- Кинематика плоский движений жидкости

В гидродинамике невязкой жидкости особенно полно разработана теория плоских стационарных (установившихся) течений. Пусть, например, плоский безграничный поток обтекает цилиндрическое (или призматическое) тело, бесконечное в направлении, перпендикулярном к скорости течения. Характер течения (обтекания) тела будет одинаков во всех плоскостях, перпендикулярных к образующим тела. Следовательно, для исследования кинематики и динамики такого потока достаточно рассмотреть плоскую задачу. В этом случае скорости и давления зависят только от двух координат, пусть, например, x и y, также функциями этих двух координат являются проекции v_x и v_y скорости течения.

Пусть определена функция , которая удовлетворяет следующим условиям

, .

Такая функция называется в гидромеханике функцией тока.

Уравнение линий тока в случае плоского течения имеет вид:

или

Подставляя сюда выражения проекций скорости через частные производные функции y, найдём

При установившемся течении левая часть этого выражения представляет собой полный дифференциал функции y, напишем

Отсюда следует, что , таким образом, функция тока на линии тока сохраняет постоянное значение.

Предположим, что рассматриваемый плоский поток является потенциальным, т.е. что во всех точках потока имеет место условие

В соответствии с принятыми предположениями в этом случае

где j - потенциал скорости.

Из условия имеем

Подставляя сюда выражение для функции тока, получим

Поскольку мы рассматриваем несжимаемую жидкость, то уравнение неразрывности имеет вид

или через потенциал скорости

Дифференциальное уравнения второго порядка, выражающее, что сумма вторых частных производных скалярной функции равняется нулю, являются, как известно, уравнениями Лапласа. Таким образом, потенциал скорости и функция тока удовлетворяют уравнению Лапласа. Это уравнение обладает следующим свойством. Если имеются функции, например,j₁, j,... или y₁, y₂,... такие, что каждая из них в отдельности удовлетворяет уравнению Лапласа, то ему будут удовлетворять также их линейные комбинации

где A₁, A₂, ..., B₁, B₂, ... - постоянные.

Отсюда следует, что при наложении одного плоского потенциального потока на другой потенциальный поток полученное поток будет также потенциальным и его потенциал скорости, и функция тока будут определяться путём суммирования значений потенциалов и функций тока слагаемых потоков.

Рис. 57

Если построить два семейства кривых: эквипотенциальные линии (т.е. линии равного потенциала) и кривые - линии тока (здесь k и c - параметры), то эти семейства кривых образуют ортогональную сетку плоского течения ( рис. 57 ).

Это можно показать следующим образом. Вектор скорости v, совпадающий с направлением касательной к линии тока, образует с осью абсцисс угол , тангенс которого с учётом выражения для скоростей равен

Из уравнения же эквипотенциальной линии следует

и отсюда тангенс угла a₂, который образует касательная к эквипотенциальной линии с осью абсцисс, равен

Показать, что касательные векторы взаимно перпендикулярны, можно так

В результате перемножения получаем

Этому условию отвечают угловые коэффициенты взаимно перпендикулярных линий.

Функция тока y имеет физический смысл. Определим расход жидкости через сечение потока между двумя линиями тока y₁ и y₂ (т.е. расход струйки тока, ограниченной поверхностями, для которых названные линии тока являются образующими), размер сечения струйки по нормали к плоскости xoy будем предполагать равным единице

где dS - элемент живого сечения струйки, v - скорость, n - единичный вектор по нормали к элементу dS , S₁ и S₂- границы сечения.

Обозначим через a угол, образуемый вектором с осью ox, тогда и будут проекциями этого вектора на оси координат и, следовательно,

но , , поэтому

Таким образом, разность значений функции тока на двух каких ни будь линиях тока равна секундному объёмному расходу сквозь сечение струйки тока, ограниченной соответствующими поверхностями тока.

Из сопоставления