Прямые методы решения СЛАУ, основанные на факторизации симметричной матрицы
ПРЕДОБУСЛАВЛИВАТЕЛИ.
1. Прямые методы решения СЛАУ, основанные на факторизации симметричной матрицы.
Как уже не раз отмечалось, лучшим предобуславливателем была бы матрица 
, однако для нахождения поправки 
пришлось бы решать задачу 
, что так же трудно, как построить решение исходной задачи 
. Довольно просто решаются задачи с диагональными и треугольными матрицами. Например, задача 
решается так: 
. А вот решение задачи с верхней треугольной матрицей 
, или
. (1)
Вначале из последнего уравнения находим 
, подставляем результат в (
)-ое уравнение и выражаем 
. Из i-го уравнения найдем
(2)
Аналогично решается система 
с нижней треугольной матрицей:
(3)
Люди также интересуются этой лекцией: Лекция №5 Характеристика человека как элемента системы «Человек-среда» .
В формулах (2), (3) сумма полагается равной нулю, если нижний предел изменения индекса больше верхнего.
Другой, более сложный пример: задача 
с матрицей, представленной в виде произведения нижней треугольной 
и верхней треугольной 
. Эта задача решается в два этапа. Вначале по формуле (3) находим решение задачи 
, а затем по формуле (2) определяем 
как решение задачи 
.
Заметим, что решение здесь строится за конечное число шагов, значит это прямые методы решения СЛАУ. Из-за легкости обращения диагональных и треугольных матриц возникает соблазн использовать их для конструкции предобуславливателя 
, и решать задачу для поправки прямым методом.
Отвлечемся на время от проблемы предобуславливания в итерационных схемах и рассмотрим прямые методы решения задачи 
, основанные на факторизации матрицы 
, т.е. на представлении ее в виде произведения легко обратимых матриц. Наиболее популярны два способа факторизации:
1) Разложение Холецкого 
2) Тройная факторизация 
.
