характеризует пространственный источник.

Источник                                               Сток

а                                              б       

Рис. 59

          Если жидкость течёт из неограниченного пространства в точку, где непрерывно исчезает, течение называется пространственным стоком.

          Рассмотрим плоский источник и проведём из него как из центра несколько концентрических окружностей различного радиуса. Уравнение неразрывности - уравнение постоянства расхода через любую концентрическую цилиндрическую поверхность, имеющую высоту, равную единице, в случае несжимаемой жидкости будем иметь

.

          Отсюда скорость

          и, следовательно,

 ,

 .

          Откуда

.

          Интегрируя

,

где С - константа интегрирования, которая может быть принята равной нулю, если полагать, что на круге r = 1 функция  j = 0.

          Для определения функции тока воспользуемся выражением

 

          откуда полный дифференциал

 .

          После интегрирования имеем

,

 и С = 0 при  y = 0.

          Следовательно

 .

          Потенциал скорости источника j(r)  может быть интерпретирован в виде семейства концентрических кругов различного радиуса, а функция тока y(q)  в виде пучка прямых, исходящих из источника.

3. Вихрь

Рассмотрим комплексный потенциал

.

          Пусть А - действительное число

,

,

 .

          Линии тока лучи  e=const . Изопотенциальные линии - окружности.

          Найдём расход

,

,

,

- комплексный потенциал источника или стока мощности Q ( рис. 60 ).

Пусть А - чисто мнимое равное Вi, где В - действительное.

Источник                                 Вихрь                 

а                                               б                         

Рис. 60

 ,

 ,

- вихрь.

          4. Вихреисточник

Рассмотрим случай комплексного коэффициента при логарифме

.

5. Диполь

          Рассмотрим комплексный потенциал  ,

,

,   .

          Найдём семейство линий тока

,

.

          Линии тока - окружности с центрами на оси oy.